隨機事件的概率課堂實錄及反思

●孫軍波 (溫州中學 浙江溫州 325014)

有效課堂教學的探究正在如火如荼地開展，“如何讓學生在課堂中‘動’起來，如何讓課堂真正地有效”成為大家關(guān)注的話題.筆者有幸參加了2011年浙江省高中數(shù)學課堂教學評比，以下為筆者在備課、上課過程中的一些想法，敬請大家批評指正.

1 備課困惑

隨機事件的概率在初三的書本中就已出現(xiàn)，剛開始備課時感覺內(nèi)容較單薄.但是幾次討論下來后，發(fā)現(xiàn)其實有幾個問題沒那么簡單.

(1)為什么會想到用頻率的穩(wěn)定值來作為概率?

(2)為什么頻率會越來越“穩(wěn)定”?

(3)為什么拋硬幣的頻率穩(wěn)定在0.5，而不是穩(wěn)定在 0.500 1，或者 0.498?

(4)如何體現(xiàn)多次重復試驗?

針對以上的困惑，通過多次討論后，筆者認為，這4個問題恰恰是這節(jié)課的重點和難點，搞清楚它們也就弄清頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系.在多次磨課后，筆者做了這樣的處理.

2 課堂實錄

師：奧運冠軍射擊命中靶心也是隨機事件，為什么還讓杜麗去參加奧運會，而不是別人?

(微笑地指向一位女生.)

師：如果讓這位女生去參加，有可能獲得金牌嗎?

(有，大家發(fā)出善意的笑聲!)

師：那為什么不派她去呢?

生1：她獲獎的可能性比較小，杜麗獲得金牌的可能性比較大.

師：哦.隨機事件發(fā)生的可能性有大小之分!初中就曾引進概率來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小.那如何獲得隨機事件的概率?杜麗的射擊水平大家并不太了解，那我們就來研究熟悉的硬幣.

(教師展示足球畫面，并請出一位男生.)

師：假設(shè)你成為球隊隊長，你會選硬幣的哪一面?

生2：正面.選反面也可以，兩面出現(xiàn)的可能性一樣.

師：大家都是這么認為的嗎?

(眾人點頭.)

師：那能否想個辦法說明硬幣正面向上和反面向上的可能性是一樣的?

生3：拋拋看，看一下正面和反面出現(xiàn)的次數(shù)是否一樣?

師：好，就按同學說的，大家拋拋看.

(教師強調(diào)試驗的各項條件，試驗后匯總數(shù)據(jù).)

師：為什么大家所得的試驗結(jié)果，即頻率并不完全一致?

(眾人思索，有學生說次數(shù)不夠多.)

師：次數(shù)如果夠多，大家的結(jié)果會完全一致嗎.

生4：在每一次試驗中，試驗結(jié)果就是不確定的.

(學生紛紛點頭.)

師：書上要求每個小組將試驗結(jié)果加起來，再全班加起來，這樣做的用意是什么?

生5：想增加次數(shù)，體現(xiàn)多次.

師：那這樣能不能嚴格代替多次重復試驗?

生5：不能，畢竟硬幣不一樣，也不是同一個人，條件不一樣.

至此大家明白，加起來只能是近似地看作增加試驗次數(shù)，并且次數(shù)也不多，因此考慮借助計算機模擬.筆者模擬幾組拋1 000次的情況，將其輸入Excel，并制成圖像，如圖1所示.

圖1

師：通過對比，我們能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象?

生6：隨著試驗次數(shù)的增加，頻率接近于0.5.

師：這位同學的意思是對的，但是“接近”這詞似乎不妥，拋10次時就有頻率是0.5.仔細觀察一下，在10次試驗中頻率的波動范圍是多大?小組加起來后，頻率波動范圍多大?1 000次試驗?zāi)?該用哪個詞表述更為準確?

生7：“穩(wěn)定”.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在0.5附近.

肯定學生的回答后，接著教師用計算機模擬拋擲1 000次過程中，每拋一次后所對應(yīng)的頻率變化，并展示了歷史上數(shù)學家的試驗，讓學生再次強有力地感受到“隨著試驗次數(shù)的增加，頻率的值越來越穩(wěn)定在0.5的附近”.

師：今天，我們站在偉人的肩膀上一起來討論幾個問題，其實大家早知道，正面向上這個事件發(fā)生的可能性大小是確定的.概率用來度量可能性的大小，那硬幣正面向上的概率是不是某個確定的常數(shù)?

(學生們點頭.)

師：每次試驗正面向上的頻率是不是都是相同的值?

學生們齊聲回答：不是，頻率具有隨機性.

師：能否用某次試驗的頻率作為概率?例如，皮爾遜試驗獲得的頻率是0.500 5，能否將0.500 5作為皮爾遜試驗的概率呢?

生8：這次做出來是0.500 5，再做一次24 000次試驗的頻率不一定是0.500 5;我們再多拋幾次可能就是另外的數(shù)了，概率應(yīng)當是確定的數(shù).

師：用哪個量作硬幣正面向上的概率好呢?

(學生陷入沉思.)

生9：剛才通過試驗，發(fā)現(xiàn)拋硬幣正面向上和朝下的頻率是隨機的，但它會越來越穩(wěn)定在0.5附近，可以考慮用頻率的穩(wěn)定值來作為硬幣正面向上的概率.

(其他學生紛紛點頭.)

師：顯然不能用某次試驗的頻率作為概率.通過剛才的試驗，發(fā)現(xiàn)硬幣正面向上的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.5附近，因此大家都覺得頻率的穩(wěn)定值0.5作為硬幣正面向上的概率比較合適.0.5即50%的可能性是硬幣正面向上，也比較符合我們的客觀認知.

至此，師生共同實現(xiàn)重點、難點突破，對頻率和概率有了深刻的認識，學生已能自己總結(jié)頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系.

3 專家點評

本課例是筆者參加2011年浙江省優(yōu)質(zhì)課比賽的課堂實錄，在比賽時得到了省內(nèi)兄弟學校的同仁和與會的高中數(shù)學特級教師、專家的點評.他們提出了許多寶貴的意見和建議，引發(fā)了筆者更多、更深的思考，整理如下：

3.1 學會提問

教師在課堂上的主要任務(wù)是什么?任務(wù)之一是提問題，提好問題.模棱兩可的問題往往會誤導學生.數(shù)學問題不能隨口而出，應(yīng)該是畫龍點睛，一語中的，直指本質(zhì).當然并非所有的環(huán)節(jié)都要提問，為得到某個結(jié)論，刨根問底沒有必要.問題是自然而然產(chǎn)生的，上課要盡量展示學生原生態(tài)思維的發(fā)生過程，教師的問題一定要問得明白，要帶有目的性、指向性.備課不僅要備教材，還要備問題.如本課中，根據(jù)學生不同的回答，加以適當?shù)刈穯枺匀坏匾觥胺€(wěn)定”.

3.2 適當留白

在課堂教學中教師如果一味地講，不一定是好事.上課有時無聲勝有聲，讓學生講，讓學生悟，比教師講的效果可能更好.如為什么會選用頻率的穩(wěn)定值作為概率，講出來很容易，但是把這個問題留給學生“選哪個量合適呢?”留下的空白，就是學生自己探索知識的空間.數(shù)學課堂應(yīng)有語言的交流、思維的碰撞，并且應(yīng)由師生共同構(gòu)建、共同完成，一旦離開了這些，課堂就失去了生命力.

3.3 關(guān)注課本

數(shù)學教學要圍繞數(shù)學的本質(zhì)，關(guān)注課本.所有的教學環(huán)節(jié)，所有情景設(shè)計的目的只有一個就是揭示數(shù)學本質(zhì).什么是隨機事件?為什么要研究隨機事件的概率?怎么樣去研究?我們講的不是實例本身，而是圍繞著數(shù)學本質(zhì)，把這個問題講清楚.課本中以拋硬幣為載體，是否可以改變呢?如拋骰子、摸球，是否更有新意?這個問題不得不讓我們再次關(guān)注課本，為什么在初中學習概率后再學習?為什么要選用硬幣?為什么一定要試驗?這么多的為什么不得不引起我們更深層次的思考.數(shù)學教學是把復雜的問題變得簡單，把簡單的問題講清楚，讓模糊的東西變得清晰.

4 幾點反思

筆者前后磨了十幾節(jié)課，節(jié)節(jié)都有新的感觸，有2點特別深刻：

(1)為什么會想到用頻率的穩(wěn)定值?為什么會想到這個“穩(wěn)定”?為什么拋硬幣的概率是0.5?美國心理學家布魯納說過：探索是數(shù)學的生命線，知識不是灌輸給學生，而是他們自然建構(gòu)而成的.從剛開始教師一個人在講臺上“自言自語”，慢慢地過渡到學生自己發(fā)現(xiàn)隨著試驗次數(shù)增加，頻率越來越穩(wěn)定在0.5附近，到最后大家都能認識到用頻率的穩(wěn)定值比較合適，期間經(jīng)歷了十幾節(jié)課.由教師告訴學生和讓學生自己體驗知識的產(chǎn)生過程，對問題的認識是完全不一樣的，正所謂“自己動手，豐衣足食”!

(2)思維從問題開始，好的問題能使思維得到真正地提高，從開始的“對不對、好不好”，變成追問“為什么、如果我們這樣做將……、書上這樣設(shè)計的用意是什么、能嚴格代替嗎”，到最后繼續(xù)追問“用哪個好呢、怎么辦”——學生的學習興趣和思維深度反而被激發(fā)了出來，真正地“動”起來.本節(jié)課借助幾個關(guān)鍵性問題突破難點.

筆者剛開始在備這節(jié)課時，感覺內(nèi)容簡單無聊，到最后覺得這節(jié)課挺有意思，甚至很想再上一次.但是平時的課能這么磨嗎?平時上課，不可能如此磨課，那該怎么辦?很多教師問：“能做到有效教學當然最好，但不教我具體方法又怎么做到這一點?”如果教師僅僅停留在這樣程度的思考，那么高目標很難實現(xiàn).課堂必須“動”起來，如果教師有這樣強烈的愿望，就會千方百計地去尋找具體的方法.不去想，不認真思考，就什么都實現(xiàn)不了.有效教學我們可以做得更好!

［1］ 張景中，任宏碩.漫話數(shù)學［M］.北京：中國少年兒童出版社，2003.