“隨機(jī)事件的概率”一課的賞析與思考

●謝尚志 (溫州市第二十三中學(xué) 浙江溫州 325000)

2011年10月19日“浙江省高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)比暨有效教學(xué)論壇活動(dòng)”在麗水中學(xué)舉行，筆者作為名師工作室學(xué)員，有幸觀摩了本次活動(dòng)，感受了不同風(fēng)格的課堂，也領(lǐng)略了不同地區(qū)優(yōu)秀教師的風(fēng)采.特別是獲得本次評(píng)比活動(dòng)第1名的溫州中學(xué)孫軍波老師的“隨機(jī)事件的概率”一課，其和諧的師生互動(dòng)、活躍的數(shù)學(xué)思維、自然的思維過(guò)度、異彩紛呈的生態(tài)課堂，令筆者耳目一新、如沐春風(fēng).下面是筆者對(duì)該節(jié)課的幾點(diǎn)體會(huì)及對(duì)今后教學(xué)的啟示，望與廣大同仁交流學(xué)習(xí).

1 課例賞析

1.1 名詩(shī)導(dǎo)入——掀起情感浪潮

導(dǎo)入環(huán)節(jié)雖是教學(xué)過(guò)程中短暫的一段，但由于是師生課堂交往的最初階段，因而師生之間的信息感應(yīng)和接受都是強(qiáng)有力的.孫老師以自己去泰山游玩為題材，結(jié)合一句名詩(shī)“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽縱山小”設(shè)置問(wèn)題導(dǎo)入.

問(wèn)題：“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽縱山小”這種景象在登泰山時(shí)一定能看到嗎?

此問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)新穎、精致，不僅能快速集中學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的興趣，將學(xué)生的思維“鎖”定本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容之一——隨機(jī)事件的概率，又充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教師的人文修養(yǎng).對(duì)于一名優(yōu)秀的教師來(lái)說(shuō)，在組織建立課堂秩序及傳授知識(shí)的過(guò)程中，積極得體的語(yǔ)言表達(dá)以及通過(guò)語(yǔ)言表現(xiàn)出來(lái)的氣質(zhì)、修養(yǎng)、情感等個(gè)性特征和人格魅力，以及對(duì)學(xué)生表現(xiàn)出的鼓勵(lì)、期望等種種良性暗示，都會(huì)構(gòu)成一個(gè)強(qiáng)大的信息沖擊波，在學(xué)生腦海里留下深刻的印象，掀起積極情感的浪潮.

1.2 有效實(shí)驗(yàn)——演繹數(shù)學(xué)本源

通過(guò)學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，體會(huì)隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，由此給出概率的統(tǒng)計(jì)定義，這是本節(jié)課的主要任務(wù).在此環(huán)節(jié)教學(xué)中，孫老師始終圍繞著“隨機(jī)事件的隨機(jī)性以及隨機(jī)性中表現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律性”這一核心概念進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析.

實(shí)驗(yàn)1 學(xué)生拋硬幣實(shí)驗(yàn)，回顧頻數(shù)、頻率等概念.

要求 全班每2個(gè)人一組，每小組實(shí)驗(yàn)10次，每小組安排一人拋擲，一人記錄硬幣“正面朝上”的次數(shù)，填入書上的表格.

分析Excel采集數(shù)據(jù)并做出折線圖.

問(wèn)題1 與其他小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，你和他們的結(jié)果一致嗎?為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況?

問(wèn)題2 大家做出來(lái)的，正面朝上的頻率并不都是0.5，跟我們的猜想有出入，那是什么原因?

問(wèn)題3 書本上要大家將小組的結(jié)果加起來(lái)，再將全班的結(jié)果加起來(lái)，目的是什么?

問(wèn)題4 如果同學(xué)們?cè)僦貜?fù)一次上面的實(shí)驗(yàn)，全班的匯總結(jié)果還會(huì)和這次的匯總結(jié)果一致嗎?如果不一致，你能說(shuō)出原因嗎?

實(shí)驗(yàn)2 計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣實(shí)驗(yàn)，摸擬5組拋1 000次實(shí)驗(yàn).

分析Excel采集數(shù)據(jù)并做出折線圖.

問(wèn)題5 Excel左側(cè)是大家的實(shí)驗(yàn)所得的頻率，右側(cè)是1 000次的摸擬實(shí)驗(yàn)的頻率，通過(guò)對(duì)比，能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象?

再用計(jì)算機(jī)摸擬，在相同條件下，實(shí)驗(yàn)1 000次的過(guò)程，記錄其中每拋一次，所對(duì)應(yīng)的頻率變化.

問(wèn)題6 通過(guò)摸擬實(shí)驗(yàn)，你觀察到了什么現(xiàn)象?

實(shí)驗(yàn)3 介紹歷史上一些拋硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

分析將歷史上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果做成折線圖與實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)2的統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納、總結(jié)出拋硬幣實(shí)驗(yàn)正面朝上的規(guī)律性：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，正面朝上的頻率穩(wěn)定在0.5附近.

問(wèn)題7 概率用來(lái)度量可能性的大小，那正面朝上的概率是不是為確定的常數(shù)?

問(wèn)題8 每次實(shí)驗(yàn)“正面朝上的頻率”是不是都是相同的值?

問(wèn)題9 能不能用某次實(shí)驗(yàn)的頻率作為概率?例如將皮爾遜拋擲2 400次實(shí)驗(yàn)獲得的頻率0.500 5作為正面朝上的概率?為什么?

問(wèn)題10 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖表分析，用哪個(gè)量做為“正面朝上的概率”比較適合呢?且對(duì)于一般隨機(jī)事件來(lái)說(shuō)，可以用什么樣的方法來(lái)獲得隨機(jī)事件概率呢?

孫老師通過(guò)“學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果”、“計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果”、“歷史上一些擲硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果”，以及統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖等手段，使學(xué)生感受到隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，正面朝上的頻率在0.5附近擺動(dòng);再由特殊事件轉(zhuǎn)到一般事件總結(jié)方法;最后進(jìn)一步解釋了這個(gè)常數(shù)(頻率的穩(wěn)定值)代表的意義.在學(xué)生經(jīng)歷上述過(guò)程后，教師再引導(dǎo)學(xué)生得出事件的概率的定義，很好地突破了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).在整個(gè)過(guò)程中，教學(xué)步驟層次清晰，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)緊扣核心，問(wèn)題解決演繹數(shù)學(xué)本源，同時(shí)體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納和總結(jié)的思想方法.

1.3 情感滲透——宣揚(yáng)數(shù)學(xué)文化

從課堂導(dǎo)入到隨機(jī)事件的定義、研究隨機(jī)事件概率的必要性，孫老師始終在“數(shù)學(xué)源于生活”、“數(shù)學(xué)是有用的”理念下進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施.在學(xué)生完成擲硬幣實(shí)驗(yàn)后，孫老師又生動(dòng)地介紹了歷史上“棣莫弗”、“蒲豐”、“費(fèi)勒”、“皮爾遜”等數(shù)學(xué)家的擲硬幣實(shí)驗(yàn)，這不僅是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析的需要，又豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)史知識(shí)，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)家們追求真理的嚴(yán)謹(jǐn)與執(zhí)著，更是一次情感、態(tài)度與價(jià)值觀得到熏陶與垂范的良機(jī).在得出概率的統(tǒng)計(jì)定義后，孫老師又向?qū)W生介紹了“大數(shù)定律”及概率論先驅(qū)——瑞士數(shù)學(xué)家伯努利.在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)中，孫老師引用張景中院士的一句話“概率論這門數(shù)學(xué)，就是研究大量偶然事件發(fā)生的宏觀數(shù)量規(guī)律的學(xué)問(wèn)”作為總結(jié).在課后作業(yè)中，設(shè)計(jì)研究性作業(yè)——查閱“大數(shù)定律”、了解概率發(fā)展史.這樣的設(shè)計(jì)既圍繞著數(shù)學(xué)本質(zhì)，又開(kāi)拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，宣揚(yáng)了數(shù)學(xué)文化，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)受了人類文明的洗禮.

1.4 自然過(guò)渡——保持思維流暢

學(xué)生思維活躍、流暢，課堂銜接自然、無(wú)痕，可以說(shuō)是本節(jié)課的另一亮點(diǎn).問(wèn)題“向空中拋一支粉筆，一定會(huì)掉下來(lái)，屬于哪類事件?一定會(huì)掉下來(lái)嗎?”自然地突出了“事件發(fā)生的條件S”這一教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn).問(wèn)題“杜麗射擊一次，擊中靶心是屬于哪類事件?那為什么選派她參加奧運(yùn)會(huì)呢?”無(wú)痕跡地將學(xué)生思維從隨機(jī)事件分類的判斷過(guò)渡到研究隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小上來(lái).游戲“拋擲2枚質(zhì)地均勻硬幣，定義一變量為X：若結(jié)果為2個(gè)正面，則X=2;若結(jié)果為1正1反，則X=1;若結(jié)果為2個(gè)反面，則X=0.現(xiàn)在同時(shí)拋擲2枚硬幣一次，你猜X的值為多少，理由是什么?”看似擲硬幣實(shí)驗(yàn)的一個(gè)簡(jiǎn)單“變式”，其實(shí)不然，它是課本實(shí)驗(yàn)的自然延續(xù)，保持了學(xué)生思維的連續(xù)性與課堂的流暢性，更是概念“精致”過(guò)程中不可缺少的環(huán)節(jié).本節(jié)課中看似簡(jiǎn)單的一句話語(yǔ)、一個(gè)問(wèn)題、一個(gè)游戲，無(wú)不反映出孫老師對(duì)“教什么”的深刻認(rèn)識(shí)，以及對(duì)“怎么教”的有效把握，使學(xué)生的思維始終保持積極活躍，使課堂保持自然流暢.

2 課例思考

2.1 為什么要選擇“拋硬幣實(shí)驗(yàn)”

本次活動(dòng)中執(zhí)教“隨機(jī)事件的概率”的6位教師，均以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為本節(jié)課的教學(xué)核心，而且包括孫老師在內(nèi)的4位教師選擇了拋硬幣實(shí)驗(yàn)，有1位教師重新設(shè)計(jì)了拋硬幣實(shí)驗(yàn)，另有1位教師采用摸球?qū)嶒?yàn)，這也充分體現(xiàn)了教師“尊重教材，用教材教”的教學(xué)理念，但留給筆者一個(gè)思考：教材為何選擇拋硬幣實(shí)驗(yàn)?

2.2 有比拋硬幣更“好”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)嗎

從筆者與其他觀摩教師的交流與自身的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，在非公開(kāi)課、評(píng)比課上學(xué)生對(duì)拋硬幣實(shí)驗(yàn)均表示出興趣不濃，參與熱情不高，做實(shí)驗(yàn)不按要求，甚至?xí)霈F(xiàn)玩耍、隨意亂報(bào)數(shù)據(jù)等情況.因此，能否設(shè)計(jì)一個(gè)更“好”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)替代拋硬幣實(shí)驗(yàn)值得教師們?nèi)ニ伎己蛧L試，如：

實(shí)驗(yàn)1 在畫有等距平行線的紙上，隨機(jī)地拋擲一枚牙簽，研究牙簽與平行線有交點(diǎn)的概率.

實(shí)驗(yàn)2 在畫有“田”字格的紙上，豎直向上拋擲一枚硬幣，研究硬幣落在格內(nèi)(即硬幣不與邊框相交)的概率.

實(shí)驗(yàn)3 打一篇英文稿件要輸入很多字符(含26個(gè)英文字母、標(biāo)點(diǎn)符號(hào)和空格等)，研究任意輸入文章中的一個(gè)字符，是空格字符(即研究任意輸入一篇英文稿件時(shí)鍵盤上空格鍵被敲擊)的概率.

實(shí)驗(yàn)4 1個(gè)盒子里放著白棋與黑棋，一共30枚，要求一次只能摸出1枚棋子，記錄顏色后要放回盒子里，問(wèn)：盒子中有多少枚白棋，多少枚黑棋?

筆者認(rèn)為，實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)2雖能在一起程度上引起學(xué)生的興趣，達(dá)到實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，但研究?wèn)題的出現(xiàn)不太自然，學(xué)生始終在教師的意識(shí)驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)3、實(shí)驗(yàn)4的設(shè)計(jì)源于學(xué)生的生活，研究問(wèn)題的產(chǎn)生是自然的，問(wèn)題的結(jié)果也是學(xué)生迫切想知道的，也就是說(shuō)，實(shí)驗(yàn)在學(xué)生自身求知欲的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行.學(xué)生先通過(guò)提出解決問(wèn)題的猜想，并動(dòng)手實(shí)踐，小組合作，全班討論，在此過(guò)程中，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，揭示描述概率的要素(頻率)，探究通過(guò)頻率的規(guī)律性來(lái)定義概率的過(guò)程與合理性，突破了教學(xué)難點(diǎn).此外，學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)1～3中的概率值為一個(gè)固定常數(shù)并不能有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，然而實(shí)驗(yàn)4的設(shè)計(jì)更符合學(xué)生實(shí)際與教科書的設(shè)計(jì)意圖.

3 對(duì)今后教學(xué)的啟示

3.1 注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心教學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式提供了可能，它的核心教學(xué)價(jià)值是使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中形成直觀感知后總結(jié)出解決問(wèn)題的方法和思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、分析與歸納的能力.在教學(xué)中，除了讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐之外，更應(yīng)該通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果并進(jìn)行歸納、總結(jié)，注重引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)自己對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的看法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心教學(xué)價(jià)值.

3.2 體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程的感悟

本節(jié)課最大的亮點(diǎn)莫過(guò)于“概率的統(tǒng)計(jì)定義”的形成過(guò)程的教學(xué).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“……由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注意體現(xiàn)基本概念的來(lái)龍去脈.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì).”概念形成的教學(xué)通常圍繞著概念的核心展開(kāi)，實(shí)際上是掌握同類事物的共同、關(guān)鍵屬性的過(guò)程，因此需要有一個(gè)從外到內(nèi)、由表及里的過(guò)程.在學(xué)生經(jīng)歷概念形成過(guò)程中，教師要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化，理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

3.3 設(shè)計(jì)聚焦概念核心的例題、練習(xí)

這次活動(dòng)的6節(jié)“隨機(jī)事件的概率”課中，有5位教師設(shè)計(jì)了類似如下例題作為概念鞏固與應(yīng)用：

某批羽毛球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果如表1所示.

表1 某批羽毛球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果表

(1)計(jì)算各個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量檢查的頻率;

(2)從這批羽毛球中任意抽取一個(gè)，是優(yōu)等品的概率約是多少?

該問(wèn)題的解決，只需憑學(xué)生已有知識(shí)或者教師直接告知學(xué)生“隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，頻率會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近”這一結(jié)論性知識(shí)就能輕易解決.這和本節(jié)課的教學(xué)重心是不相吻合的，更起不到“精致”概念的作用.

而孫老師用游戲來(lái)代替例題，這樣的設(shè)計(jì)“實(shí)驗(yàn)味”很濃，又能給學(xué)生帶來(lái)思維上的沖擊，學(xué)生再次經(jīng)歷猜想、設(shè)計(jì)(實(shí)驗(yàn)方案)、觀察、分析、歸納的過(guò)程，是概念中數(shù)學(xué)思想的重現(xiàn)，更有助于學(xué)生理解概念的本質(zhì).一個(gè)好的例題往往承載著概念的本質(zhì)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.在形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念之后，設(shè)計(jì)聚焦概念核心的例題與練習(xí)是概念“精致”過(guò)程中不可替代的環(huán)節(jié).