數(shù)學(xué)課堂教學(xué)重點(diǎn)的合理定位與實(shí)現(xiàn)

●吳增生 (仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

1 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)重點(diǎn)定位中的主要問題

在很多課堂中，教學(xué)重點(diǎn)的定位出現(xiàn)明顯的偏差，導(dǎo)致了課堂學(xué)習(xí)時間的無謂浪費(fèi)，降低了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效率，其主要表現(xiàn)是：

1.1 平鋪直敘，沒有重點(diǎn)

沒有進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)，只對教材進(jìn)行粗淺解釋，這種情況在新教師身上表現(xiàn)較多.例如，在人教版新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材7年級上冊“單項(xiàng)式”教學(xué)中，教師按照教材內(nèi)容讓學(xué)生用含字母的算式表示若干問題中的數(shù)量關(guān)系，講述這些式子都是由數(shù)或表示數(shù)的字母相乘得到的積，給出單項(xiàng)式的概念，然后讓學(xué)生做“判斷是否是單項(xiàng)式”的練習(xí);接著，介紹單項(xiàng)式系數(shù)和次數(shù)的概念，讓學(xué)生做“找單項(xiàng)式系數(shù)和次數(shù)”的練習(xí).教師沒有設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)值算式和字母算式表示數(shù)量關(guān)系、從數(shù)值算式到字母算式的抽象過程;也沒有設(shè)計(jì)活動，讓學(xué)生從觀察式子的運(yùn)算結(jié)構(gòu)中形成單項(xiàng)式的概念.缺少了知識的形成過程，把大量的時間用在了“判斷是否是單項(xiàng)式”和“找單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)”練習(xí)上.沒有重點(diǎn)的課堂教學(xué)，變成了習(xí)題課，雜亂拼湊，沒有主題，索然無味，容易疲勞.

1.2 只見樹木，不見森林

第一階段的不等號認(rèn)識可以為第二階段的列不等式提供知識支撐，此外，各階段的教學(xué)重點(diǎn)沒有互相聯(lián)系，不能形成支撐某一核心教育價值的相互融合和相互協(xié)調(diào)的關(guān)系.觀察整堂課，沒有體現(xiàn)學(xué)習(xí)活動的相互聯(lián)系，沒有體現(xiàn)“前面的學(xué)習(xí)活動是后面學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)，后面的學(xué)習(xí)活動是前面的學(xué)習(xí)活動的自然延伸和發(fā)展”，缺乏課堂的整體性和層次性.

1.3 本末倒置，重點(diǎn)錯位

不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容承載著不同的核心教育價值，某些課中的重點(diǎn)在另外的課中不見得是重點(diǎn).而教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時往往把其他學(xué)習(xí)內(nèi)容的重點(diǎn)確定為當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的重點(diǎn)，導(dǎo)致教學(xué)重點(diǎn)設(shè)置的偏差;還有一種情況是：關(guān)注一些細(xì)枝末節(jié)而忽視學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心價值，忽視大智慧，糾結(jié)小技巧，造成教學(xué)重點(diǎn)設(shè)計(jì)的錯位.例如，在“等腰三角形的性質(zhì)和判定”基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課中，教師把方程思想、分類討論思想作為達(dá)成發(fā)展性學(xué)習(xí)目標(biāo)的教學(xué)重點(diǎn)，而沒有把發(fā)展空間觀念、幾何直觀和推理能力作為達(dá)成發(fā)展性目標(biāo)的教學(xué)重點(diǎn)，從而導(dǎo)致了課堂設(shè)計(jì)重心的偏離.再如，在浙教版新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材8年級上冊“認(rèn)識不等式”教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)諸如“6≤7，7≥7”的不等式讓學(xué)生判斷是否正確，學(xué)生在做練習(xí)“選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍柼羁眨? ____3”時，選擇了“≤”而非正確的“＜”.教師給出了絕對不等式、矛盾不等式、條件不等式來描述現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系，事實(shí)上，用數(shù)軸描述簡單不等式的學(xué)習(xí)活動時間不到10分鐘.

2 合理定位課堂教學(xué)重點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)的合理定位需要建立在理解數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)課程和把握學(xué)情的基礎(chǔ)上.

(1)所謂理解數(shù)學(xué)，指的是理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，理解學(xué)習(xí)內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的地位與作用，理解相關(guān)知識的邏輯體系及相互聯(lián)系，理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)和價值.例如，不等式建立在數(shù)的大小比較的基礎(chǔ)上，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中序結(jié)構(gòu)研究的基本出發(fā)點(diǎn)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的序關(guān)系是在不等關(guān)系基礎(chǔ)上的抽象.不等式與等式具有相似性，不等式在科學(xué)和生活中具有廣泛的應(yīng)用.不等關(guān)系往往涉及到范圍和區(qū)域，而相等關(guān)系則是不等關(guān)系所代表的范圍和區(qū)域的邊界，因此，相等關(guān)系是瞬時的、特殊的，而不等關(guān)系則是普遍的.不等式是描述現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的重要模型，通過不等式的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生對數(shù)量關(guān)系有更全面地認(rèn)識，體會不等式的應(yīng)用價值.

(2)所謂理解數(shù)學(xué)課程，主要指的是把握課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)習(xí)內(nèi)容的目標(biāo)要求，理解學(xué)習(xí)內(nèi)容在學(xué)生發(fā)展中的核心教育價值.例如，課程標(biāo)準(zhǔn)中不等式相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：

倪二泉的掌心，卷成小紙筒一樣的照片，慢慢舒展開來，卻是菊花那張不知道被傳閱了多少次、接受了多少撫摸與欣賞的照片！

①結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì).

②能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集;會用數(shù)軸確定由2個一元一次不等式組成的不等式組的解集.

③能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題.

④經(jīng)歷用不等式表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識.

⑤在運(yùn)用數(shù)學(xué)表述和解決問題的過程中，認(rèn)識數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)，體會數(shù)學(xué)的價值.

由此可見，在不等式概念學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)性目標(biāo)是：結(jié)合具體問題，了解不等式的意義;會用數(shù)軸表示不等式的解集;能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式.發(fā)展性目標(biāo)是：經(jīng)歷用不等式表示具體問題中的數(shù)量關(guān)系的過程，體會不等式是描述數(shù)量關(guān)系的重要模型;體會不等式的抽象性和應(yīng)用廣泛的特點(diǎn);體會不等式的應(yīng)用價值.不等式概念的核心教育價值是：在具體問題中了解不等式關(guān)系及不等式的意義，會用數(shù)軸表示不等式解的取值范圍，會根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列不等式，初步體會不等式是描述實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的區(qū)別于方程的另一重要模型.因此，初中階段不等式概念教學(xué)的重點(diǎn)是：用(條件)不等式表示具體問題中的不等關(guān)系，用數(shù)軸表示不等式的解集.數(shù)值不等式是小學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，把教學(xué)重點(diǎn)放在數(shù)值不等式是忽視了初中與小學(xué)學(xué)段學(xué)習(xí)不等式的認(rèn)知水平的差異，把教學(xué)重點(diǎn)放在介紹絕對不等式、矛盾不等式，則超越了學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知發(fā)展水平.

(3)所謂把握學(xué)情，指的是明確學(xué)生學(xué)了什么，會了什么，是否具有學(xué)習(xí)本內(nèi)容的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ);學(xué)生學(xué)習(xí)本內(nèi)容的一般過程怎樣;怎樣的學(xué)習(xí)活動是最有效的學(xué)習(xí)活動;通過學(xué)習(xí)，核心教育價值可能實(shí)現(xiàn)到什么程度.例如，小學(xué)一年級就開始有大小比較的學(xué)習(xí)，非負(fù)數(shù)值大小比較的學(xué)習(xí)，伴隨著小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程.在有理數(shù)、實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)中，又經(jīng)歷了有理數(shù)、實(shí)數(shù)的大小比較，用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系描述(右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大).因此，數(shù)值不等式是先前的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不是當(dāng)前學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，當(dāng)前學(xué)習(xí)中的核心任務(wù)是討論含有未知數(shù)的不等式(條件不等式).學(xué)習(xí)不等式最有效的方法是與學(xué)習(xí)等式(方程)相比較，從比較相同點(diǎn)和不同點(diǎn)中獲得不等式意義的理解.

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)是落實(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心教育價值，以實(shí)現(xiàn)核心教育價值為中心，設(shè)計(jì)課堂中的主題學(xué)習(xí)活動，以主題學(xué)習(xí)活動為中心，進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋M向拓展和縱向提升，兼顧非核心目標(biāo)的達(dá)成，形成重點(diǎn)突出、層次清楚、協(xié)調(diào)平衡的課堂時空結(jié)構(gòu).這種合理定位教學(xué)重點(diǎn)的過程可以用圖1表示.

在確定教學(xué)重點(diǎn)時還應(yīng)注意以下2點(diǎn)：

(1)分別確定基礎(chǔ)性目標(biāo)和發(fā)展性目標(biāo)的教學(xué)重點(diǎn)，并進(jìn)行統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，整合出本課的教學(xué)重點(diǎn).在知識形成過程中著重體現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的重點(diǎn)，如數(shù)學(xué)感知能力、表征能力、抽象概括能力、推理計(jì)算能力.在知識的應(yīng)用過程中著重發(fā)展基本結(jié)構(gòu)的識別能力和建構(gòu)能力以及運(yùn)用知識進(jìn)行推理計(jì)算的能力，分析問題和解決問題的能力.

(2)數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)少而精.一般來講，一節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)最多不超過2個(基礎(chǔ)性目標(biāo)和發(fā)展性目標(biāo)各1個).由于學(xué)習(xí)目標(biāo)往往有多個，有時還難以取舍，這就意味著必須選擇最重要且達(dá)成可能性較大者作為核心目標(biāo)，形成教學(xué)重點(diǎn)，并且對重點(diǎn)目標(biāo)達(dá)成條件和達(dá)成的狀態(tài)進(jìn)行具體描述，明確在什么條件下能達(dá)到什么程度，為主題學(xué)習(xí)活動的設(shè)計(jì)提供依據(jù).如果確定的教學(xué)重點(diǎn)太多，從整堂課來看就顯得沒有重點(diǎn)，在課堂有限的學(xué)習(xí)時間內(nèi)，能達(dá)成1～2個核心教育價值即可.

3 合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動，有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)

數(shù)學(xué)課堂核心教育價值的實(shí)現(xiàn)，需要設(shè)計(jì)有針對性的學(xué)習(xí)活動，有充分的認(rèn)知活動空間和時間.如果沒有相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動，或者活動的空間和時間不足，則“落實(shí)核心教育價值、體現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)”就成為一句空話.例如，如果離開了用不等式表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，則落實(shí)“在具體問題中了解不等式的意義”這一教學(xué)重點(diǎn)就成為無根之木、無源之水，成為“空”的重點(diǎn).那么，怎樣設(shè)計(jì)有針對性的學(xué)習(xí)活動，設(shè)置充分的空間和時間體現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)呢?

圖1

(1)以教材核心知識的形成和應(yīng)用為基本線索，創(chuàng)設(shè)有針對性的學(xué)習(xí)認(rèn)知活動.例如，函數(shù)的一般概念教學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)的概念，為減低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，人教版教材和浙教版教材都在前面設(shè)置了變量與常量的學(xué)習(xí)內(nèi)容，人教版叫“變量”，浙教版叫“變量與常量”.變量與常量是函數(shù)這一核心概念的輔助性學(xué)習(xí)內(nèi)容.變量與常量概念中，變量是核心概念，確定變量并用字母和含字母的式子表示變量及其關(guān)系是函數(shù)建模的基礎(chǔ)，而常量概念在后繼學(xué)習(xí)中的重要性比變量概念要遜色得多.變量與常量是基于變化過程的，因此，在具體的問題情境中理解變量與常量的概念是教學(xué)重點(diǎn)，而這一教學(xué)重點(diǎn)需要的是在實(shí)際的變化過程中的數(shù)量屬性(變與不變)的理解，而非某一具體函數(shù)解析式中變量與常量的辨別.但不幸的是，很多教師設(shè)計(jì)了要求學(xué)生判斷函數(shù)解析式中的變量和常量的練習(xí)，并拼命深挖，編制出相關(guān)練習(xí)，通過這些練習(xí)達(dá)成理解變量常量概念這一教學(xué)重點(diǎn).如“指出下列函數(shù)中的變量和常量：y=4x，y=-x2+5x，s=πr2”等等.用這種純式子的判斷練習(xí)來實(shí)現(xiàn)“在具體問題中了解變量的意義”這一教學(xué)重點(diǎn)是不可能的，原因是：

①函數(shù)解析式是對函數(shù)關(guān)系的代數(shù)描述，是在已知變量、常量的基礎(chǔ)上對函數(shù)關(guān)系的代數(shù)解釋，因此，在解析式中找變量和常量，從邏輯上看是毫無意義的.

②離開了實(shí)際意義，說不清常量和變量是什么.例如式子y=4x+1，既可以表示一個二元一次方程，也可以表示一次函數(shù)，只有在認(rèn)定x，y是變量的前提下，該式才表示一次函數(shù).再如，在y=-x2+5x中，常量是什么?很難分清.很多教師想當(dāng)然地把-1，5說成是常量，試想，如果把式子變成y=x(5-x)，常量又是什么?在“周長為10的變化的矩形中，一邊長為x，面積為y”中，邊長x和面積y是變量，周長10是常量.

③離開了變化過程講變量與常量，與教學(xué)重點(diǎn)“在具體的變化過程中了解變量的意義”是不匹配的.要在具體的變化過程中了解變量的意義，需要讓學(xué)生分析變化過程中的數(shù)量變化和對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生觀察變化過程從而獲得對變量的變化規(guī)律的理解，讓學(xué)生用適當(dāng)?shù)姆椒枋鲎兞考捌潢P(guān)系，感受變量的對應(yīng)關(guān)系，從而為理解函數(shù)概念打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也在學(xué)習(xí)過程中積累函數(shù)建模的經(jīng)驗(yàn).

(2)在匹配的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，把教學(xué)重點(diǎn)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知操作任務(wù)系列，為達(dá)成核心教育價值設(shè)置合理必要的空間和時間.例如，在本文前述的“認(rèn)識不等式”教學(xué)中，教學(xué)重點(diǎn)是“在具體問題中了解不等式的意義，會用數(shù)軸表示簡單的不等式解集”，那么就需要設(shè)置讓學(xué)生用不等式表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系(從簡單到復(fù)雜)，如“用不等式表示2個人的身高關(guān)系”、“用不等式表示蹺蹺板狀態(tài)”、“用不等式表示公路的限速標(biāo)志”等，通過實(shí)際問題中的不等關(guān)系讓學(xué)生認(rèn)識不等號和不等式.接著，設(shè)置“用數(shù)軸表示2個具體的數(shù)的大小關(guān)系、2個抽象的數(shù)的大小關(guān)系以及不等式x＞a，x＜a，x≥a，x≤a，a ＜x＜b，a≤x＜b”的任務(wù)，讓學(xué)生從具體到抽象地學(xué)習(xí)這些簡單不等式的數(shù)軸表示方法，體會簡單的數(shù)形結(jié)合思想.在此基礎(chǔ)上，設(shè)置用不等式表示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，學(xué)習(xí)列不等式的基本方法，體會不等式是描述數(shù)量關(guān)系的重要模型，結(jié)合數(shù)軸，直觀地確定簡單實(shí)際問題中的不等式成立的未知數(shù)取值范圍.通過用不等式表示具體問題中的數(shù)量關(guān)系任務(wù)和用數(shù)軸表示簡單不等式解集的任務(wù)，體現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)本學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心教育價值.再如，在“等腰三角形的性質(zhì)和判定復(fù)習(xí)”中，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該是“通過學(xué)生獨(dú)立回顧知識和組織知識，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，通過運(yùn)用性質(zhì)判定解決問題，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和推理能力”，那么就需要設(shè)計(jì)知識的回顧與組織活動，設(shè)置獨(dú)立的知識回顧和組織任務(wù)，來達(dá)成優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)的目的.通過設(shè)置從等腰三角形結(jié)構(gòu)單一到結(jié)構(gòu)組合與結(jié)構(gòu)隱含的練習(xí)，讓學(xué)生體會等腰三角形這一基本圖形的辨別、構(gòu)造和變化，發(fā)展空間觀念和幾何直觀，并通過運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理計(jì)算的練習(xí)，發(fā)展推理能力.方程思想和分類討論是初中數(shù)學(xué)中的重要思想，但不是本課的教學(xué)重點(diǎn)，因此，不能花很多時間進(jìn)行說明，只要在少量具體問題中滲透即可.