面向氣候變化的復(fù)雜地球系統(tǒng)建模與模擬探索（下）＊

查傳捷 李 琦②

①研究員，②教授，北京大學(xué)數(shù)字地球工作室，北京100871＊ 創(chuàng)新方法基礎(chǔ)性設(shè)計(jì)與實(shí)施（2008IM05100）

面向氣候變化的復(fù)雜地球系統(tǒng)建模與模擬探索（下）＊

查傳捷①李 琦②

①研究員，②教授，北京大學(xué)數(shù)字地球工作室，北京100871
＊ 創(chuàng)新方法基礎(chǔ)性設(shè)計(jì)與實(shí)施（2008IM05100）

公設(shè)化 混沌 非線(xiàn)性 非連續(xù)性 蝴蝶效應(yīng) 吸子

科學(xué)界有一種不成文的法則：物理是具體模式，其原始術(shù)語(yǔ)摘自于真實(shí)世界的對(duì)象與關(guān)系。數(shù)學(xué)則是理想模式，其原始術(shù)語(yǔ)來(lái)自于對(duì)猜想的演繹。一般說(shuō)來(lái)，物理學(xué)以觀察、測(cè)量與實(shí)驗(yàn)為現(xiàn)象辯護(hù)。數(shù)學(xué)則是以推理演繹為物本身辯護(hù)。前者是對(duì)物理現(xiàn)象的詮釋?zhuān)笳呤顷U述事物隱含的本質(zhì)。顯而易見(jiàn)，這兩種知識(shí)有本質(zhì)上的差異，亦各有先天的盲點(diǎn)與缺陷。因此在入門(mén)的瞬間，彼此不一致的裂痕業(yè)已出現(xiàn)，并延續(xù)下來(lái)。這就是千百年來(lái)科學(xué)知識(shí)疑竇叢生的肇因。這篇論文秉持真理，根據(jù)宇宙時(shí)空結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換所遵循的自然律為立足點(diǎn)，更為數(shù)學(xué)打開(kāi)了通往物理公設(shè)化（axiomatisation）的門(mén)扉，進(jìn)而令數(shù)學(xué)與物理學(xué)一致，以破解千百年來(lái)科學(xué)界“懸而未解”的種種問(wèn)題，從根本上徹底消弭了自古以來(lái)令數(shù)學(xué)與物理陷于嚴(yán)重困擾的基礎(chǔ)危機(jī)。

人類(lèi)在有文字之前已懂得結(jié)繩記數(shù)，但對(duì)于數(shù)字的本質(zhì)，迄今仍未能完全清楚。所以龐加萊在1897年蘇黎世舉辦的第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)年會(huì)上演講時(shí)指出：數(shù)學(xué)的目標(biāo)是為了了解時(shí)空結(jié)構(gòu)與自然律、數(shù)字的概念，以及美學(xué)［1］。

1 數(shù)字的概念及無(wú)理數(shù)問(wèn)題

據(jù)數(shù)學(xué)史料記載，早在公元前5世紀(jì)以前一位畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（Pythagorean）的成員伊帕索斯（Hippasus）因?yàn)榘l(fā)現(xiàn) “”而大肆吹噓，結(jié)果被丟進(jìn)大海。這篇論文既非對(duì)數(shù)學(xué)史的補(bǔ)遺，也不對(duì)史料考據(jù)感興趣，而是為了闡釋數(shù)字概念及其與宇宙構(gòu)成的元素（原子）兩者之間的關(guān)系。所以，先從數(shù)學(xué)界宣稱(chēng)業(yè)已破解的希伯特第四個(gè)問(wèn)題著手，這個(gè)問(wèn)題亦即源自于“2 ＝”的證明。由于數(shù)學(xué)界無(wú)法提供答案，因此被界定為題目過(guò)于含糊而舍棄掉了，后來(lái)變更為直線(xiàn)與最短距離問(wèn)題，并衍生出一門(mén)數(shù)學(xué)的旁支——“變分法”，藉由在極值附近點(diǎn)的特質(zhì)，找出一種恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)曲線(xiàn)，來(lái)解釋幾何證明極限時(shí)所產(chǎn)生的問(wèn)題。其實(shí)這個(gè)問(wèn)題，也就是對(duì)無(wú)理數(shù)極值的探索。況且古希臘的自然哲學(xué)原本就沒(méi)有數(shù)學(xué)與物理的區(qū)分，若以此為出發(fā)點(diǎn)整合數(shù)學(xué)與物理，不亦宜乎？

考慮等腰直角三角形△AOB，令線(xiàn)段AO和OB長(zhǎng)度皆為1，因此三角形△AOB斜邊的長(zhǎng)度為“”。當(dāng)然，數(shù)學(xué)家們可以輕易地指出：一個(gè)單位等腰直角三角形直 角 對(duì) 邊 的 長(zhǎng) 度 是 “”， 但 鋸 齒 線(xiàn)AO3A1O4B1O5A2B2B長(zhǎng)度為2。（每段長(zhǎng)度皆為1／4。）如此繼續(xù)下去，豈不是可以幾何證明 2 ＝？這就是無(wú)理數(shù)極值的問(wèn)題，如圖1。

圖1 以幾何證明 2 ＝

數(shù)學(xué)的目的是探究真理，數(shù)學(xué)是解釋自然的工具，而不是隨心所欲制造一些莫名其妙的東西。凡是基于不存在幻想的論證是無(wú)效的。伊帕索斯的“”并不是一件前所未有的“發(fā)現(xiàn)”，而是“創(chuàng)作”了一件子虛烏有的東西，徒增后世學(xué)習(xí)者的負(fù)擔(dān)，因此被丟進(jìn)大海也算是咎由自取。正確的邏輯演繹，并不等于正確的答案，若沒(méi)有正確的前提，正確的邏輯也不能演繹出正確的答案，這叫做：“垃圾進(jìn)來(lái)，垃圾出去（garbage in and garbage out）?！毕２卣J(rèn)為這個(gè)問(wèn)題或許可透過(guò)測(cè)地線(xiàn)（geodesics）詮釋?zhuān)?］，如圖2。

圖2 測(cè)地線(xiàn)示意圖

一般測(cè)量得到的數(shù)據(jù)，往往依尺碼長(zhǎng)度而定。顯然一尺一尺的度量遠(yuǎn)比一哩一哩的度量要長(zhǎng)。一般測(cè)量的誤差往往超過(guò)40%，或許也算是“證明”了測(cè)地線(xiàn)一步步地趨近于1.414 213 562…但始終無(wú)法成為真正的”，卻又恰好超過(guò)40%！然而不論測(cè)量的技術(shù)如何進(jìn)步，都沒(méi)有辦法測(cè)量出河流、國(guó)界與海岸線(xiàn)真正的長(zhǎng)度。當(dāng)測(cè)量的尺度小到盡頭，無(wú)可避免最后都變成了一團(tuán)沒(méi)有部分的原子?？墒窃拥哪又两袢允强茖W(xué)未解之謎。況且還有一個(gè)海森伯的測(cè)不準(zhǔn)定理在一旁虎視眈眈。

若不斤斤計(jì)較確切長(zhǎng)度的極值，那么古埃及的拉繩者們只要一根棍子及一條繩子，就能夠輕易地量出一個(gè)單位正方形對(duì)邊的長(zhǎng)度大致是1.414…奈何“”是個(gè)斤斤計(jì)較的東西，只要改變其中任意1個(gè)數(shù)字，它就再也不是”了。事實(shí)上迄今也未有人能夠真正寫(xiě)出一個(gè)正確的”。請(qǐng)看下面的方程式，圖3的Heighway’s Dragon［3］似乎為這個(gè)極值問(wèn)題揭開(kāi)了神秘面紗的一角：

就物理模式而言，它無(wú)法成為觀察、測(cè)量與實(shí)驗(yàn)的對(duì)象，也無(wú)法落地。即使拿宇宙中所有的原子來(lái)充當(dāng)數(shù)字，也無(wú)法寫(xiě)出一個(gè)”。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，無(wú)理數(shù)根本不算是數(shù)字，而是一個(gè)字母、一個(gè)符號(hào)；因?yàn)樗m說(shuō)闡述事物隱含的本質(zhì)，卻非依據(jù)事實(shí)。所以無(wú)理數(shù)只是一個(gè)理想的模式，并不存在，這也就是數(shù)學(xué)的第一個(gè)基礎(chǔ)危機(jī)。

17 世紀(jì)早期就有了以字母與符號(hào)取代繁瑣計(jì)算公式與冗長(zhǎng)數(shù)字的表達(dá)方式。這種簡(jiǎn)潔的表達(dá)方式影響十分深遠(yuǎn)，逐漸改變了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，又蔓延到其他的科學(xué)領(lǐng)域。

圖3 Heighway’s Dragon

希伯特更是全心全意相信符號(hào)，他甚至還在《約翰福音》中加上“太初有符號(hào)”，他將其解釋為無(wú)意義的符號(hào)，可以任意重復(fù)。反之，有意義的符號(hào)，如2就是1＋1的縮寫(xiě)，于是1就是1／2＋1／2，也是1／4＋1／4＋1／4＋1／4，或1／4＋3／4，或1／8＋7／8，或3／8＋5／8，…；又譬如字母“a，b，c，…”代表任意數(shù)；“x，y，z，…”代表任意未知數(shù)；“f，g，h，…”是函數(shù)，諸如此類(lèi)的表達(dá)方式，尤其在全新的領(lǐng)域由于沒(méi)有現(xiàn)成的表達(dá)方式，就出現(xiàn)了大量的符號(hào)，配合著嶄新專(zhuān)有名詞與方程式。然而名詞定義往往曖昧不明，方程式的描述方式也有待商榷。

這里舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子：計(jì)算一個(gè)雞蛋的體積。

當(dāng)然你可以應(yīng)用微積分及公式花費(fèi)幾小時(shí)，或幾分鐘求出一個(gè)近似值，誤差不超過(guò)±10%?；蛟S，你也可以學(xué)阿基米德將蛋丟進(jìn)裝了水的量杯中，只要花費(fèi)幾秒鐘，就可以求出一個(gè)近似值，誤差大概不會(huì)超過(guò)1%。

這種奇怪的計(jì)算法當(dāng)然經(jīng)得起重復(fù)驗(yàn)證，或許物理學(xué)家也會(huì)欣然接受？或許還有一些研究基因的學(xué)者們會(huì)更進(jìn)一步睿智地宣稱(chēng)：因此證明，“雞”只不過(guò)是“蛋”用來(lái)復(fù)制自己的工具罷了。

2 方程式與代數(shù)“解”

探討方程式的解法，至少應(yīng)該回溯到16世紀(jì)初。這一段數(shù)學(xué)史上最輝煌燦爛的成就，是意大利數(shù)學(xué)家們?cè)谌闻c四次方程式的代數(shù)“解法”上投入的努力。

三次方程式求解可回溯到德利安問(wèn)題或倍立方問(wèn)題。倍立方問(wèn)題，就是求，相當(dāng)于解三組拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程式：x2＝ay，x2＝bx，xy＝ab，也就是：a∶x＝x∶y＝y(tǒng)∶b，又稱(chēng)黃金分割、求中項(xiàng)比或斐波那契數(shù)列，顯示出一個(gè)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的問(wèn)題，即無(wú)理數(shù)的存在性問(wèn)題。

早期有關(guān)方程式的代數(shù)“解法”是從數(shù)學(xué)的“擂臺(tái)賽”拉開(kāi)序幕。在這里可能有必要再一次復(fù)習(xí)一遍三次方程式的通式：

當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們并不知道這種表示法，他們將此通式分門(mén)別類(lèi)，分成為13種不同的類(lèi)型，然后分別處理，尋求解法［4］。

三次方程式的“解”究竟是什么模樣？

圖4 電腦繪制的非線(xiàn)性三次方程式f∶z→z3－1的解

轉(zhuǎn)眼三次方程式的熱潮已過(guò)，緊接著“五”次方程式登上舞臺(tái)。五次方程式的問(wèn)題更加復(fù)雜，不過(guò)此時(shí)方程式“解法”的方向，也已經(jīng)悄悄地朝向“無(wú)解”的方向進(jìn)行。

意大利物理學(xué)家魯菲尼（Ruffinii）［5］首先提出五次方程式“無(wú)”代數(shù)解，他發(fā)表了兩冊(cè)篇幅長(zhǎng)達(dá)516頁(yè)的巨著，不過(guò)推理過(guò)程曲折，十分難懂，數(shù)學(xué)界毫無(wú)反應(yīng)。而后魯菲尼又再接再厲，以更嚴(yán)謹(jǐn)而且更為淺顯的推理過(guò)程，分別于1803年、1805年、1813年又提出了3次［6］，不過(guò)始終引不起當(dāng)代數(shù)學(xué)家們的注意。最后魯菲尼在意大利走投無(wú)路，只好將他的證明寄給英國(guó)倫敦皇家學(xué)會(huì)。隨后他收到了一封措詞十分婉轉(zhuǎn)的回函：盡管有幾位會(huì)員讀了他的作品還算滿(mǎn)意，不過(guò)基于學(xué)會(huì)的政策，不能對(duì)任何證明背書(shū)。此后五次及五次以上方程式的解法，逐漸悄悄地由有解轉(zhuǎn)向無(wú)解。而后由挪威的天才數(shù)學(xué)家阿貝爾（Niels HenriK Abel）擔(dān)綱，接演五次方程式“無(wú)”代數(shù)解悲劇的續(xù)集。在阿貝爾早年的論文中，他證明了五次方程式不可能有代數(shù)解。這是由于他發(fā)現(xiàn)了超越數(shù)的緣故。阿貝爾這篇號(hào)稱(chēng)是當(dāng)代數(shù)學(xué)界最偉大的論文，當(dāng)時(shí)根本沒(méi)有人讀。不過(guò)他并未在論文中提出超越數(shù)附近極值的特性。

阿貝爾13年后在《純數(shù)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年鑒》（Journal fürdierieneundangewandteMathematik，1826，known as Crelle’s Journal）的創(chuàng)刊號(hào)上留下了5篇論文［7］，其中就包含了對(duì)超越函數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性與橢圓函數(shù)等重要數(shù)學(xué)概念的探討。在次年的年鑒中，他的雙周期函數(shù)理論緊接著誕生。

同時(shí)，數(shù)學(xué)界另一位悲劇天才伽羅瓦（Qvariste Galois）也提供了另類(lèi)的詮釋。伽羅瓦的論文導(dǎo)致群論的誕生，為科學(xué)家打開(kāi)了一扇通往真理的門(mén)扉，不過(guò)仍未能將數(shù)學(xué)與物理調(diào)和起來(lái)，當(dāng)然也不能提出具體的物理答案。

超越數(shù)最著名的例子，就是圓周率π。

古希臘著名的幾何問(wèn)題化圓為方（quardrature of the circle），也就是求圓周率。對(duì)此當(dāng)年希臘有一個(gè)專(zhuān)門(mén)術(shù)語(yǔ)：τετραγωνιξειν，意思是一生獻(xiàn)身于“化圓為方”的人。其中的佼佼者名叫安迪豐（Antiphon，Αυτιφωυ）。據(jù)數(shù)學(xué)史書(shū)中記載，他提出了“窮竭法”來(lái)尋找答案。其實(shí)窮竭法，也就是說(shuō)永遠(yuǎn)無(wú)法找出答案。

從來(lái)沒(méi)有任何一個(gè)其他數(shù)字，能讓數(shù)學(xué)家們投入如此多的心血。

據(jù)悉有人用20世紀(jì)的超級(jí)計(jì)算機(jī)，夜以繼日地計(jì)算。最后終于計(jì)算出了510億個(gè)小數(shù)點(diǎn)的近似值，這可真是需要大書(shū)特書(shū)哪！因?yàn)檫@個(gè)數(shù)字若以平常的方式印出來(lái)，長(zhǎng)度可達(dá)61 200英里（98 492 km），差不多可繞地球兩圈半，只可惜仍舊是近似值［8］。這也無(wú)可厚非，因?yàn)橛?jì)算圓周率的電腦程式，被電腦界稱(chēng)為：無(wú)限循環(huán)的臭蟲(chóng)（bug）。后來(lái)干脆拿來(lái)當(dāng)作評(píng)鑒電腦速度與可靠性的“標(biāo)準(zhǔn)”，也算是因勢(shì)制宜，物盡其用。

事實(shí)上，無(wú)論是21世紀(jì)的超級(jí)計(jì)算機(jī)，還是英國(guó)數(shù)學(xué)家艾倫·圖靈（Allan Turing）的圖靈機(jī)，甚至電視科幻影集StarTrekWolfintheFold中的“邪惡電腦”，也描述不出任何一個(gè)無(wú)理數(shù)，遑論超越數(shù)？

近年來(lái)更有人利用電腦繪圖，繪制出曼德布洛特集合（Mandelbrot set）、柯赫曲線(xiàn)（Koch-curve）、勞倫斯吸子（Lorenz attractor）等等圖案，更進(jìn)一步詮釋出極值在附近點(diǎn)的特質(zhì)：五彩繽紛的圖案看來(lái)無(wú)序，顯示出它們根本無(wú)法收斂，卻環(huán)環(huán)相扣！

隨后又出現(xiàn)分形、混沌的理論相互呼應(yīng)，猝然進(jìn)入了混沌與模糊數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。

其實(shí)根本用不著依賴(lài)任何現(xiàn)代科技，古埃及的拉繩者們只要一根棍子及一條繩子，就能夠求出圓周大約為直徑的3倍，如果有一把精確的尺，更可以求出圓周率的值約為3.141 592…

奈何圓周率又是一個(gè)斤斤計(jì)較的東西，容不下一絲一毫的差池，只要改變其中任意1個(gè)數(shù)字，譬如：只要將第五位數(shù)由5改為6，它就再也不是圓周率了［9］。

大自然時(shí)空結(jié)構(gòu)無(wú)限折迭（fold catastrophe）、迭代（iteration）讓尺度的大小失去了意義。

再舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明專(zhuān)家們對(duì)極值的謬誤觀念，請(qǐng)看下面這一條取自古希臘歐幾里德的幾何問(wèn)題［10］：無(wú)限交錯(cuò)數(shù)列S＝1－1＋1－1＋1－1…

S＝a（rn－1）／（r－1），其中r為比值，a為首項(xiàng)值。

S的極值是什么？

有一部分人認(rèn)為：

S＝（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋（1－1）… 所以極值為0。

另外一部分人認(rèn)為：

S＝1－（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋（1－1）… ＝1－S，所以極值為1。

現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家們，則采取歐拉（Leonhard Euler）提出的解法：

因?yàn)镾＝1－S，所以2S＝1?S＝1／2。

這里有50%的機(jī)會(huì)可以找到0，也有50%的機(jī)會(huì)可以找到1，但絕對(duì)找不到1／2！因?yàn)?／2在數(shù)列中根本不存在！所以這只是概率的答案，而非極值的特質(zhì)。歐拉善于舞文弄墨又喜歡賣(mài)弄聰明，這就是歐拉自謂“改不掉的老毛病”，也是模糊數(shù)學(xué)問(wèn)題之所在。

3 羅素悖論及模糊數(shù)學(xué)

模糊數(shù)學(xué)是美國(guó)控制論專(zhuān)家扎德（L.A.Zadeh）為研究實(shí)際問(wèn)題，以集合論為基礎(chǔ)，將隨機(jī)性、概率、統(tǒng)計(jì)為數(shù)學(xué)工具，而衍生出來(lái)的一門(mén)邊緣學(xué)科［11］，成為類(lèi)比系統(tǒng)理論的根基。類(lèi)比電腦的運(yùn)算速度無(wú)可非議，但是隨機(jī)性無(wú)法控制亦無(wú)法仿真，所以業(yè)已被數(shù)字電腦所取代。

集合是以德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅（Eerst Zermelo）的策梅羅公設(shè)（二值邏輯）為基礎(chǔ)，但出現(xiàn)了羅素悖論（Russell’s paradox）：一個(gè)不包含自己的集合。

扎德企圖要將隨機(jī)性、概率、統(tǒng)計(jì)學(xué)引入集合論，輒以非亞里士多德邏輯取代策梅羅的二值邏輯，于是對(duì)元素x與集合S給出了一個(gè)特征函數(shù)C（x）：

在給出此一特征函數(shù)C（x）定義時(shí)，扎德舍棄了集合論中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募希⊿et）觀念代以較為模糊的“級(jí)”（Class），用較松散的局部屬于關(guān)系（∈－partial-order relationship，i.e.，min（a，b）and max（a，b））取代聯(lián)集與交集（union，∪，intersection，∩），并以封閉性區(qū)間［0≤x≤1］，取代二元集合｛0，1｝。

換言之，扎德給出的特征函數(shù)C（z）＝｛for?z∈C｜f∶z→z4＋1，where［0≤｜z｜≤1］，and Cis complex number｝中，C（x）＝0是集合，C（x）＝1不是集合。若給出了一個(gè)封閉性區(qū)間［0≤｜z｜≤1］，事實(shí)上亦代表極值0存在。若以方程式f∶z→z4＋1界定特征函數(shù)C（z），就是將函數(shù)域（range，i.e.，image domain）由二元集合｛0，1｝擴(kuò)張至無(wú)限的復(fù)數(shù)領(lǐng)域中［12］，如圖5。

方程式的四個(gè)根（±1，±i）將平面分隔成四塊區(qū)域，每一個(gè)解中隱含著其他三個(gè)解，形成一片蒙蒙復(fù)譎的雜詭邊界，看不見(jiàn)最終的結(jié)構(gòu)。這就是方程式極值在附近點(diǎn)的特質(zhì)。無(wú)限永遠(yuǎn)也無(wú)法收斂，若可以收斂，那它就沒(méi)有無(wú)限的特質(zhì)了。若更進(jìn)一步仔細(xì)分析，就知道這是古希臘著名的“化圓為方”幾何問(wèn)題，也就是將圓攤平在高斯的復(fù)數(shù)平面（C＊，the set of complex number without addition zero）上。

圖5 在復(fù)平面以牛頓法（Newton method）解方程式：f∶z→z4＋1

眾所皆知，概率是比值，統(tǒng)計(jì)也只能處理可數(shù)的事物，有理數(shù)乘法不封閉，沒(méi)有乘法反元素，乘法交換律不成立，所以在模糊數(shù)學(xué)中互補(bǔ)律（A∪A′＝E，A∩A′＝?）不成立。尤其模糊數(shù)學(xué)中的數(shù)字應(yīng)該是離散與量子的，界定級(jí)的陳述也不能使用微積分或是非線(xiàn)性方程式。因?yàn)榉蔷€(xiàn)性方程式無(wú)法相加，況且無(wú)解。

由于在模糊數(shù)學(xué)使用局部屬于的關(guān)系，所以一般的真值表并不適用；在一般數(shù)學(xué)中的結(jié)合律（a☆（b☆c）＝ （a☆b）☆c）、交換律（a☆b＝b☆a）、分配律（a★（b☆c）＝ （a☆b）★（a☆c））…也需要檢討［13］。

事實(shí)上，多值邏輯與雙值邏輯本是同一件事，只是增加一個(gè)Do-loop，也就是電腦硬體中的回遞線(xiàn)路，所以無(wú)所謂非亞里士多德邏輯，見(jiàn)圖6。

圖6 多值邏輯與雙值邏輯

4 極值的收斂與無(wú)限的代數(shù)性

科學(xué)家們顯然曲解了極值與無(wú)限的代數(shù)性，以為只要是函數(shù)收斂就有極限，就可以找到極值解決問(wèn)題。

這真是大錯(cuò)特錯(cuò)！非線(xiàn)性方程式的極值根本不會(huì)收斂，也不能使用微積分表述！

若從物理角度看，函數(shù)是闡述物理與化學(xué)反應(yīng)的方程式，每一次越過(guò)臨界點(diǎn)，就產(chǎn)生分子結(jié)構(gòu)重組。例如：解諾維爾·史托邁爾這類(lèi)方程式，就好像走迷宮，每走出一步之后，迷宮的墻壁就會(huì)重組，這是非線(xiàn)性斯托克斯流體動(dòng)力方程式（Navier-Stokes equations）面臨的問(wèn)題。正如馮諾曼（John Von Neumann，1903—1957）所言：這種方程式的特性是同時(shí)改變所有相關(guān)的特性，包括次序與維度一起改變，因此高難度的數(shù)學(xué)是可預(yù)期的。

很少有人能夠跟得上目前科學(xué)專(zhuān)業(yè)發(fā)展的步調(diào)，各行專(zhuān)業(yè)類(lèi)別間，就像是戰(zhàn)艦上防水閘門(mén)般密封阻隔著，專(zhuān)家們自顧不暇，毫無(wú)余裕來(lái)閱讀其他類(lèi)別的期刊。沒(méi)有人會(huì)在氣象的期刊中尋找混沌的理論，也沒(méi)有幾個(gè)人會(huì)在應(yīng)用科學(xué)的期刊中尋找模糊數(shù)學(xué)的理論。

在混沌的理論里，數(shù)學(xué)家們仿佛遇見(jiàn)了雙面神杰納斯（Janus），從這一面看去看到了秩序中摻雜著隨機(jī)性，從另一面看去，則看到了混沌的復(fù)雜系統(tǒng)中隱含著與生俱來(lái)的秩序。然而對(duì)任何一位科學(xué)家而言，掌握幾條數(shù)學(xué)公式，要比描述龐大的自然細(xì)節(jié)要簡(jiǎn)明多了。因此科學(xué)家們尋找答案的目標(biāo)，已不僅僅只是為了正確地描述宇宙，并且還要以最簡(jiǎn)明扼要有效的方式描述出來(lái)，這就是奧坎剃刀（Ockham’s Razor）原則——以最少的方式，巨細(xì)靡遺描述出大自然所有的細(xì)節(jié)。

迭代、折迭與邏輯“自洽”的本質(zhì)導(dǎo)向分形結(jié)構(gòu)與混沌理論。分子結(jié)構(gòu)自發(fā)性失稱(chēng)與自我復(fù)制的規(guī)則，隱藏在脫氧核糖核酸（DNA）中，復(fù)制出繽紛的大千世界。

這亦是大自然演化出生命游戲所采取的時(shí)空轉(zhuǎn)換規(guī)則。

倘若極值是無(wú)理數(shù)，這可是圖靈機(jī)也無(wú)法解決的無(wú)限問(wèn)題。不論諾曼的圖靈機(jī)還是諾維爾·史托邁爾方程式，都逃不出無(wú)理數(shù)的糾纏。交錯(cuò)級(jí)數(shù)看起來(lái)詭異，其實(shí)也只不過(guò)是另一種描述無(wú)限的方式：循環(huán)，它在物理的宇宙中，即所謂平衡。當(dāng)條件到達(dá)臨界點(diǎn)時(shí)，就產(chǎn)生相變。相變皆源自于分子結(jié)構(gòu)的崩解，當(dāng)物理、化學(xué)與生化反應(yīng)同時(shí)交換一小包能量，若能量突破閾值，就導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的崩解，系統(tǒng)突變。

當(dāng)科學(xué)家們計(jì)算公式取近似值時(shí)，他們也同時(shí)在主張，這些微分方程式的解答是由無(wú)限項(xiàng)次所構(gòu)成，他們所憑借的是假設(shè)其余的項(xiàng)次影響不大，所以只要計(jì)算其中的前幾項(xiàng)就能取得合理的近似值。但一小段直線(xiàn)上的點(diǎn)與無(wú)限長(zhǎng)的直線(xiàn)、無(wú)限大的平面，甚至整個(gè)空間中的點(diǎn)數(shù)目是一樣多，這一點(diǎn)可以用導(dǎo)體中電荷的屏蔽效應(yīng)證明，也可以用數(shù)學(xué)的高斯定律證明［14］。

牛頓首創(chuàng)攝動(dòng)原理，然后企圖以流數(shù)法來(lái)解答三體運(yùn)動(dòng)混沌的軌跡，卻始終未嘗成功。牛頓無(wú)法解開(kāi)太陽(yáng)、月球與地球間的三體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，因?yàn)樾行堑能壽E既混沌又不連續(xù)。只好拼湊出近似值，設(shè)法讓計(jì)算式中的數(shù)據(jù)吻合測(cè)量的數(shù)據(jù)，這種方式雖嫌粗糙，但原則上也還說(shuō)得過(guò)去。因?yàn)楫?dāng)年牛頓與萊布尼茨所描述的軌跡與其說(shuō)是連續(xù)的，不如說(shuō)是稠密的；牛頓本人從未提到過(guò)連續(xù)性，也沒(méi)有無(wú)理數(shù)。

只怪后來(lái)的數(shù)學(xué)家們?yōu)榱俗屛⒎e分合理化，加上了連續(xù)性與無(wú)理數(shù)，又創(chuàng)造出導(dǎo)函數(shù)，并為它建立了連續(xù)統(tǒng)假說(shuō)。

數(shù)學(xué)的角色應(yīng)該是使科學(xué)的理論發(fā)光，而不是用臆想的術(shù)語(yǔ)來(lái)讓人莫測(cè)高深；也就是必須用事實(shí)來(lái)為數(shù)學(xué)劃出是非、分界，而不是被無(wú)限的演繹牽著鼻子走。若不能清楚是非、分界，那豈不是治絲益棼？又怎能清楚合理地去描述這個(gè)充滿(mǎn)了混沌的領(lǐng)域呢？

事實(shí)上，不論科學(xué)家們?nèi)绾谓咝谋M智，他們應(yīng)用的微積分或流數(shù)法又如何高階，使他們誤以為答案已趨于極值；一旦刪去“尾數(shù)”，就等于刪去了“無(wú)限多”的點(diǎn)，也就是將無(wú)理數(shù)變成了有理數(shù)。

5 建立離散數(shù)字

一旦摘除了原本的連續(xù)性，就改變了數(shù)字的代數(shù)性。更糟的是，這些改變蔓延到所有的物理量，進(jìn)而延伸至科學(xué)所有的領(lǐng)域。就這樣，正確的答案一再?gòu)目茖W(xué)家們所設(shè)下的精妙公式與數(shù)字的陷阱中溜走。

數(shù)字一定是連續(xù)性的嗎？量子力學(xué)不是連續(xù)性的！

無(wú)理數(shù)存在嗎？電腦中沒(méi)有無(wú)理數(shù)！

為了避免正確的答案從公式與數(shù)字的陷阱中溜走，最明智的方法是摘下連續(xù)性與無(wú)理數(shù)的枷鎖，建立離散數(shù)字。

首先，取自然數(shù)“n”的倒數(shù)1／n。1／n相當(dāng)于自然數(shù)“n”的加法與乘法反元素。因此可以定義一個(gè)一對(duì)一映射函數(shù)（Φ）：將所有的自然數(shù)對(duì)應(yīng)到一個(gè)半開(kāi)放的單位區(qū)間（0，1］，區(qū)間中元素的數(shù)目與自然數(shù)（N）、正有理數(shù)（Q＋）相等（也就是，∞）。

由于無(wú)限大“∞”不存在，它的倒數(shù)“1／∞”也不存在。所以這里出現(xiàn)一個(gè)不含“0”的半開(kāi)放區(qū)間（0，1］。若再以這個(gè)半開(kāi)放區(qū)間（0，1］做單位尺標(biāo)可以建立一組稠密的數(shù)列：①，②，③，…數(shù)列中每一單位中的點(diǎn)數(shù)與自然數(shù)相等（也就是，∞）。所以數(shù)列的大小與實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的大小相當(dāng)（也就是，2∞）。若依樣畫(huà)葫蘆，再令○n?1／○n，可以得到另一組更稠密的超越數(shù)列：?，?，?，…整個(gè)數(shù)列的大小為（2∞）∞，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中所有的函數(shù)轉(zhuǎn)換，也相當(dāng)于宇宙中所有物理的質(zhì)能轉(zhuǎn)換。

這就是目前為止，科學(xué)家們?cè)谧匀唤缰姓业降乃袩o(wú)限大，顯然也只有這三種無(wú)限大屬于物理的世界，所以它們也通過(guò)了存在性的檢驗(yàn)。以此類(lèi)推，也可形成任何大小的不連續(xù)數(shù)列。（也就是，（（…（（（2∞）∞）∞）∞…）∞）∞），不過(guò)這些無(wú)限大在自然界中找不到，因此最好還是適可而止，避免違背了“存在性”。

這種數(shù)系的代數(shù)性與一般的數(shù)字大相徑庭，具有各式各樣的“反元素”，離散而封閉。封閉性是數(shù)字具體化過(guò)程中不可或缺的必要條件之一，也是數(shù)字“二元運(yùn)算”的必要條件，更闡釋出宇宙中沒(méi)有任何可以超越二元運(yùn)算的具體東西，因此解決了多次元問(wèn)題，排除了量子力學(xué)中不可思議的多重宇宙理論，更明白指出宇宙中的無(wú)限只有可數(shù)的無(wú)限及不可數(shù)的無(wú)限兩種。

目前所有數(shù)學(xué)中所熟悉的集合，無(wú)論有限、無(wú)限皆盡于此。譬如：N，Z，或Q，屬于可數(shù)無(wú)限集合；R與C則屬不可數(shù)的無(wú)限集合。

顯而易見(jiàn)，整數(shù)（Z）不連續(xù)。自然數(shù)這個(gè)集合雖說(shuō)無(wú)限，但不封閉，也沒(méi)有反元素。所以它無(wú)法逆運(yùn)算，既沒(méi)有減法也沒(méi)有除法，也就是說(shuō)，算不上是“二元運(yùn)算”。同樣，正有理數(shù)（Q＋）也有同樣的問(wèn)題［15］。

在物理世界中雖找不到 “＜1”的東西。不過(guò)卻找得到對(duì)應(yīng)于 “＜1”的反元素，譬如電子的反元素質(zhì)子，也有影子與鏡像，皆是具體的物理現(xiàn)象，也遵守大自然的物理法則，甚至可以確實(shí)執(zhí)行。因此，雖說(shuō) “＜1”與負(fù)數(shù)不存在，然而對(duì)應(yīng)于 “＜1”與負(fù)的現(xiàn)象卻“存在”。不過(guò)無(wú)理數(shù)與超越數(shù)不存在，它們只是子虛烏有的理想與符號(hào)。

不過(guò)這種數(shù)字并不均勻，在那些半開(kāi)放區(qū)間（0，1］附近特別稠密，有如元素原子的光譜一般，所以沒(méi)有存在性的問(wèn)題。至于這個(gè)半開(kāi)放區(qū)間（0，1］，就是一般所謂的叢點(diǎn)；或者更時(shí)髦的說(shuō)法，就是混沌的奇異點(diǎn)。

接下來(lái)再解決“0”的“存在性”問(wèn)題，“0”就用來(lái)闡釋宇宙中的虛空。若時(shí)間差為“0”，距離與位置也就失去了測(cè)量的基準(zhǔn)，因而形成了時(shí)空的奇異點(diǎn)。這就是芝諾的飛馳之箭在物理空間所劃下的軌跡，也是測(cè)不準(zhǔn)定理的緣由。

因此可以透過(guò)原子光譜的精致結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)“原子”附近的時(shí)空特別稠密且不連續(xù)，而原子的塞曼-斯塔克效應(yīng)（Zeeman-Stark effect）也可以證明。況且虛空本來(lái)就什么也沒(méi)有，也就是空集合（?，或｛｝，這是一階的 “0”：），一個(gè)由等值時(shí)間面構(gòu)成的拓?fù)湫苑忾]“空泡”，這是二階的 “0”。既具有caridinal set的特質(zhì)，又具有ordinal set的特質(zhì)。至于二階以上的“0”在自然界中找不到，因此還是暫時(shí)割?lèi)?ài)，避免違背了“存在性”。

Definition：The zero of Billy’s number：B1and Billy’s knots：B2.

An empty isochronal topological closure sphere：，is the second level“zero”，an initial element for Billy’s knots，the set：，which generate from a single light source S，is a “partially order class”in 3-D space，where，andis the unity element in B2，where“i”is subscripts.

真正的連續(xù)性與封閉性只存在于二階結(jié)構(gòu)——原子的球面。這也就是為何一階邏輯可以闡述原子與宇宙中基本元素的一階特性：因?yàn)樗鼈兪请x散的，并不連續(xù)。至于二階邏輯，則用以闡述原子與宇宙的二階特性：具備各式各樣的反元素，也就是這些反元素足以讓它們封閉。就是這緣故，它們存在；也就是這緣故，它們可以具體化。

假設(shè)B2s為光源S的一個(gè)時(shí)空節(jié)點(diǎn)，而等時(shí)拓?fù)浞忾]小泡內(nèi)含的能量為｛q｝，則q就是小泡內(nèi)含的一小包能量。

如此一來(lái)，能量與質(zhì)量的關(guān)系與集合論元素與集合的關(guān)系不謀而合。至于將能量束縛在時(shí)空節(jié)點(diǎn)B1中，科學(xué)家將它稱(chēng)為弱核力（week nuclear force）。所以光量子（light quantum）是集合中的單一元素（singleton），定義為：｛q｝∈，也是光源S的successor set S＋。因此時(shí)間包含在時(shí)間內(nèi)（time∈time），也清楚指出時(shí)間不包含在時(shí)間內(nèi)（time?time）；所以也消弭了羅素悖論（Russell’s paradox）的疑點(diǎn)。

這種方法稱(chēng)為construction by recursion，或視為是Axiom of Infinity等價(jià)。于是A＋B＝A∪B，A－B＝A∩B′，這就是一般數(shù)學(xué)的加法與減法。

只不過(guò)非線(xiàn)性系統(tǒng)無(wú)法相加，亦往往無(wú)解（也就是混沌），在流體與機(jī)械動(dòng)力系統(tǒng)中往往是被舍棄的部分。以摩擦力為例，若沒(méi)有摩擦力，只要一條慣性方程式就可以搞定；但加入摩擦力后，系統(tǒng)立即變得復(fù)雜無(wú)解：找不到極值。在大自然的游戲中非線(xiàn)性主宰游戲的“數(shù)字與運(yùn)算”規(guī)則，線(xiàn)性只不過(guò)是特例。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的“數(shù)字與運(yùn)算”物理化時(shí)所面臨的問(wèn)題，是在無(wú)限中尋找極值（窮竭法），及非線(xiàn)性系統(tǒng)中的反元素或“反運(yùn)算”問(wèn)題。除法就是反乘法或乘法反元素的乘法，它的數(shù)學(xué)定義如下：

其實(shí)宇宙中任何物體都是集合，所以任何大自然的“數(shù)字與運(yùn)算”皆來(lái)自于集合“屬于”（∈-well-order relationship）的關(guān)系，這正是集合唯一的關(guān)系。根據(jù)“construction by recursion”或“Axiom of Infinity”，只要借著空集合（?）與successor set即可應(yīng)用“屬于”的關(guān)系建立所有的“數(shù)字”與“運(yùn)算”（注：屬于等價(jià)于集合的聯(lián)集（∪）與交集（∩））。

因此也只要先具體化空集合與successor set，同樣可以應(yīng)用屬于的關(guān)系具體化所有的“數(shù)字”與“運(yùn)算”。然而任何一個(gè)集合A的二元運(yùn)算，亦即集合的轉(zhuǎn)換，可視為是集合對(duì)自身的排列組合ρ，并不關(guān)切集合內(nèi)的元素是否無(wú)限，只要記住，運(yùn)算的步驟必須是可數(shù)的無(wú)限。而任一ρ，相當(dāng)于一對(duì)獨(dú)立、不接圓（或許更恰當(dāng)?shù)拿枋鍪遣唤迎h(huán)）的排列組合。因此，可以用它們的旋轉(zhuǎn)代替乘法運(yùn)算（?）。換言之，任一次不接環(huán)的旋轉(zhuǎn)皆相當(dāng)于兩個(gè)加法交換群的乘積，而每一個(gè)“群”都必定與某組排列組合同構(gòu)，旋轉(zhuǎn)只形成“循環(huán)群”。有限交換群也就是循環(huán)群。所以，任一轉(zhuǎn)換函數(shù)ρ，皆相當(dāng)于將若干不接圓迭加起來(lái)，一并做有限次數(shù)的排列組合，運(yùn)算也就是共集合有限次數(shù)的指定運(yùn)算，只限定運(yùn)算次數(shù)有限，不接圓與元素的數(shù)目根本沒(méi)有任何影響。如此一來(lái)，就解決了無(wú)限的問(wèn)題。

若令（0，1）∪｛1｝＝（0，1］，無(wú)疑也可以一對(duì)一對(duì)應(yīng)于一個(gè)直徑為1的單位圓。此外，也可以很容易證明，單位圓、任意圓、矩形，或幾何圖形中的點(diǎn)也一樣多。以此類(lèi)推，可以證明任意二維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，甚至整個(gè)三維空間中的點(diǎn)也一樣多。

換言之，任何一條直線(xiàn)可以無(wú)限“迭加”與“分割”，無(wú)視于這一條直線(xiàn)究竟有多長(zhǎng)。注意A與B′的封閉性，封閉性是二元運(yùn)算中不可或缺的必要條件（有“反”元素及吻合結(jié)合律），結(jié)合律又衍生到分配律，分配律攸關(guān)質(zhì)能的分配與轉(zhuǎn)變。進(jìn)而跨入拓?fù)滢D(zhuǎn)換與克萊恩（Felix Klein，1849—1925）就職演說(shuō)與書(shū)面論文《愛(ài)蘭根大綱》（ErlangerProgramm，1872）［16］，以《群論》為基礎(chǔ)重述幾何學(xué)的定義。

6 結(jié)論

如此一來(lái)，可以重新定義一套不連續(xù)的數(shù)字：“Billy’s number”，其實(shí) “Billy’s number”并不稀奇，它就是在熒光幕上所看見(jiàn)的數(shù)字化數(shù)字（pixel），建立的方法也是當(dāng)年普利克建立坐標(biāo)相同的手法。此外，挪威邏輯學(xué)家史克萊姆（Thoraff Skolem）也曾從邏輯與集合論的觀點(diǎn)提出這一方面的研究成果。

數(shù)學(xué)史揭示，從古希臘迄今數(shù)學(xué)曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)三次基礎(chǔ)危機(jī)。每次危機(jī)皆是由于數(shù)學(xué)發(fā)展出新工具，應(yīng)用的領(lǐng)域極速擴(kuò)展，導(dǎo)致原本數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的堅(jiān)實(shí)性出現(xiàn)裂痕，以至于理論不能為應(yīng)用提供發(fā)展方向與證明，而應(yīng)用反而動(dòng)搖了理論的根基。隨著時(shí)間的推移，矛盾越來(lái)越多，問(wèn)題也越來(lái)越明顯，令人們終于意識(shí)到數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)原來(lái)是建立在沙灘上。所以每一次危機(jī)，總有一大部分不適用的理論被迫改造與放棄。說(shuō)來(lái)令人難以置信，這三次基礎(chǔ)危機(jī)并未渡過(guò)，并且延續(xù)了下來(lái)，這就是千百年來(lái)數(shù)學(xué)懸而未解問(wèn)題的肇因。

“Een schip op het strand is een baken in zee.”（Dutch proverb）

沙灘上的船骸，是大海的燈塔。（他山之石，可以攻錯(cuò)。）（A ship on the beach is a lighthouse to the sea.）

“鑒古而知今”是人類(lèi)之所以能夠在地球蕓蕓眾生中崢嶸頭角脫穎而出的原因。當(dāng)回顧數(shù)學(xué)史時(shí)，可看到以下這些事實(shí)：萊布尼茨（Gottfrid Wilhelm Leibniz）是第一個(gè)踏在連續(xù)與離散之間的人，19世紀(jì)畢達(dá)哥拉斯派（Pythagorean brotherhood）學(xué)者德國(guó)柏林大學(xué)數(shù)學(xué)教授克羅尼克（Leopold Kronecker）是第一個(gè)踏入離散數(shù)學(xué)門(mén)扉的人。至于本文則是第一篇剔除了現(xiàn)代分析之父魏爾斯特拉斯（Weierstrass Karl T.W.）的函數(shù)極限“ε－δdefinition”定義，給出離散數(shù)字的定義，為數(shù)字、原子與時(shí)空結(jié)構(gòu)劃上等號(hào)，將古典物理及量子力學(xué)與數(shù)學(xué)及混沌理論整合起來(lái)的論文。

克羅尼克在宴會(huì)中，曾經(jīng)語(yǔ)重心長(zhǎng)地舉杯致詞［4］：

只有自然數(shù)來(lái)自上帝，其他一切皆是人為。

“Die ganze Zahlen hat Gott gemacht，alles andere ist Menschenweck.”

“God made the whole numbers，all the rest is the work of man.”

據(jù)悉萊布尼茨曾經(jīng)有感而發(fā)，說(shuō)了一句俏皮話(huà)［4］：

“The principle of pure d-ism，as opposed to the dot-age of university.”（大自然的原則對(duì)照大學(xué)中的老耄。）

話(huà)中的 “pure d-ism，deism”是雙關(guān)語(yǔ)，將大自然的原則對(duì)照于神諭（oracle）。

如今根據(jù)電腦時(shí)代中的觀點(diǎn)，將萊布尼茨的俏皮話(huà)改為：

“The fundamental principle of universe as opposed to the dot of computer-age.”（宇宙中的基本原則對(duì)照于電腦時(shí)代中的點(diǎn)。）

拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）評(píng)述［16］：

萊布尼茨相信他已在“2”進(jìn)制中看到了上帝創(chuàng)造萬(wàn)物，在那里只有“0”與“1”，“0”代表虛無(wú)，“1”代表上帝。

“2”進(jìn)制數(shù)字是電腦中采取的數(shù)字，亦是布林代數(shù)（Boolean algebra）中的數(shù)字，相當(dāng)于歐幾里德幾何學(xué)中沒(méi)有大小的點(diǎn)。無(wú)疑它們僅是 “Billy’s number”中的一個(gè)小小部分，亦可對(duì)照于西元前五世紀(jì)學(xué)者琉希帕斯（Leucippus）及他的弟子德謨克利特（Democritus）提出的原子：一種均勻堅(jiān)硬，既不可改變又不可分割的物體。原子有不同的大小與形狀（也就是拓?fù)湫裕?/p>

近百年來(lái)，物理學(xué)邁入鉆牛角尖的危機(jī)，但這情況又因?yàn)榛煦缋碚撆c電腦模擬戲劇化地出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)。相對(duì)論剔除掉了歐幾里德幾何學(xué)中的平行公設(shè)，量子力學(xué)推翻了牛頓力學(xué)中的連續(xù)性，混沌理論與電腦模擬又戲劇化地凸顯了畢達(dá)哥拉斯無(wú)理數(shù)不存在的論點(diǎn)。

然而這些問(wèn)題“懸而未解”卻以訛傳訛，以至于又衍生出后續(xù)的種種問(wèn)題。

若用 “Billy’s number”取代目前數(shù)學(xué)中連續(xù)性的數(shù)字，由于它同時(shí)具有caridinal set與ordinal set及時(shí)間與空間的維度，與拓?fù)湫约按鷶?shù)性特質(zhì)。它的數(shù)列稠密而不連續(xù)，它的元素是離散的，既沒(méi)有無(wú)理數(shù)，也沒(méi)有超越數(shù)，因此徹底消弭了數(shù)學(xué)史上三次的基礎(chǔ)危機(jī)。它那些顯而易見(jiàn)的特質(zhì)，剔除掉了一切不能具體化的東西。它消弭了微積分、撫平了牛頓力學(xué)與量子力學(xué)間的傷痕，除掉了笛卡爾坐標(biāo)、解析幾何之類(lèi)與不吻合事實(shí)，或不能具體化的東西，帶領(lǐng)著我們跨越數(shù)學(xué)與物理間的知識(shí)鴻溝，并為數(shù)學(xué)打開(kāi)了通往物理公設(shè)化的門(mén)扉，從根本上整合了大自然中所有的知識(shí)。

此證（Quod Erat Demonstrandum）。

（2012年4月19日收到）

［1］The lst International Congress of Mathematicians ［C］.Zürich，1897.

［2］International Congress of Mathematicians［C］.Paris，1900.

［3］RIDDLE L.Department of Mathematics，Agnes Scott College，http：／／people.bath.ac.uk／cs3mmh／ifs.

［4］EVES H W，EVES J H.An introduction to the history of mathematics［M］.6th ed.Philadelphia：Saunders College Pub.，1990.

［5］ROSE P L.The Italian renaissance of mathematics［M］.Geneva：Librairie Droz，1975.

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［16］LAPLACE P S.Essai philosoque sue les probabilites（概率哲學(xué)探究）［M］.5th ed.Cambridge：Cambridge University Press，2009.

Modeling and Simulation of Complex Earth System for Climate Change（Part II）

CHA Billy①，LI Qi②
① ②Professor，CyberGISStudio，PekingUniversity，Beijing100871，China

There is an unwritten rule in science，indicates that physics is a concrete model and the primitive terms are objects and relations adapted from the real world.But，mathematics is an ideal model，that the primitive terms are objects and relations adapted from some other postulation development.Their characters are naturally different.As a result，physicists use observations，measurements，and experiments argue for these phenomena they found.While，mathematicians use deduction debate for their noumenas，the former is physical description，and the latter is the fact of substance.Trivial，this two kind knowledge have themselves inherent incompletion，and there is inconsistency trouble with them at the very initial stage，which continuous unlimited among their descendant subjects.Thus，those unsolved problems arise.For this reason，in this article，we base on the truth and through geometric structure of time-space and nature laws in universe which they followed，let the physics and mathematics consistency，and then those unsolved problems can be accomplished.Further for that，revealed a way to the axiomatisation of physics，eliminate the profoundly disturbing crises wherein the foundation of mathematics.

axiomatisation，chaos，nonlinear，discontinuity，butterfly effect，attractor

10.3969／j.issn.0253-9608.2012.06.002

（編輯：方守獅）