提高學(xué)生運(yùn)算能力的思考與嘗試

●黃澤航 (杭州市清河中學(xué) 浙江杭州 310008)

1 問題的提出

在教學(xué)過程中，常有學(xué)生在最基本的運(yùn)算中出錯.筆者有幸參加了2011年浙江省杭州市數(shù)學(xué)中考閱卷，在對第20題的閱卷過程中筆者做了一些統(tǒng)計(jì)(抽樣50份試卷).該題是一道以杭州市舉辦的國際動漫節(jié)為載體，用7屆動漫節(jié)的成交金額為變量編制的統(tǒng)計(jì)題.考生的解答不容樂觀，有48名考生列出了方程：65.3(1+x)2=128，但只有6名考生算出了結(jié)果x≈40%.其他考生卷面上雖有運(yùn)算過程和改劃印記，卻得不到正確答案，可見考生在考試過程中為計(jì)算此題花費(fèi)了很多時(shí)間，進(jìn)而影響了后續(xù)解題的信心.

2 問題的分析

2.1 歸因分析

(1)數(shù)學(xué)教材刪除了“繁、難、偏、舊”，卻沒有夯實(shí)運(yùn)算的基礎(chǔ).

新課程摒棄了數(shù)學(xué)運(yùn)算中的“繁、難、偏、舊”，本應(yīng)更能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展，但在使用過程中，發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)普遍存在的問題：運(yùn)算的不足成為新課程的軟肋.筆者使用過華師大版(一輪)教材和新浙教版(兩輪)教材，都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，但都在不同程度上削弱了數(shù)學(xué)基本技能，無論在內(nèi)容上還是教學(xué)時(shí)間上，都沒有關(guān)注到學(xué)生實(shí)際的出發(fā)點(diǎn)、發(fā)展的過程和后續(xù)學(xué)習(xí)的需要，很多運(yùn)算的教學(xué)內(nèi)容和課時(shí)的安排值得探討.

(2)數(shù)學(xué)課堂需要的是“靜水深流”，尤其是在數(shù)學(xué)運(yùn)算技能的教學(xué)上.

新課程強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動探索、分組討論、交流合作的參與式課堂教學(xué)，多元化的課堂教學(xué)模式遍地生花.在運(yùn)算教學(xué)中，筆者曾在2個(gè)班級中分別使用課件、視頻、投影模式和粉筆黑板傳統(tǒng)模式，當(dāng)堂測試后分差明顯異常，采用課件模式的班級學(xué)生運(yùn)算錯誤多.筆者發(fā)現(xiàn)課件模式下的運(yùn)算演練、步驟對于學(xué)生來說就好比游客在風(fēng)景如畫的勝地走馬觀花.

(3)數(shù)學(xué)素養(yǎng)需要的是“淡泊寧靜”，使學(xué)生在運(yùn)算能力上達(dá)到致遠(yuǎn).

學(xué)生在課堂中的諸多行為都帶有社會的印記，信心飽滿得自負(fù)(或覺得什么事都不能做好而氣餒)，心浮氣躁，意志力脆弱，不能堅(jiān)持完成作業(yè).在做運(yùn)算題的過程中，跳步驟，不打草稿，亂涂亂改，寫錯符號、數(shù)字，依賴計(jì)算器，盲目追求完成的速度，不檢查、驗(yàn)算等不好的解題習(xí)慣，為日后的計(jì)算能力差落下了病根.

2.2 思考策略

2.2.1 思考

2.2.2 策略

要提高計(jì)算能力，首先要熟練掌握各種運(yùn)算法則，在運(yùn)算過程中，盡量不要跳步，計(jì)算要有層次，在初一時(shí)應(yīng)養(yǎng)成寧慢不錯、一遍算對的好習(xí)慣，在初二、初三時(shí)在保證正確率的同時(shí)提高運(yùn)算的速度.

當(dāng)然還要多做練習(xí).這里說的“多”是高質(zhì)量的“多”，不單是數(shù)量上的“多”.多做題，多見題才能見多識廣、積累經(jīng)驗(yàn)、熟能生巧，堅(jiān)持不懈的努力就能提高運(yùn)算能力.

在具體運(yùn)算中，要一看、二想、三動筆，即要仔細(xì)看明白題目的特點(diǎn)，認(rèn)真想一想如何運(yùn)算最科學(xué)有效.看清了，想好了，再動筆運(yùn)算，特別是要養(yǎng)成速算、巧算的習(xí)慣，要注意領(lǐng)會教師的方法.能速算、巧算是運(yùn)算能力強(qiáng)的突出表現(xiàn).

3 操作嘗試

3.1 態(tài)度

無可否認(rèn)，“態(tài)度”并不是一種提高運(yùn)算能力的技巧，但是教師積極的態(tài)度是有效教學(xué)的基礎(chǔ).

3.2 對時(shí)間的利用

時(shí)間是一個(gè)有價(jià)值的資源，但是僅僅通過增加時(shí)間來提高學(xué)習(xí)效率并不像它表面上所表現(xiàn)出來的那樣簡單，不同類型的課堂時(shí)間會以不同的方式對學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響.在八年級(下)一元二次方程的解法——配方法教學(xué)課堂時(shí)間的分配如表1.

表1 配方法解一元二次方程的課堂時(shí)間分配

當(dāng)從分配的時(shí)間過渡到學(xué)術(shù)性學(xué)習(xí)的時(shí)間時(shí)，時(shí)間與學(xué)習(xí)的關(guān)系就變得更加緊密了.在那些學(xué)生被吸引進(jìn)來并取得成功的課堂上，學(xué)生的運(yùn)算水平取得的成就很高，能體驗(yàn)到勝任感和自我效能感，同時(shí)他們對主題的興趣也會有所增加.

3.3 組織

組織是一種基本的教學(xué)技能，它包含按時(shí)開始、提前準(zhǔn)備材料、設(shè)立慣例和常規(guī)，以及能增加教學(xué)時(shí)間的其他活動.良好的組織能力可使教師盡可能多地將課堂時(shí)間用于教學(xué).

常規(guī)對教師來說同樣重要.研究指出，任何領(lǐng)域的專家都擁有盡可能多的常規(guī)化的程序，這可以減少他們工作記憶的負(fù)擔(dān).常規(guī)也帶來了秩序和平衡感，學(xué)生有對平衡的內(nèi)在需要，在有序的環(huán)境中比在混亂的環(huán)境中能學(xué)到更多的知識.在數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)中，教師不能忽略常規(guī)的內(nèi)在價(jià)值，為運(yùn)算的好習(xí)慣打下堅(jiān)實(shí)的根基.

3.4 溝通

有效的溝通可以促進(jìn)師生的互動，有助于優(yōu)化運(yùn)算過程和運(yùn)算方法的訓(xùn)練.有效溝通的4個(gè)方面(確切的術(shù)語、前后關(guān)聯(lián)的談話、轉(zhuǎn)換信號、強(qiáng)調(diào)重點(diǎn))對學(xué)習(xí)特別重要.數(shù)學(xué)課堂中不應(yīng)有模糊不清的術(shù)語，在交流中使用如“可能、差不多、也許”等術(shù)語會給學(xué)生留下一種對內(nèi)容不確定的感覺，這種不確定性會損害學(xué)習(xí).關(guān)聯(lián)的談話使得教學(xué)內(nèi)容連貫，順序恰當(dāng)不混亂，花費(fèi)的時(shí)間最小化.數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的轉(zhuǎn)換需要教師發(fā)出明顯的信號，因?yàn)椴⒎撬袑W(xué)生的認(rèn)知都集中于同一個(gè)地方.教師提醒學(xué)生知識點(diǎn)有所轉(zhuǎn)換，使他們有所調(diào)整并做好準(zhǔn)備.強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)是指通過言語和聲音提示以及重述來提醒學(xué)生關(guān)于某節(jié)課的重要信息.

3.5 聚焦

關(guān)注引入可以吸引學(xué)生的注意力并為一堂課提供框架，使注意力在整堂課中都能得以維持.可經(jīng)常借用數(shù)軸、模型、圖形等化抽象運(yùn)算為具體運(yùn)算，例如用數(shù)軸來展示一元一次不等式(組)的求解，用圖形的面積來展示乘法公式及恒等式的意義.

運(yùn)算過程的板演可用于保持學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的注意力，筆者的演示和借用工具讓學(xué)生的注意力能夠聚焦于此，同時(shí)也提供了一個(gè)參照示范模型以幫助其對抽象的原理概念化.要以高質(zhì)量的例題來組建課程，這些例子不僅能提供給學(xué)生在構(gòu)建理解時(shí)所需要的信息，而且也為學(xué)生提供了能維持他們注意力的感官焦點(diǎn).

3.6 反饋

及時(shí)對學(xué)生的準(zhǔn)確性和適當(dāng)性給予評價(jià)，對促進(jìn)學(xué)習(xí)的重要性是毋庸置疑的.反饋使得學(xué)生對其背景知識的掌握程度作出評估，同時(shí)還提供了自身知識建構(gòu)的有效信息，有助于滿足學(xué)習(xí)者了解自己的進(jìn)展情況的內(nèi)在需要.

有效的反饋是在學(xué)生回答后立即或很快給予的.同樣，在考試時(shí)，立即反饋常常比延遲反饋更能促進(jìn)對困惑的理解和難點(diǎn)的認(rèn)識突破.當(dāng)然對一部分主動深入探索的學(xué)生來說，考試的第二天再討論試題比完成考試后立即討論可能更有效，因?yàn)檠舆t討論可以給學(xué)生以充足的時(shí)間來闡述他們最初的思考.然而，接受反饋可以幫助他們鞏固知識或重新構(gòu)建自己的理解.

3.7 提問

提問有助于提高學(xué)生的審題能力，能促進(jìn)學(xué)生思維的靈活性.一個(gè)善于提問的教師能夠評估學(xué)生的背景知識，使學(xué)生能夠重新思考他們的觀點(diǎn)，幫助他們建立知識之間的聯(lián)系，重新抓住學(xué)生飄忽不定的注意力，促進(jìn)學(xué)生的成功以及提高他們的自我價(jià)值.提問也是一種能保持一堂課的進(jìn)度和推動學(xué)習(xí)勢頭的工具，是維持學(xué)生積極參與的重要因素.

有技巧性的提問是非常復(fù)雜的，但是隨著實(shí)踐、專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)的積累，教師的確能成為此方面的專家.為了避免加重自己工作記憶的負(fù)擔(dān)，教師需要練習(xí)提問策略以達(dá)到自動化的水平，這樣就可以給課堂留出足夠的時(shí)間來監(jiān)控學(xué)生的思考和評估其在學(xué)習(xí)上的進(jìn)步.有效的提問應(yīng)是頻繁的，是公平分配的，是可以運(yùn)用提示的，允許有適當(dāng)?shù)牡却龝r(shí)間.

3.8 復(fù)習(xí)和鞏固

在總結(jié)和歸納教學(xué)方法思想時(shí)，復(fù)習(xí)和小結(jié)能使整堂課變得更加連貫，它可以在一堂課的任一時(shí)間點(diǎn)上發(fā)生，盡管它在課堂的開始和結(jié)束時(shí)是最常見也是最明顯的.有效的復(fù)習(xí)強(qiáng)調(diào)重要的知識點(diǎn)并鼓勵學(xué)生對此進(jìn)行精細(xì)加工.復(fù)習(xí)常常也包括更多簡單的復(fù)述，可使學(xué)生的注意力從逐字逐句的細(xì)節(jié)轉(zhuǎn)移到所學(xué)材料概念間的關(guān)聯(lián)上來.

例如，在八年級(下)一元二次方程的解法——公式法教學(xué)中，新課開始時(shí)對配方法的復(fù)習(xí)，是為了學(xué)生對于求根公式推導(dǎo)的理解，是作為公式法的背景知識，因此本節(jié)課開始時(shí)應(yīng)認(rèn)真地復(fù)習(xí)以下知識：

配方法

鞏固是進(jìn)一步對學(xué)習(xí)內(nèi)容總結(jié)概括和整合.當(dāng)教師教一種運(yùn)算時(shí)，有效的鞏固形式是讓學(xué)生能解釋運(yùn)算的原理，以此原理解決另外一些習(xí)題，這樣把運(yùn)算的精髓留給了學(xué)生并為后來的課程打下了良好的基礎(chǔ).

4 成效與方向

4.1 成效

筆者以九年級(上)二次函數(shù)中求解析式為例展開，從課例的設(shè)計(jì)、思考來闡述筆者的實(shí)踐成效.

學(xué)生已有知識和能力：解二元一次方程組(可提升為多元)，因式分解中的十字相乘法，一元二次方程的配方法、韋達(dá)定理的運(yùn)用，這些是二次函數(shù)解析式所必須的知識儲備，即決定學(xué)生應(yīng)該知道什么、重視什么或能夠做什么.

需要的例子：

求下列二次函數(shù)的解析式.

(1)當(dāng) x=1 時(shí)，y=-8;當(dāng) x=-1時(shí)，y=0;當(dāng)x=0時(shí)，y=-6.

(3)函數(shù)圖像頂點(diǎn)為(1，-8)且經(jīng)過(-2，10).

(4)對稱軸是直線x=1，且函數(shù)有最小值-8，經(jīng)過點(diǎn)(4，10).

(5)函數(shù)圖像交 x 軸于點(diǎn)(3，0)，(-1，0)，且經(jīng)過(0，-6).

(8)函數(shù)圖像.

下面是同一個(gè)函數(shù)的4種不同表達(dá)式：

求根公式

這個(gè)過程中包含以下4步：(1)識別運(yùn)算主題的構(gòu)成：學(xué)生應(yīng)理解的概念、原理和它們之間的關(guān)系;(2)為運(yùn)算主題包含的成分排序;(3)準(zhǔn)備能幫助學(xué)生建構(gòu)對運(yùn)算主題的每一成分的理解的具體實(shí)例;(4)排列例子的順序，首先呈現(xiàn)的是最顯而易見的例子.

二次函數(shù)解析式是刻畫2個(gè)變量x和y的對應(yīng)關(guān)系，是學(xué)習(xí)函數(shù)圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)，解析式?jīng)Q定了圖像的形狀、位置、大小、函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值.學(xué)習(xí)者對函數(shù)的解析式必須理解透徹，能對以下4種表達(dá)式所對應(yīng)的已知條件作出合理的選擇，避免增加運(yùn)算的難度.

待定系數(shù)法求解析式思維過程：先設(shè)后代，轉(zhuǎn)化為解方程(組)，再代回.學(xué)生對解決問題的思路是熟悉的，關(guān)鍵是如何作出合理的選擇.需要教師分解、整合已知條件和基本原理，并試圖找出它們之間的關(guān)系，為運(yùn)算的簡捷做準(zhǔn)備.

在組織運(yùn)算教學(xué)中，黑板上的板書示范是課堂教學(xué)的重點(diǎn)，同樣，題目以板書的方式呈現(xiàn)可以避免學(xué)生的突兀和生疏，吸引和保持學(xué)生的注意力，引領(lǐng)規(guī)范，算理清晰.分析、思維、板書同步，保持一致性，讓學(xué)習(xí)者聚焦于運(yùn)算的變換更迭中，突出易錯點(diǎn)，鼓勵批判性思維的發(fā)展.逆向運(yùn)算、思維順暢和快速的驗(yàn)算過程可保證運(yùn)算的成功.

由于評估發(fā)生在學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動之后，因此很容易認(rèn)為考慮評估也是發(fā)生在學(xué)習(xí)活動實(shí)施之后.事實(shí)上，教師需要在準(zhǔn)備目標(biāo)和學(xué)習(xí)過程的同時(shí)開始考慮評估，應(yīng)該集中在“如何挑選并設(shè)計(jì)評估來檢測學(xué)生究竟學(xué)到了多少知識”這個(gè)問題上.

在計(jì)劃教學(xué)活動時(shí)，筆者準(zhǔn)備了一個(gè)包含3個(gè)方面的小測驗(yàn)，如下：

(1)求二次函數(shù)的解析式.

①二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0，-3)，(2，-3)，(3，0).

②二次函數(shù)的圖像經(jīng)過3個(gè)定點(diǎn)(-1，0)，(3，0)，(0，-3).

③二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為(1，-4)，且過點(diǎn)(4，5).

(2)請?jiān)诤瘮?shù)圖像上給出一些點(diǎn)，并寫出與之對應(yīng)的函數(shù)解析式.

(3)看二次函數(shù)的4種表達(dá)式，你能解釋它們的各自意義嗎，能進(jìn)行它們之間的等量變換嗎?

評估是否有意義，應(yīng)從3個(gè)方面來看：首先，評估的形式與開展學(xué)習(xí)活動是否一致，并且兩者都是在計(jì)劃課程時(shí)就思考好的，在課堂上使用詳細(xì)、具體的例子，同樣也用詳細(xì)、具體的例子來評估學(xué)生的運(yùn)算能力;其次，在計(jì)劃過程中考慮評估時(shí)，應(yīng)向自己提出“如何確保教學(xué)和評估、目標(biāo)相一致”這樣的問題對促進(jìn)學(xué)習(xí)是最基本的;第三，學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境除了是知識中心、學(xué)習(xí)者中心外，還應(yīng)以評估為中心，這就意味著評估不是附加在課程后面用來作為給個(gè)分?jǐn)?shù)的工具，而是整個(gè)教學(xué)過程一個(gè)有機(jī)的組成部分.

運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，是解決問題的一種必備能力.筆者在課堂教學(xué)中關(guān)注運(yùn)算的細(xì)節(jié)，注重通解通法及題串的設(shè)置，整理分析易錯點(diǎn)，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，化抽象思維為形象思維，強(qiáng)化和突出了運(yùn)算過程的常規(guī)，從學(xué)習(xí)者的角度來理解教學(xué).學(xué)生在運(yùn)算方面的正確性、合理性、靈活性和簡捷性取得了一定的成效，在各類測試中筆者任教班級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績顯著好于其他班級.

4.2 方向

在實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生思維靈活性的不足影響著運(yùn)算能力的提升，引導(dǎo)學(xué)生在一題多解中快速地選擇簡單而行之有效的方法，有待于進(jìn)一步的思考與探索.

［1］ 埃根，考查克.教育心理學(xué)［M］.6版.鄭日昌，譯.北京：北京大學(xué)出版社，2009.

［2］ 蔡親鵬，陳建花.數(shù)學(xué)教育學(xué)［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2008.

［3］ 華應(yīng)龍.我這樣教數(shù)學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.