重力勢能零勢能面選取地面而非無限遠(yuǎn)處的定量分析

陳 澤 徐 華 張新玉

（鹽城師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224002）

1 問題的提出

為什么零勢能面隨著研究對象的運(yùn)動特點(diǎn)的不同而不同？要解決這種困惑，必須從勢能面選取的原則性、合理性、簡潔性入手，運(yùn)用物理建模、定量分析的科學(xué)思維方法，深刻理解零勢能面的物理內(nèi)涵.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用科學(xué)思維與探究能力形成清晰的能量觀念，提升學(xué)生的物理核心素養(yǎng).［1］重力勢能屬于能量觀念范疇，是物理學(xué)中重要的物理概念.重力勢能的大小由零勢能面決定.重力勢能的零勢能面一般選取地面；另一方面重力勢能作為特定情況下的引力勢能，而引力勢能的零勢能面通常又選取無限遠(yuǎn)處.這一看似習(xí)以為常的零勢能面選取方法，實(shí)際上蘊(yùn)含著豐富的物理思想.本文將對這一有趣且重要的物理問題作詳細(xì)，深入的分析.

2 問題的分析

本文關(guān)于重力勢能與引力勢能的表述需要指出的是，物體在地表附近運(yùn)動時，物體運(yùn)動的空間尺度相比地球半徑可以忽略.此時，引力的大小、方向可以近似看作不變，物體的引力勢能通常可以說成重力勢能；而物體在遠(yuǎn)離地表運(yùn)動時，物體的空間運(yùn)動尺度與地球半徑處于同一數(shù)量級，此時引力的大小、方向在運(yùn)動過程中，變化比較明顯，一般不說成重力勢能.因此，重力勢能是特定情況下的引力勢能.

2.1 以無限遠(yuǎn)處為零勢能面

如圖1所示，假設(shè)一物體從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn).分析物體運(yùn)動過程中的運(yùn)動規(guī)律，一種是以力，加速度，速度，位移為基本概念來描述物體的運(yùn)動特點(diǎn)；另一種是以功、能量之間的轉(zhuǎn)化來描述物體的運(yùn)動特點(diǎn).后者是在前者認(rèn)識上的升華.為了從能量觀念上認(rèn)識該物體的運(yùn)動規(guī)律，顯然需要建立動能、重力做功、重力勢能這些物理概念.重力勢能這一概念又建立在重力做功概念的基礎(chǔ)上.為了討論問題的方便，這里忽略空氣阻力.某一位置物體的引力勢能是物體從該位置運(yùn)動到零勢能面過程中引力所做的功.因此，若選擇無限遠(yuǎn)處為零勢能面，物體在A點(diǎn)的引力勢能可以表示為［2］

圖1

這里G為萬有引力常量，M為地球質(zhì)量，m為物體質(zhì)量，r為物體與地心之間的距離.引力勢能表達(dá)式也可以利用微元法與數(shù)列求和相結(jié)合的初等數(shù)學(xué)方法推導(dǎo).［3］接下來，根據(jù)公式（1），分析物體在地球表面附近與遠(yuǎn)離地球表面兩種情況下引力勢能的特點(diǎn).

2.1.1 遠(yuǎn)離地表

在物體遠(yuǎn)離地表時，物體距離地面的高度與地球半徑處于同一數(shù)量級，此時物體的引力勢能可通過公式（1）進(jìn)一步推導(dǎo)得到.其大小表示為

這里RE為地球半徑.從公式（2）可以清晰地看出，物體在遠(yuǎn)離地表時，物體的引力勢能與地心的距離r＝RE＋hA成反比.該表達(dá)式不但非常簡潔，而且能清晰地反映物體引力勢能隨物體位置變化的規(guī)律.因此在研究物體遠(yuǎn)離地表運(yùn)動時，如天體的運(yùn)動規(guī)律，引力勢能的零勢能面選取無限遠(yuǎn)處是很顯然的結(jié)果.

2.1.2 地表附近

接下來分析公式（2）描述地表附近（hA?RE）物體的重力勢能的不合理之處.物體在地表附近運(yùn)動過程中，重力勢能的變化量相比重力勢能的大小幾乎可以忽略，導(dǎo)致描述物體在地表附近運(yùn)動過程中能量轉(zhuǎn)化的直觀性很差.為了更形象地體現(xiàn)這一缺點(diǎn)，對公式（2）做進(jìn)一步化簡

2.2 以地面為零勢能面

如圖2所示，若選擇地面為零勢能面，物體在A點(diǎn)的重力勢能可以表示為

圖2

接下來，根據(jù)公式（4），仍然分析物體在地表附近與遠(yuǎn)離地表附近兩種情況下引力勢能的特點(diǎn).

2.2.1 遠(yuǎn)離地表

在物體遠(yuǎn)離地表時，物體距離地面的高度與地球半徑處于同一數(shù)量級，此時物體的引力勢能可通過公式（1）進(jìn)一步推導(dǎo)得到.其大小表示為

2.2.2 地表附近

在地表附近（hA?RE），公式（5）可以進(jìn)一步化簡為

在地表附近，以物體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律可得

聯(lián)立公式（7），公式（6）進(jìn)一步簡化為

公式（8）推導(dǎo)過程利用到常用近似公式：x→0時，（1＋x）n≈1＋nx.［4］公式（8）為常見的重力勢能表達(dá)式.這里我們從引力勢能定義出發(fā)，以地面為零勢能面，給出了地表附近物體的重力勢能表達(dá)式.雖然過程稍顯復(fù)雜，但對于揭示地表附近物體的重力勢能應(yīng)選取地面為零勢能面背后的物理本質(zhì)，顯得至關(guān)重要.從公式（8）可以清晰地看出：以地面為零勢能面，地表附近物體的重力勢能與距離地面的高度hA成正比.該表達(dá)式不僅非常簡潔，而且能非常直觀地反映重力勢能隨著hA的變化而變化.因此，在研究地表附近的物體運(yùn)動時，物體的重力勢能的零勢能面選取地面非常合理.

3 結(jié)語

通過從引力勢能為零的定義出發(fā)，結(jié)合勢能變化與保守力做功之間的關(guān)系，采用定量分析的科學(xué)思維方法，解釋了物體的運(yùn)動尺度相比地球半徑可以忽略時，地表附近物體重力勢能的零勢能面選擇地面而不是無限遠(yuǎn)處的原因；以及物體的運(yùn)動尺度相比地球半徑處于同一數(shù)量級時，引力勢能的零勢能面選擇無限遠(yuǎn)處而不是地面的原因.