簡(jiǎn)談?wù)c(diǎn)多邊形的存在性問題

●黃新民 (溫州市教育教學(xué)研究院 浙江溫州 325000)

0 前言

在方格紙上畫一個(gè)格點(diǎn)正方形(正方形的頂點(diǎn)在方格頂點(diǎn)上)，操作較簡(jiǎn)單.如果要在方格紙上畫出一個(gè)格點(diǎn)正五邊形或格點(diǎn)正六邊形，請(qǐng)認(rèn)真思考一下，動(dòng)手畫一畫.

組合幾何是一個(gè)新興的數(shù)學(xué)分支，主要研究幾何元素的組合問題，其內(nèi)容豐富多彩.許多組合幾何問題因其表述直觀而獨(dú)具魅力，它是目前初等數(shù)學(xué)中一個(gè)活躍的研究課題，整點(diǎn)問題是其中的一部分內(nèi)容.關(guān)于整點(diǎn)多邊形的存在性問題有過(guò)許多研究，見文后所附的參考文獻(xiàn).本文對(duì)整點(diǎn)多邊形存在性問題的研究作一綜述，主要介紹整點(diǎn)多邊形存在性研究的一些結(jié)果及其在三維空間中的推廣，并提出關(guān)于整點(diǎn)多邊形在三維空間中存在的一個(gè)猜想.

1 關(guān)于整點(diǎn)多邊形存在的一些結(jié)論

定義1 在平面直角坐標(biāo)系中，把頂點(diǎn)坐標(biāo)都是整數(shù)的多邊形稱為整點(diǎn)多邊形，也稱為格點(diǎn)多邊形.

整點(diǎn)正多邊形的存在性問題已解決(見文獻(xiàn)［2］，［6］，［7］)，結(jié)論是：

定理1 在平面直角坐標(biāo)系中，不存在整點(diǎn)正n(n≠4)邊形.

若把條件放寬，去掉“等邊”，保留“等角”，再來(lái)觀察是否有整點(diǎn)等角n邊形存在，文獻(xiàn)［5］回答了該問題：

圖1

定理2 在平面直角坐標(biāo)系中，不存在整點(diǎn)等角 n(n∈N 且 n＞2，n≠4，n≠8)邊形.

文獻(xiàn)［9］進(jìn)一步推廣：

定理3 不存在其中一個(gè)角等于r°(r為有理數(shù)且 r≠45，90，135)的整點(diǎn)多邊形.

定理3表明一個(gè)多邊形是否為整點(diǎn)多邊形，與其內(nèi)角度數(shù)是否為有理數(shù)密切相關(guān).若其中一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為有理數(shù)但又不是45的整數(shù)倍，那么這個(gè)多邊形肯定不是整點(diǎn)多邊形.由此可見，整點(diǎn)多邊形是否存在，與它是否等角無(wú)關(guān).因此，可以去掉“等角”這個(gè)條件，考慮“等邊”的情形.

除菱形外，是否還存在其他的整點(diǎn)等邊多邊形呢?答案是肯定的.在平面直角坐標(biāo)系中可以畫出整點(diǎn)等邊六邊形、整點(diǎn)等邊八邊形等，如圖2和圖3所示.

圖2

圖3

試畫整點(diǎn)等邊五邊形、整點(diǎn)等邊七邊形等，發(fā)現(xiàn)總是不成功.猜想它與邊數(shù)的奇偶性有關(guān)，文獻(xiàn)［4］證明了：

定理4 在平面直角坐標(biāo)系中，存在整點(diǎn)等邊2n邊形.

定理5 在平面直角坐標(biāo)系中，不存在整點(diǎn)等邊2n+1邊形.

對(duì)于一般的多邊形，邊長(zhǎng)滿足什么條件時(shí)，它是整點(diǎn)多邊形?這個(gè)問題很難回答，有待進(jìn)一步研究.下面給出2個(gè)新的結(jié)論：

根據(jù)定理 7，當(dāng) k=1，2，3，4，5，…時(shí)，即可得到一系列邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)的整點(diǎn)三角形(3，4，5)，(13，14，15)，(51，52，53)，(193，194，195)，(723，724，725)，…

2 三維空間中的推廣及猜想

定義2 在三維空間直角坐標(biāo)系中，把頂點(diǎn)坐標(biāo)都是整數(shù)的多邊形叫做整點(diǎn)多邊形.

定理5在三維空間里能否推廣?換言之，在三維空間中，是否存在整點(diǎn)等邊2n+1邊形?當(dāng)邊長(zhǎng)取，時(shí)，可以分別構(gòu)造出整點(diǎn)等邊三角形，如圖4和圖5所示.

圖4

圖5

注圖5中的正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)A，B，C分別是3條棱的中點(diǎn).

定理8［12］在三維空間中，不存在邊長(zhǎng)為的整點(diǎn)等邊2n+1邊形，其中a為奇數(shù).

定理9［12］在三維空間中，存在邊長(zhǎng)為的整點(diǎn)等邊2n+1 邊形，其中 a=r2+s2+t2，r=s+t(r，s，t∈N).

進(jìn)一步思考，若a為偶數(shù)，但不滿足條件“a=r2+s2+t2，r=s+t(r，s，t∈N)”，是否可以構(gòu)造出邊數(shù)為奇數(shù)的整點(diǎn)等邊多邊形呢?

可見，定理9中的條件還可以削弱，有興趣的讀者可以作進(jìn)一步研究.在這里，筆者提出一個(gè)猜想：

猜想在三維空間中，若偶數(shù)a可以表示成2個(gè)正整數(shù)的平方和或者3個(gè)正整數(shù)的平方和，則一定存在邊長(zhǎng)為的整點(diǎn)等邊2n+1邊形.

圖6

［1］ 柯召，孫琦.初等數(shù)論100例［M］.上海：上海教育出版社，1980.

［2］ 嚴(yán)鎮(zhèn)軍.從正五邊形談起［M］.上海：上海教育出版社，1980.

［3］ 黃新民.整點(diǎn)多邊形的存在性問題［M］.杭州：浙江教育出版社，2010.

［4］ 黃新民.整點(diǎn)多邊形存在性問題［M］.中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究文集.鄭州：河南教育出版社，1992.

［5］ 胡敬民.整點(diǎn)等角形問題［J］.麗水師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1984(1)：17-18.

［6］ 朱時(shí).整點(diǎn)正多邊形問題［J］.廈門數(shù)學(xué)通訊，1981(2).

［7］ 顧忠德.整點(diǎn)正多邊形問題的推廣［J］.廈門數(shù)學(xué)通訊，1983(3).

［8］ 劉根洪，湯正誼.整頂點(diǎn)多邊形所圍整點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2004(2)：25-28.

［9］ 黃新民.有理角度正切函數(shù)值的無(wú)理性與整點(diǎn)多邊形問題［J］.數(shù)學(xué)函授，1986(3).

［10］ 黃新民.整點(diǎn)多邊形問題在n維空間中的推廣［J］.溫州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1996(3)：24-27.

［11］ 黃新民.邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)的整點(diǎn)三角形存在性問題［J］.中學(xué)教學(xué)雜志，1996(3).

［12］ 黃新民.整點(diǎn)等邊多邊形問題在三維空間中的推廣［J］.中學(xué)教研，2002(2)：25-26.