一般數(shù)域 P上方陣的標(biāo)準(zhǔn)形

杜翠真，林建富

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

1 引言

方陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形是代數(shù)學(xué)的重要問題之一，文獻(xiàn)[1－3]運(yùn)用不同的方法對(duì)方陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形進(jìn)行了討論，給出了復(fù)數(shù)域上矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形—若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，一般數(shù)域 P上方陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形.本文給出一般數(shù)域 P上的方陣的一種相似標(biāo)準(zhǔn)形 P－若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.記 P為數(shù)域，A為數(shù)域 P上的 n級(jí)方陣，E為單位矩陣.與若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形理論類似，有方陣 A的不變因子、初等因子和伴侶陣的定義.

定義1 稱形如

的矩陣為 P－若當(dāng)塊，其中 Λ 為多項(xiàng)式 q(λ)=λk+a1λk－1+…+ak－1λ+ak的伴侶陣 .

設(shè) f(λ)為數(shù)域 P上的任意多項(xiàng)式，則

定義2 由數(shù)域 P上若干個(gè) P－若當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣稱為 P－若當(dāng)形矩陣，其一般形狀如

其中

P－若當(dāng)形矩陣 J的全部初等因子就是由數(shù)域 P上的全部 P－若當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的.

P－若當(dāng)形矩陣除去 P－若當(dāng)塊的排列次序外被它的初等因子惟一決定.

引理1 數(shù)域 P上兩個(gè) n級(jí)方陣相似的充要條件是它們?cè)跀?shù)域 P上有相同的初等因子.

證明利用文獻(xiàn)[1]的定理8可證.

引理2 首先用初等變換化特征矩陣 λE－A為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上元素分解成數(shù)域 P上互不相同的首1的不可約因式方冪的乘積，則所有這些不可約因式的方冪就是 A在數(shù)域 P上的全部初等因子.

證明利用文獻(xiàn)[1]的定理9可證.

引理3 設(shè) f(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，則 r(f(J))=(m－ i)k.特別的，J 的最小多項(xiàng)式為(q(λ))m，即 J的最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式相等.

證明注意到 q(λ)是 Λ 的最小多項(xiàng)式，且 q(λ)是 f(λ)，f'(λ)，…，f(i－1)(λ)的因式，但不是 f(i)(λ)的因式.因此 f(Λ)=f'(Λ)=… =f(i－1)(Λ)=O 而 B=f(i)(Λ)可逆 .于是

顯然 r(f(J))=(m－i)k.

特別地，當(dāng) f(λ)=(q(λ))m時(shí)，f(J)=[q(J)]m=O.設(shè) J 的最小多項(xiàng)式為 g(λ)，則 g(λ)|(q(λ))m，于是 g(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，但是當(dāng) i=1，2，…，m 時(shí)，(q(J))i≠O，g(λ)=(q(λ))m.

2 主要結(jié)論

定理1 每個(gè)數(shù)域 P上的 n級(jí)方陣 A都與一個(gè) P－若當(dāng)形矩陣相似，且這個(gè) P－若當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣 A惟一決定的，稱為 A的 P－若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

證明設(shè) n級(jí)方陣 A的全部初等因子為

其中 q1(λ)，q2(λ)，…，qs(λ)可能有相同的，m1，m2，…，ms也可能有相同的.每一個(gè)初等因子(qi(λ))mi對(duì)應(yīng)一個(gè) P－若當(dāng)塊

這些 P－若當(dāng)塊構(gòu)成 P－若當(dāng)形矩陣通過計(jì)算可得 J的全部初等因子也是(1).因此 J與 A有相同的初等因子，所以它們相似.

如果另一 P－若當(dāng)形矩陣 J'與 A相似，J'與 A就有相同的初等因子，因此 J'與 J除了 P－若當(dāng)塊的排列次序外是惟一的，惟一性得證.

這個(gè) P－若當(dāng)形矩陣 J就是數(shù)域 P上的方陣 A的相似標(biāo)準(zhǔn)形.

定理2 設(shè) V是數(shù)域 P上 n維線性空間，σ為 V的線性變換，則在 V中存在一組基，使 σ在這組基下的矩陣為 P－若當(dāng)形矩陣，且這個(gè) P－若當(dāng)形矩陣除去其中 P－若當(dāng)塊的排列次序外是被 σ惟一決定的，稱為 σ的 P－若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

證明在 V中取一組基 α1，α2，…，αn，設(shè) σ 在這組基下的矩陣是 A，由定理1，存在可逆矩陣 T，使T－1AT 為 P － 若當(dāng)形矩陣.于是在由(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)T 確定的基 β1，β2，…，βn下，線性變換σ的矩陣就是 P－若當(dāng)形矩陣 T－1AT.

由定理1，惟一性是顯然的.

推論1 設(shè) V為數(shù)域 P上 mk維線性空間，σ 為 V的線性變換，且 σ 在基 α11，α12，…，α1k，α21，α22，…，α2k，…，αm1，αm2，…，αmk下的矩陣為數(shù)域 P 上的若當(dāng)塊

其中 Λ為數(shù)域 P上不可約多項(xiàng)式 q(λ)=λk+a1λk－1+…+ak的伴侶陣.則

1)σ的任一非零的不變子空間 W的維數(shù)為 k的倍數(shù)，且 σ|W的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等.

2)σ有 m個(gè)非零的不變子空間，分別為

證明1)注意到 σ的特征多項(xiàng)式為(q(λ))m.設(shè) W為 σ的任一非零的不變子空間，記 σ|W為 σ在W 上的限制.設(shè) σ|W 的特征多項(xiàng)式為 g(λ)，最小多項(xiàng)式為 h(λ)，則 h(λ)|g(λ)，g(λ)|(q(λ))m.

設(shè) g(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，所以 dimW=ik.設(shè) h(λ)=(q(λ))l，這里 l≤i.

由 h(σ)|W=h(σ|W)=O知，

所以 ik≤lk.故 l=i，g(λ)=h(λ)且 W=ker(q(σ)i).

2) 顯然 Wj=L(αj1，αj2，…，αjk，…， αm1， αm2，…，αmk)是非零的 σ 不變子空間，而 dimWj=(m － j+1)k，因此 Wj=ker(q(σ)m－j+1).

推論2 設(shè) V為數(shù)域 P上 n維線性空間，σ為 V的線性變換，設(shè) σ的特征多項(xiàng)式

則

2)設(shè) W為 σ 的任一非零不變子空間，則 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩Vi，i=1，2，…，s.

證明1)根據(jù)文獻(xiàn)[1]的定理12可得.

2) ?ξ∈W?V，由 1)得

所以存在 u(λ)，v(λ)，使得

于是

所以

所以

所以

顯然有 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩ Vi，i=1，2，…，s.

證明設(shè) σ在 V的某組基下的矩陣為數(shù)域 P上的若當(dāng)形矩陣，

其中 Ji=J(qi(λ)，mi)， i=1，2，…，s，且 V=V18V28…8Vs，其中 Vi=ker(qi(σ)mi).設(shè) W為 σ 的任一不變子空間，由 σ的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等，則 W=W18W28…8Ws，其中 Wi=W∩Vi是包含在 Vi中的 σ不變子空間.易見 σ|Vi在 Vi的某組基下的矩陣為若當(dāng)塊 Ji，因此包含在 Vi中的 σ不變子空間恰有 mi+1個(gè).故 σ恰有(m1+1)(m2+1)…(ms+1)個(gè)不變子空間.不難看出它們就是

下列結(jié)論給出的 Λ和 ?？梢钥闯墒蔷仃囂卣髦岛吞卣飨蛄康囊环N推廣.

引理4 設(shè) A為數(shù)域 P上的 n級(jí)方陣，f(λ)為 A的特征多項(xiàng)式，p(λ)為數(shù)域 P上的首1的不可約多項(xiàng)式，且 P(λ)|f(λ)，設(shè) Λ 為 p(λ)的伴侶陣 .則

1)存在數(shù)域 P上列滿秩矩陣 Γ，使得 AΓ=ΓΛ.

2)存在數(shù)域 P上行滿秩矩陣 Ψ，使得 ΨA=ΛΨ.

證明1)由已知可得 p(λ)m是 A的初等因子，因此存在可逆矩陣 P，使得

其中

設(shè) P=(P1，P2，…，Pm)，取 Γ =Pm，則 AΓ = ΓΛ.

2)同理可證.

推論4 設(shè) V為數(shù)域 P上的 n維線性空間，σ為 V的線性變換.則 σ的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等的充要條件是 σ只有有限個(gè)不變子空間.

證明 必要性由推論3即得.

充分性 設(shè) σ在 V的某組基下的矩陣為 P－若當(dāng)形矩陣 A，若 σ的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式不相等，則 P－若當(dāng)形矩陣 A中至少有兩個(gè)同屬于某一不可約多項(xiàng)式 p(λ)的若當(dāng)塊.

記 ?(p(λ))=k，Λ 為 p(λ)的伴侶陣，由引理4知，存在數(shù)域 P上列滿秩矩陣 Γ1，Γ2，使得 AΓ1=Γ1Λ，AΓ2= Γ2Λ，且(Γ1，Γ2)列滿秩 .因此存在 V 中線性無關(guān)向量 α1，α2，…，αk，β1，β2，…，βk使得 W1=L(α1，α2，…，αk)，W2=L(β1， β2，…， βk)，皆為 σ 不變子空間，且 σ 限制在 W1和 W2上的矩陣皆為 Λ.任取λ∈P，令 γi= αi+ λβi，i=1，2，…，k.則 W(λ)=L(γ1， γ2，…， γk)為 σ 的不變子空間.當(dāng) λ1≠ λ2時(shí)，W(λ1)≠W(λ2).這與 σ只有有限個(gè)不變子空間矛盾.

所以 σ的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等.

推論5 設(shè) V為數(shù)域 P上 n維線性空間，σ為 V上線性變換.設(shè) σ的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等.若 W為 σ的任一非零的不變子空間，則 σ|W的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等.

證明由 σ的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等，V的線性變換 σ只有有限個(gè)不變子空間.則 σ|W只有有限個(gè)不變子空間.于是 σ|W的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等.

推論6 設(shè) V為數(shù)域 P上的 n維線性空間，σ為 V的線性變換.則以下等價(jià):

1)與 σ可交換的線性變換皆為 σ的多項(xiàng)式.

2)σ的最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式相等.

3)V的線性變換 σ只有有限個(gè)不變子空間.

[1]李炯生，查建國(guó).線性代數(shù)[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2005.

[2]許以超.代數(shù)學(xué)引論[M].上海:上?？萍汲霭嫔?，1982.

[3]HORN R A，JOHNSON C R.Matrix analysis[M].London:Cambridge University Press，1985.

[4]萬(wàn)哲先.代數(shù)導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社，2004.