反例在教學(xué)中的探索

謝月花

（蘇州市相城區(qū)陸幕實(shí)驗(yàn)小學(xué) 江蘇 蘇州 215131）

1 反例的教學(xué)功能

1.1 有利于加深概念理解

反例能夠有效幫助學(xué)生加深概念的理解，包括定理、法則、公式，而定理、法則、公式的掌握有利于幫助學(xué)生解決一些簡(jiǎn)單的問題。但是，現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在使用它們時(shí)，經(jīng)常會(huì)漏掉某條件，忽略某關(guān)鍵字。為了防患于未然，教師需要加強(qiáng)定理、法則、公式的產(chǎn)生過程的教學(xué)，增加學(xué)生自主探索定理、法則、公式的機(jī)會(huì)，針對(duì)定理、法則、公式中的一些條件、關(guān)鍵字進(jìn)行必要反例教學(xué)，從而幫助學(xué)生牢固掌握概念，達(dá)到“去偽存真”的效果。

例：在三角形全等判定方法的教學(xué)中，對(duì)于判定方法 “如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等”，個(gè)別學(xué)生會(huì)提出這樣的問題：“條件中的夾角能否換成一邊的對(duì)角？”針對(duì)學(xué)生的疑問，同時(shí)也為了告誡學(xué)生條件中的“夾”不能忽視，教師經(jīng)常構(gòu)造以下反例：先作一個(gè)等腰△ACD,再延長(zhǎng)底邊DC到B，連接AB(如圖1)，則在△ABC與△DBC中，AB=AB，AC=AD,∠ABC＝∠ABD，但△ABC 與△DBC 并不全等。

圖1 -1

1.2 有利于澄清錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)

在學(xué)習(xí)之中常常由于思維定式的影響，會(huì)想當(dāng)然得出一些經(jīng)不起推敲的結(jié)論。時(shí)適時(shí)的舉出反例，就會(huì)使得對(duì)題目印象深刻，深入領(lǐng)悟本質(zhì)。

例：在學(xué)習(xí)“反函數(shù)圖像對(duì)稱”時(shí)，許多同學(xué)會(huì)認(rèn)為：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像相交的交點(diǎn)一定在直線y=x上，我們可以舉出一個(gè)反例的交點(diǎn)之一（1，2）就不在y=x上。

1.3 反例是否定命題的重要方法

要否定一個(gè)命題，可用歸謬法或證明法，但是簡(jiǎn)明而又有說服力的，則是舉出其反例。

例：命題“無理數(shù)的無理數(shù)次冪仍為無理數(shù)”是否成立?

這就說明，命題不成立。

1.4 反例對(duì)肯定命題的作用

如果否定了一個(gè)命題的所有反例，是否就證明了這個(gè)命題是成立的？答案是肯定的！

例：求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。

分析：正面論證是很困難的，反過來考慮所有反例：“兩條直線相交不止一個(gè)交點(diǎn)”的情況，若能經(jīng)過推理否定了該反例，則原命題得證。

證明：假設(shè)兩條直線相交不止一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)有A，B兩個(gè)交點(diǎn)。因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線只有一條，與已知兩條直線矛盾。即兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。

2 反例對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

2.1 注重反例教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力

逆向思維是從已有的習(xí)慣思路的反方向去思考和分析問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的某些概念、定理、性質(zhì)和法則都比較抽象，學(xué)生難以理解。在教學(xué)時(shí)，教師必須讓學(xué)生從正面去理解有關(guān)知識(shí)，并舉例加以鞏固，而恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例可以使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

2.2 注重反例教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的側(cè)向思維能力

側(cè)向思維是從知識(shí)之間的橫向相似聯(lián)系出發(fā)去模擬、仿造或分析問題的思維方式。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的證明兩個(gè)三角形相似，三角形全等等知識(shí)之間存在著某些聯(lián)系。在教學(xué)中，我們可以利用相互間的聯(lián)系，用自己熟悉的方法去認(rèn)識(shí)新的定理、性質(zhì)等知識(shí)，用類似的反例去否定新的謬誤，使學(xué)生盡快地理解和掌握新知識(shí)，當(dāng)然也有利于培養(yǎng)學(xué)生的側(cè)向思維能力。

2.3 注重反例教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的多向思維能力

多向思維是從盡可能多的方面來考察同一問題，使思維不局限于一種模式或一個(gè)方向，從而獲得多種解答或多種結(jié)果的思維方式。多向思維在解決問題時(shí)有三種基本形式：一題多解、一法多用、一題多變。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于一個(gè)假命題可以用多個(gè)反例，對(duì)于同一個(gè)例子可以作為多個(gè)命題的反例，我們還可以多次改變真命題的部分條件，構(gòu)造多個(gè)假命題，然后逐一用反例將其否定，以加深對(duì)原命題的理解。這樣不但可以使學(xué)生明白命題錯(cuò)誤的根源，糾正錯(cuò)誤，加深其對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，而且更有利于學(xué)生多向思維能力的培養(yǎng)。

我國(guó)原本的應(yīng)試教育已逐步淘汰，取而代之的是素質(zhì)教育的新時(shí)代。數(shù)學(xué)教學(xué)也充滿了靈活多樣、開放、動(dòng)態(tài)的特點(diǎn)，創(chuàng)新思維能力和綜合能力的培養(yǎng)成為教學(xué)的重點(diǎn)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生存在的問題，進(jìn)行反例教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生自學(xué)能力及分析、解決問題的能力。

3 實(shí)施反例教學(xué)要注意的問題

反例教學(xué)既有其極其重要的作用，也有其在實(shí)施的過程中需要注意的環(huán)節(jié)。

3.1 注意反例教學(xué)的引人

由于學(xué)生年齡、生理和心理特征以及認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完整性，他們的思維受到一定的局限性，考慮問題可能還會(huì)不夠周全，在教學(xué)過程中教師應(yīng)該注意到反例教學(xué)引入的合理性和可行性。

3.2 注意反例教學(xué)的構(gòu)建

在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師不僅要恰地使用反例，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實(shí)際上是為學(xué)生獲取知識(shí)創(chuàng)設(shè)了一種探索的情景。一般情況下，許多反例的構(gòu)建不是唯一的，這時(shí)候教師可選擇一些典型的數(shù)學(xué)知識(shí)或問題，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，使學(xué)生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，解決問題，從而提高學(xué)生的思維能力。

因此，學(xué)生構(gòu)建反例的過程也是他們思維發(fā)揮和訓(xùn)練過程。

3.3 注意反例教學(xué)的逐層深入性

在教學(xué)時(shí)，反例教學(xué)的使用必須建立在學(xué)生對(duì)概念有一定理解的基礎(chǔ)上，若在學(xué)生剛剛接觸概念時(shí)就使用，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生先入為主，從而干擾其對(duì)概念的掌握。反例的構(gòu)建要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步進(jìn)行，把某些難度較大的問題轉(zhuǎn)化為一些簡(jiǎn)單易懂的題目。

總之，數(shù)學(xué)反例是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個(gè)有效的調(diào)節(jié)器，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)地引進(jìn)一些反例或者適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，從而幫助他們鞏固和掌握知識(shí)，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、發(fā)散性、邏輯性、創(chuàng)新性和全面性。

4 反例的教學(xué)局限性

教師在教學(xué)過程中要有意識(shí)地積累各塊知識(shí)中經(jīng)典的反例，對(duì)于關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)教學(xué)是十分有益的。同時(shí)可以適時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生自己舉出需要的反例，以增進(jìn)認(rèn)知。然而，正例與反例在教學(xué)中要適度應(yīng)用，反例教學(xué)如果把握不好，容易產(chǎn)生副作用，需要警惕。不恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例，主要有以下表現(xiàn)：

4.1 過早進(jìn)行反例教學(xué)，會(huì)使得主次顛倒、喧賓奪主

在我們的教學(xué)中應(yīng)把把握重點(diǎn)，對(duì)教學(xué)重點(diǎn)精講細(xì)練，等到學(xué)生對(duì)正面題意有深刻領(lǐng)會(huì)、理解之后，再適當(dāng)?shù)爻鍪痉蠢?，讓學(xué)生更深層次的理解題目。

4.2 過于強(qiáng)調(diào)反例，會(huì)給學(xué)生造成心理壓力

學(xué)生的認(rèn)知能力及思維發(fā)展存在著一定的差異，部分同學(xué)接受知識(shí)的能力存在一定的滯后性，掌握理解知識(shí)需要一個(gè)慢慢消化吸收的過程。如果這時(shí)候教師過于強(qiáng)調(diào)反例，會(huì)給學(xué)生發(fā)出錯(cuò)誤信號(hào)：你隨時(shí)都會(huì)出錯(cuò)！這將會(huì)讓學(xué)生認(rèn)為自己做題時(shí)出錯(cuò)是在所難免的，從而打擊學(xué)生的自信心，失去對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

4.3 過多使用反例，不符合學(xué)生的記憶規(guī)律

心理學(xué)表明：強(qiáng)烈的記憶意圖使人注意力集中，記憶效果良好；反之，則會(huì)降低注意力，造成遺忘?！斑^多”的使用反例教學(xué)會(huì)逐步淡化“正例 ”的記憶效果，使學(xué)生思考問題專門從反面入手，而有些題目不適合從反面思考，這樣使得教學(xué)效果適得其反。正如教師最討厭的“該記的沒記住，不該記的全記住了”。

綜上所述，數(shù)學(xué)教學(xué)中離不開反例，也不能處處都用反例。我們要以正例為主，反例為輔，才能使例題教學(xué)達(dá)到預(yù)期的效果。

［1］羅騰根.淺談反例的教學(xué)功能與構(gòu)造方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1996（11）：5-6.

［2］彭光焰.例談反例的教學(xué)功能[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002（8）：16-18.

［3］何華興.數(shù)學(xué)反例的教學(xué)價(jià)值[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004（6）：30-32.

［4］林美娟.注重反例教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力[J].科技信息，2008（31）：644-645.