運(yùn)用微積分求解物理問(wèn)題的方法

楊國(guó)平

（紹興市第一中學(xué) 浙江 紹興 312000）

高考對(duì)物理學(xué)科提出了5種能力要求，其中之一是“運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力”.在新課程改革的背景下，簡(jiǎn)單的微積分已下放到高中數(shù)學(xué)課程中，這對(duì)物理學(xué)科的教學(xué)無(wú)疑是一大利好.

1 導(dǎo)數(shù)應(yīng)物理而生

物理問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)涉及到變化率，并在此基礎(chǔ)上建立相應(yīng)的物理概念，例如，在研究瞬時(shí)速度、加速度、角速度等概念的過(guò)程中，呼喚著導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生.導(dǎo)數(shù)是用來(lái)解決變化率的有效工具，瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是切線的斜率，這在物理圖像中經(jīng)常涉及到.在有關(guān)內(nèi)容已下放到高中數(shù)學(xué)以后，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述物理問(wèn)題，這對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確理解物理概念、規(guī)律是很有好處的.經(jīng)常用到的結(jié)論有：常數(shù)C′＝0；冪函數(shù)（xn）′＝nxn－1；三角函數(shù)（sinx）′＝cosx；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

2 物理因?qū)?shù)而嚴(yán)謹(jǐn)

普通物理知識(shí)大多采用微積分來(lái)描述，而高中物理常把它們降解為初等的數(shù)學(xué)手段，但有些知識(shí)是很難回避微積分的，高中階段往往一筆帶過(guò)，這些知識(shí)自然就成為學(xué)生理解上的瓶頸.其實(shí)，只需引用簡(jiǎn)單的微積分常識(shí)（下面以三角函數(shù)sinθ為例），就可以圓滿地解決不少問(wèn)題.

2.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型

質(zhì)點(diǎn)的位移x隨時(shí)間t的變化規(guī)律滿足

則其速度的變化規(guī)律為

加速度

由此看到：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度都是按正弦式規(guī)律變化的.另外

得到周期公式

2.2 正弦交流電模型

線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在中性面時(shí)記作t＝0，穿過(guò)線圈的磁通量Φ＝BScosωt，則線圈中的電動(dòng)勢(shì)

電流

若線圈有N匝，得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為

（1）有效值：基于電流的熱效應(yīng)來(lái)定義.假設(shè)有一個(gè)定值電阻R，在交流的一個(gè)周期T內(nèi)，產(chǎn)生的熱量

代入得

對(duì)照Q＝RT，得到

（2）LC振蕩電路：通過(guò)電感線圈的電流為

則線圈兩端的電壓

3 導(dǎo)數(shù)在物理題解中的應(yīng)用

【例1】已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x＝2t2＋3t＋4（單位：m），試求第1s末質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度、加速度.

解析：根據(jù)速度的定義

把t＝1s代入得

加速度

可以證明，滿足位移方程x＝at2＋bt＋c的一定是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，式中c為t＝0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的初始位置，質(zhì)點(diǎn)的初速度等于b，加速度等于2a.

【例2】在水平地面上方10m高處，以20m／s的初速度沿斜上方拋出一物體，不計(jì)空氣阻力，g取10 m／s2，求物體的最大射程［1］.

解析：以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，建立水平、豎直方向的坐標(biāo)系xOy，如圖1，設(shè)v0與x軸的夾角為θ，飛行時(shí)間為t，有

圖1

聯(lián)立（1）、（2）式消去參數(shù)θ，得

代入數(shù)據(jù)得

當(dāng)x取最大值時(shí)，（3）式右邊對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)等于零，即

解得

代入（3）式得

【例3】（2011年清華大學(xué)自主招生試題）如圖2（a）所示，水平高臺(tái)上有一小車，水平地面上有一拖車，兩車之間用一根不可伸長(zhǎng)的繩跨過(guò)定滑輪相連.拖車從滑輪正下方以恒定速度沿直線運(yùn)動(dòng)，則在拖車行進(jìn)的過(guò)程中，小車的加速度

A.逐漸減小 B.逐漸增大

C.先減小后增大 D.先增大后減小

圖2

解析：把拖車的速度分解為圖2（b）所示的兩個(gè)方向，小車的速度等于v1＝vcosθ，則加速度

因θ逐漸減小，選項(xiàng)A正確.

解后語(yǔ)：本題考查加速度牽連關(guān)系，處理方法比速度要復(fù)雜得多，時(shí)有被錯(cuò)解（或歪打正著）的情況.一些基本函數(shù)（如三角函數(shù)sinθ、冪函數(shù)xn等）的微積分形式很常見(jiàn)，記住這些簡(jiǎn)單結(jié)論就可以解決不少問(wèn)題.

【例4】（2003年高考上海卷第22題）如圖3所示，OACO為置于水平面內(nèi)的光滑閉合金屬導(dǎo)軌，O，C處分別接有短電阻絲（圖中用粗線表示），R1＝4Ω、R2＝8Ω，導(dǎo)軌其他部分電阻不計(jì).導(dǎo)軌OAC的形狀滿足y＝2sin（x）（單位：m）.磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面.一足夠長(zhǎng)的金屬棒在水平外力作用下，以恒定的速率v＝5.0 m／s水平向右在導(dǎo)軌上從O點(diǎn)滑動(dòng)到C點(diǎn)，棒與導(dǎo)軌接觸良好且始終保持與OC導(dǎo)軌垂直，不計(jì)棒的電阻.求：滑動(dòng)過(guò)程中通過(guò)金屬棒的電荷量有多少.

圖3

解析：根據(jù)電磁感應(yīng)定律

代入后得到

由此可得

【例5】（第22屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第9題）如圖4所示，水平放置的金屬細(xì)圓環(huán)半徑為a，豎直放置的金屬細(xì)圓柱（其半徑比a小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一平面內(nèi)，圓柱的細(xì)軸通過(guò)圓環(huán)的中心O.一質(zhì)量為m，電阻為R的均勻?qū)w細(xì)棒被圓環(huán)和細(xì)圓柱端面支撐，棒的一端有一小孔套在細(xì)軸O上，另一端A可繞軸線沿圓環(huán)作圓周運(yùn)動(dòng)，棒與圓環(huán)的摩擦因數(shù)為μ.圓環(huán)處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝Kr、方向豎直向上的恒定磁場(chǎng)中，式中K為大于零的常量，r為場(chǎng)點(diǎn)到軸線的距離.金屬細(xì)圓柱與圓環(huán)用導(dǎo)線ed連接.不計(jì)棒與軸及與細(xì)圓柱端面的摩擦，也不計(jì)細(xì)圓柱、圓環(huán)及導(dǎo)線的電阻和感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng).問(wèn)沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)？

圖4

分析：勻速轉(zhuǎn)動(dòng)應(yīng)符合力矩平衡條件：M外＝M安＋M摩，為求安培力矩，關(guān)鍵是求出OA棒上的電動(dòng)勢(shì).考慮一個(gè)周期T（OA棒轉(zhuǎn)動(dòng)一周）內(nèi)，磁通量的變化量ΔΦ＝BS，由于B是變化的，把它沿半徑方向分割成若干個(gè)帶狀圓環(huán)，再積分即可.

解答：設(shè)沿OA向外第i個(gè)微元段的半徑為r，該處帶狀圓環(huán)的電動(dòng)勢(shì)

安培力矩

摩擦力矩

代入得

解得

解后語(yǔ)：在處理變量時(shí)，以前普遍采用微元法，其實(shí)質(zhì)就是求導(dǎo)、積分的過(guò)程.涉及到兩個(gè)以上的變量時(shí)（比如例5中B隨著r變化，傳統(tǒng)的方法是采用微元分割，借助高階小量近似，寫成相鄰兩項(xiàng)的差值，累加得到結(jié)果），用微元法需要有較高的技巧，而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具理應(yīng)是最有效的.對(duì)于求OA棒上的電動(dòng)勢(shì)，本題還可采用以下解法：

第i個(gè)微元段的電動(dòng)勢(shì)

可見(jiàn)，求OA棒上的電動(dòng)勢(shì)，用積分方法會(huì)簡(jiǎn)潔一些.

1 楊國(guó)平.物理解題中的遞推方法.物理通報(bào)，2012（5）：56～59