有限元方法對拱橋拱軸線優(yōu)化的研究

瞿振華

(上海國康聯(lián)同橋梁咨詢有限公司，上海 200092)

1 概述

拱橋的拱軸線是設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，直接影響到截面的內(nèi)力分布和大小。在拱橋的實(shí)際設(shè)計(jì)過程中，對于懸鏈線拱拱軸的軸線系數(shù)的確定，通常采用“五點(diǎn)重合法”。但是由于壓力線與拱軸線的偏離，在拱頂、拱腳都產(chǎn)生了偏離彎矩，實(shí)際上并不存在五點(diǎn)重合的關(guān)系。且通過少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)來逼近恒載壓力線，也容易造成拱圈在荷載作用下某些截面下壓力線與拱軸線偏差較大。

目前有限元分析軟件的進(jìn)步發(fā)展及廣泛使用給橋梁設(shè)計(jì)提供了先進(jìn)的工具，對拱軸線的優(yōu)化設(shè)計(jì)也更加方便快捷。利用計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力，可以在一定的參數(shù)范圍內(nèi)反復(fù)試算，在確定的約束條件下選取最優(yōu)的參數(shù)，即可以得到最合理拱軸線。

2 最優(yōu)拱軸系數(shù)的擬合

2.1 最優(yōu)拱軸線的擬合步驟

拱軸線與壓力線的偏離是由于受恒載、活載、溫度變化、材料的收縮徐變和地基沉降等作用，以及拱圈受荷載壓縮變形產(chǎn)生的。雖然拱橋的壓力線不定，但是存在兩條壓力包絡(luò)線。目前，在工程實(shí)踐中，采用懸鏈線、拋物線或高次曲線來逼近恒載加一半活載時(shí)的壓力線，是一種實(shí)用的解決方法。但是，通過計(jì)算機(jī)的優(yōu)化計(jì)算方法，理論上可以將上述各種參數(shù)變量的作用均考慮在內(nèi)，按照作用的分類及重要程度，求得一條與壓力包絡(luò)線偏差最小的曲線。通過有限元方法求解最優(yōu)拱軸線，大致有兩種思路。其一是通過確定荷載工況，計(jì)算令拱圈壓力逼近壓力線的離散坐標(biāo)，然后將這些不規(guī)則的點(diǎn)擬合曲線得到拱軸線形。另一種則是對荷載工況的要求不高，可以由一種確定的工況來確定，或者由幾個(gè)工況的包絡(luò)來確定，各個(gè)工況之間還可以通過加權(quán)的方式來區(qū)分重要性，然后通過反復(fù)試算來確定目標(biāo)函數(shù)最小的情況。本文采用的就是第二種方法。

確定最優(yōu)拱軸系數(shù)的擬合過程可分為以下幾個(gè)步驟:

1)采用恒載加活載時(shí)的壓力線確定一個(gè)初始的拱軸系數(shù)。由于恒載加一半活載時(shí)的壓力線是在實(shí)際設(shè)計(jì)過程中被認(rèn)可的一個(gè)較為合理的值，而一個(gè)接近最優(yōu)拱軸線的初始值可以減少迭代次數(shù)，加快迭代速度。

2)用設(shè)計(jì)變量參數(shù)化表達(dá)拱軸線方程。通過先假定的拱軸曲線類型，就可以用函數(shù)表達(dá)拱軸各個(gè)離散點(diǎn)的坐標(biāo)，函數(shù)的參數(shù)即為設(shè)計(jì)變量。優(yōu)化結(jié)果的取得是通過改變設(shè)計(jì)變量的數(shù)值來實(shí)現(xiàn)的。參數(shù)設(shè)置上下限作為變化范圍，設(shè)置步長作為每次改變的量的大小。

3)設(shè)置狀態(tài)變量體現(xiàn)優(yōu)化的邊界條件。狀態(tài)變量是因變量，是設(shè)計(jì)變量參數(shù)化表達(dá)的函數(shù)。在橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，狀態(tài)變量可以是位移，彎矩或者用來作為判斷結(jié)構(gòu)優(yōu)化與否的任何一個(gè)由參數(shù)表達(dá)的函數(shù)。狀態(tài)變量是用來控制設(shè)計(jì)的，必須定義足夠的狀態(tài)變量。若狀態(tài)變量設(shè)計(jì)的范圍過小，也會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化設(shè)計(jì)無法求得合理的解。

4)目標(biāo)函數(shù)。它是最終優(yōu)化的目的，是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)。改變設(shè)計(jì)變量的數(shù)值將改變目標(biāo)函數(shù)的數(shù)值。有限元方法就是通過改變設(shè)計(jì)變量，經(jīng)過反復(fù)試算，在設(shè)計(jì)變量的變化范圍內(nèi)，求解滿足狀態(tài)變量控制的目標(biāo)函數(shù)，在這一系列的目標(biāo)函數(shù)的解中，尋找極值。

2.2 優(yōu)化方法和優(yōu)化準(zhǔn)則

優(yōu)化方法可采用最小二乘法進(jìn)行擬合。五點(diǎn)重合法求解得出的曲線作為初始曲線，通過內(nèi)力與拱軸線變化函數(shù)的關(guān)系，迭代求解得出最優(yōu)曲線。確定優(yōu)化方法之后，還需要確定收斂準(zhǔn)則。拱軸線的優(yōu)化過程需要在一定條件下能最大限度的逼近壓力線。逼近程度好壞的標(biāo)準(zhǔn)就是優(yōu)化準(zhǔn)則。假設(shè)F為目標(biāo)變量，可以是彎矩或者位移，X為設(shè)計(jì)變量，在這里是拱軸線函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)。Fj，Xj和Fj－1，Xj－1分別為目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量的第j次和第j－1次迭代結(jié)果，F(xiàn)b和Xb分別是當(dāng)前最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)及相應(yīng)的設(shè)計(jì)變量值。如果滿足︱Fj－Fj－1︱≤τ或者︱Fj－Fb︱≤τ，τ為目標(biāo)函數(shù)的允差，那么認(rèn)定迭代收斂，于是迭代停止。

在拱橋設(shè)計(jì)中，最理想的目標(biāo)是拱圈軸線與壓力線在任何截面上的差值τ均達(dá)到最小，避免某個(gè)截面τ過大而成為危險(xiǎn)截面。

3 最優(yōu)拱軸系數(shù)的擬合實(shí)例

某拱橋，其跨徑L=100 m，空腹式無鉸拱，矩形混凝土截面，截面大小5 m×1 m，彈性模量1.95×104MPa(見圖1)。

圖1 拱橋優(yōu)化計(jì)算簡圖

為了說明的簡單，將恒載設(shè)定為均布荷載，大小為300 kN/m，汽車荷載為公路Ⅰ級，單車道，整體升降溫以及徐變等影響忽略。由參考文獻(xiàn)[1]可知，當(dāng)外荷載為均布荷載時(shí)，即gj=gd，拱軸線接近于拋物線方程。在優(yōu)化過程中，方程表達(dá)式為y=ax2+c，其中c可以用－aL2/4表示。其中參數(shù)a即為設(shè)計(jì)變量，而c則是由a表達(dá)的函數(shù)，是因變量?；钶d計(jì)算得出最大最小彎矩包絡(luò)，然后取最大最小彎矩的中間值與恒載彎矩進(jìn)行疊加，以此彎矩進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化分析時(shí)選取了三種優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行比較，分別是各截面彎矩絕對值之和、彎矩最大值和各截面彎矩的方差。另外，計(jì)算了矢跨比分別為5，6，7，8和9時(shí)的彎矩分布情況。計(jì)算得到優(yōu)化準(zhǔn)則為各截面彎矩絕對值之和最小時(shí)，矢跨比為6.47;優(yōu)化準(zhǔn)則為彎矩最大值最小時(shí)，矢跨比為6.48;優(yōu)化準(zhǔn)則為彎矩方差最小時(shí)，矢跨比為6.49。這三個(gè)優(yōu)化準(zhǔn)則得到的矢跨比非常接近，優(yōu)化結(jié)果也相差不多。從圖2中可見，矢跨比從9到5的變化基本是一條U形的曲線。三種優(yōu)化準(zhǔn)則計(jì)算的結(jié)果均為最小。

圖2 各截面彎矩最大值

從圖3中可見，三種優(yōu)化準(zhǔn)則計(jì)算的結(jié)果同樣均為最小，而矢跨比從9到5的變化也基本上是一條U形的曲線。

由圖4可知，當(dāng)優(yōu)化條件為彎矩方差最小時(shí)，彎矩分布較其他情況時(shí)更均勻。圖5反映了優(yōu)化后彎矩最大最小包絡(luò)的情況。汽車活載的集中力對拱腳彎矩影響很大，因此除了拱腳部分彎矩，其余彎矩均較為均勻。

4 結(jié)語

1)通過有限元方法可方便的求解優(yōu)化問題。由于有限元計(jì)算的特性，計(jì)算中自動(dòng)計(jì)入了拱肋的軸向變形，對外部作用的調(diào)整也非常方便。實(shí)例中對荷載作用進(jìn)行了簡化，但若需要，也可方便地施加徐變、溫度等其他作用。

2)比較不同的優(yōu)化準(zhǔn)則，可見在拋物線線形之下，三種不同的優(yōu)化準(zhǔn)則求解得出的曲線線形相差不大。但是求解過程中迭代的次數(shù)相差較大，以求解彎矩的方差時(shí)間最長。

3)最優(yōu)拱軸曲線對外荷載是敏感的。一般來說，荷載較大時(shí)，可得到矢跨比較小的曲線，反之亦然。這和拱肋內(nèi)力的數(shù)值公式計(jì)算結(jié)果是一致的。

4)由于施加了實(shí)際的荷載工況，通過本方法優(yōu)化計(jì)算得到的結(jié)果可直觀反映成橋階段的內(nèi)力。

通過實(shí)例，可以看到有限元優(yōu)化的效果十分顯著。并且有限元優(yōu)化計(jì)算方法適應(yīng)性廣，通過修改模型，可以適用于各種類型的拱橋，甚至于其他類型的橋梁結(jié)構(gòu)，是提高工程師工作效率，得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)的有效工具。

[1]顧安邦.橋梁工程[M].北京:人民交通出版社，2002.

[2]JTJ D60-2004，公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范[S].

[3]林陽子，黃 僑，任 遠(yuǎn).拱橋拱軸線的優(yōu)化與選型[J].公路交通科技，2007，24(3):59-63.

[4]周旻昊.常用拱軸線的設(shè)計(jì)研究[J].公路工程，2010，35(3):92-95.