關(guān)于S-半正規(guī)子群＊

朱志遠(yuǎn)，鄒慧慧

（1.濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061；2.濰坊廣文中學(xué)，山東 濰坊 261041）

從某一特殊子群出發(fā)來研究原群的結(jié)構(gòu)是有限群研究的一種重要方法，其中通過推廣正規(guī)子群為擬正規(guī)子群，半正規(guī)子群，弱擬正規(guī)子群等來研究群的結(jié)構(gòu)是近年來有限群研究的熱點(diǎn)。

首先介紹本文用到的一些基本概念。G總表示一個(gè)有限群。G的子群H 稱為擬正規(guī)的，如果HK＝KH，?K≤G成立。H稱為s-擬正規(guī)的，如果H與G的所有Syiow子群可交換。作為擬正規(guī)，s-擬正規(guī)概念的推廣，陳重穆在文獻(xiàn)[2]中引進(jìn)了陳半正規(guī)，s-半正規(guī)子群的概念。G的子群H 稱為陳-半正規(guī)的，如果對(duì)任意的K≤G，只要（｜K｜，｜H｜）＝1，就有HK＝KH；H 稱為s-半正規(guī)的，如果對(duì)任意的P｜｜G｜，只要（p，｜H｜）＝1，就有HP＝PH，其中，p∈Sylp（G）。在本文中我們研究s-半正規(guī)子群對(duì)有限群可解與超可解性的影響。

1 定義及主要引理

定義1[2]群G的子群H 叫做在G內(nèi)陳半正規(guī)，如果對(duì)G的每個(gè)子群K，凡滿足（｜H｜，｜K｜）＝1者，均有HK＝KH。如果再限制K為G的Sylow子群，則稱H為G的s-半正規(guī)子群。

引理1[2，7]設(shè)H為群G的陳-半正規(guī)（半正規(guī)）子群。（1）若H≤K≤G，則H 在K 內(nèi)陳-半正規(guī)（s-半正規(guī)）。（2）若H為p-群，N為G的冪零正規(guī)子群，則HN／N在G／N內(nèi)陳-半正規(guī)（S-半正規(guī)）。

引理2 設(shè)N≤G，K?G，則必有N的極大子群N1，使NK／K的極大子群為N1K／K。

證明 設(shè)M／K是NK／K的任一極大子群，則M是NK的極大子群。設(shè)N1是N的一個(gè)極大子群，且M∩N≤N1，由N∩K≤N∩M≤N1得，N∩K≤N1∩K。顯然N1∩K≤N∩K，故N∩K＝N1∩K。又由，｜N1K｜＝｜N1｜｜K｜／｜N1∩K｜＜｜N｜｜K｜／｜N∩K｜＝｜NK｜得，N1K＜NK 。但M＝M∩NK＝（M∩N）K≤N1K＜NK，由M是NK 的極大子群可得，M＝N1K。

引理3[4]G設(shè)是有限群，N是G的極小正規(guī)子群，則F（G）≤CG（N）。特別地，若N交換，則有N≤Z（F（G））。

引理4[5]設(shè)G是可解外超可解群，且G滿足置換條件，則Φ（G）＝1且

（1）G＝NM，N∩M＝1，M＜·G，N 是G 之唯一的極小正規(guī)子群，因而CG（N）＝N。

（2）N 是非循環(huán)的初等Abel2-群，N≠P2∈Syl2（G），因而22≤｜N｜＜｜P2｜。

引理5[9]（1）對(duì)任意｛p，q｝∈π（G），若G存在｛p，q｝-Hall子群，則G為可解群。

（2）若G存在2′-Hall子群和3′-Hall子群，則G為可解群。

2 主要結(jié)果

首先從群G的Sylow子群及Hall子群入手來研究群G的可解性。

定理1 設(shè)H為G的Hall子群，若G滿足下列條件之一，則G為可解群。

（1）H 可解，且對(duì)任意p∈π（G）＼π（H），有G的Sylow p-子群在G中s-半正規(guī)；

（2）H在G中有可解補(bǔ)K，H的所有Sylow子群均在G中s-半正規(guī)。

證明 （1）任取p1，p2∈π（G），。若p1，p2∈π（H），由于 H 為G 的可解 Hall子群，從而G有｛p1，p2｝-Hall子群。若p1，p2至少有一個(gè)不屬于π（H），不妨設(shè)p1?π（H），則G的Sylow 子群P1在G中s-半正規(guī)。于是，對(duì)P2∈Sylp2（G），有P1P2成群，且P1P2為G 的｛p1，p2｝-Hall子群。由引理5（1）知，G 為可解群。

（2）任取p，q∈π（G）。

（i）若p∈π（H），令P∈Sylp（H），Q∈Sylq（G），則P在G 中s-半正規(guī)，從而PQ成群。于是G有｛p，q｝-Hall子群PQ。

（ii）若p?π（H），此時(shí)，若q∈π（H），則該情形轉(zhuǎn)化為上述情形（i）。若q?π（H），則p，q∈π（K）。由于K 可解，于是K 存在｛p，q｝-Hall子群K1，顯然K1也是G的｛p，q｝-Hall子群。

從而G總存在｛p，q｝-Hall子群。由引理5（1）知，g為可解群。

定理2 若｛2，3｝∈π（G），且對(duì)素?cái)?shù)p≠2，3，G的Sylow p-子群均在G中s-半正規(guī)，則G為可解群。

證明 令π（G）＝｛2，3，p1，p2，…，pn｝，且設(shè)Pi∈Sylpi（G），其中i＝1，2，…，n。P∈Syl2（G），Q∈Syl3（G）。由假設(shè)條件知，QP1成群，且QP1為G的｛3，p1｝-Hall子群。再由P2在G中s-半正規(guī)知，QP1P2為G的｛3，p1，p2｝-Hall子群。如此不難得出，G 有2′-Hall子群QP1P2…Pn。同理，G 有3′-Hall子群PP1P2…Pn。因此，由引理5（2）知，G為可解群。

在下面幾個(gè)定理中。我們主要從極大子群的角度來研究群G的超可解性。

定理3 設(shè)M為G的具有素?cái)?shù)冪指數(shù)的子群，若M的所有Sylow子群及它的Sylow子群的極大子群在G中s-半正規(guī)，則G為超可解群。

證明 令G為極小階反例。

設(shè)｛p1，p2，…，pn｝是｜G｜的素因子集合，取Pi∈Sylpi（G），i＝1，2，…，n。由條件不妨設(shè)｜G∶M｜＝pr1，r≥1，則Pi∈Sylpi（M），i＝2，…，n。再取Q1∈Sylp1（M）。因?yàn)镻2在G 中s-半正規(guī)，故P1P2成群，且P1P2為G的Hall子群。而對(duì)P3∈Sylp3（G），有P3∈Sylp3（M），由P3在G中s-半正規(guī)，得P1P2P3做成G的Hall子群。由此不難看到G有一切可能階的Hall子群，故G為可解群。

設(shè)N是G的極小正規(guī)子群，由引理1與引理2知，MN／N的Sylow子群及它的Sylow子群的極大子群在G／N中s-半正規(guī)，且易知｛Q1N／N，P2N／N，…，PnN／N｝是MN／N的一個(gè)Sylow 系。由G的極小性得，G／N超可解。于是G／N是可解的外超可解群，從G＝NA而有引理4的性質(zhì)，其中A＜·G。若N不是p1-群，不妨設(shè)N是p2-群，則N≤P2，從而P2＝P2∩G＝P2∩NA＝N（P2∩A）。此時(shí)必有p2的一個(gè)極大子群T2，使得N≤T2，若否，N包含在P2的任一極大子群之中，則N≤Φ（P2），由P2＝N（P2∩A）得P2＝P2∩A，即P2≤A。于是N≤P2≤A，矛盾。由T2，P3…，Pn在G 中s-半正規(guī)，得K＝P1T2P3…Pn為G的一個(gè)極大子群，且｜G∶K｜＝p2，N≤K。于是G＝KN，｜N∶N∩K｜＝｜NK∶K｜＝｜G∶K｜＝p2。由N的極小性知K∩N＝1，從而｜N｜＝p2，故G為超可解群，矛盾。若N是p1-群，則N≤P1，此時(shí)必有P1的一個(gè)極大子群T1，使得N≤T1，于是L＝T1P2P3…Pn為G的一個(gè)極大子群，且｜G∶K｜＝p2，N≤L。同上可得｜N｜＝p1，故G為超可解群，矛盾。

推論1 群G有指數(shù)為素?cái)?shù)的子群H，若H的所有Sylow子群及它的Sylow子群的極大子群在G中s-半正規(guī)，則G為超可解群。

定理4 設(shè)群G滿足置換條件，若G的Sylow2-子群的極大子群在G中s-半正規(guī)，則G為超可解群。

證明 設(shè)G為極小階反例。

由于G滿足置換條件，故G可解。對(duì)任意1≠K?G，若2?π（G／K），則G／K為滿足置換條件的奇階群，由文獻(xiàn)[8]可知，G／K 超可解。若2∈π（G／K），G／K 滿足假設(shè)條件，由歸納假設(shè)，G／K 超可解。這樣，G為可解-外超可解群。由引理4，G＝NM，N∩M＝1，M＜·G。N是G之唯一的極小正規(guī)子群。

令P∈Syl2（M），則PN∈Syl2（G）。取P1為PN 的包含P 的極大子群，由于｜N｜＝2α，α＞1，從而P＜P1。由M 可解，可令M＝M2′P。其中M2′為M 的Hall 2′-子群。由P1在G中s-半正規(guī)知，M2′P1成群。于是，M＝M2′P＜M2′P1＜M2′PN＝G。這與M為極大子群矛盾。從而極小反例不存在，G為超可解群。

定理5 設(shè)M＜·G，｜G∶M｜＝p（p為素?cái)?shù)），且M在G中s-半正規(guī)，若G滿足下列條件之一，則G為超可解群。

（1）M 為循環(huán)群。

（2）M 為冪零群，且F（G）≤M。

證明 由條件知M總是冪零群，則由文獻(xiàn)[6]中定理4知，G為可解群。

（1）設(shè)N是G的任一極小正規(guī)子群，則N為初等交換群。若N∩M＝1，則G＝MN。從而｜N｜＝｜G∶M｜＝p，且有G／N?M超可解。從而G超可解。若N∩M≠1。假設(shè)NM＝G。由于N∩M?M，N∩M?N。從而N∩M?MN＝G。由N的極小性知，N∩M＝N。于是N≤M，G＝M。矛盾。故NM＜G，此時(shí)M＝NM，從而N≤M。由M為循環(huán)群知，N亦為循環(huán)群，又N為初等交換群，從而｜N｜＝p。顯然G／N滿足定理?xiàng)l件，由歸納知，G／N超可解。因此，G為超可解群。

（2）若Φ（G）≠1，則M／Φ（G）＜·G／Φ（G），且F（G／Φ（G））＝F（G）／Φ（G）≤ M／Φ（G）。顯然 M／Φ（G）冪零且｜G／Φ（G）∶M／Φ（G）｜＝｜G∶M｜＝p。由引理1.1知M／Φ（G）在G／Φ（G）中s-半正規(guī)，由歸納，G／Φ（G）超可解。從而G為超可解群。

若Φ（G）＝1。由G可解知，F(xiàn)（G）＝N1×N2×…×Ns，其中，Ni（i＝1，2，…s）為G 的極小正規(guī)子群。由F（G）≤M 知，必存在Nk（1≤k≤s），使Nk≤M，于是G＝MNk。而M∩Nk?M，M∩Nk?Nk，從而有M∩Nk＝1。故G／Nk?M，由M冪零，顯然G／Nk超可解。又｜Nk｜＝｜G∶M｜＝p，因此G為超可解群。

[1]陳重穆.內(nèi)外∑-群與極小非∑-群[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社，1988.

[2]陳重穆.關(guān)于Srinivasan的一個(gè)定理[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1987，12（1）：1-4.

[3]Li Y，Wang Y.The influence of the properties of maximal subgroups on the structure of a finite group[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2007，36（5）：599-606.

[4]徐明曜，黃建華，李慧陵，等.有限群導(dǎo)引（上，下）[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2001.

[5]郭秀云.有限群為超可解群的充要條件[J].數(shù)學(xué)雜志，1989，9（2）：161-164.

[6]趙艷萍，徐習(xí)明.關(guān)于有限群可解性的若干結(jié)果[J].青島大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，8（3）：16-19.

[7]黎前修.極小子群與超可解性[J].數(shù)學(xué)雜志，1996，16（2）：129-132.

[8]Bray H G，Deskins W E，Johnson D，等.冪零與可解之間[M].張遠(yuǎn)達(dá)，文志雄，朱德高，等，譯.武漢：武漢大學(xué)出版社，1988.

[9]Arad Z，Ward M B.New criteria for the solvability of finite groups[J].J Algebra，1982，77（1）：234.

[10]陳順民，張良才.關(guān)于超可解群的若干結(jié)果[J].南京師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，8（2）：33-37.