數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類與劃歸思想

韓新社

（武漢船舶職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部，湖北武漢 430050）

數(shù)學(xué)工作者面臨的數(shù)學(xué)問題浩如煙海，也是千變?nèi)f化，且新的問題層出不窮。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們逐漸使用“題庫”來貯存數(shù)學(xué)問題，然而要一個人對里面的問題一一作答，恐怕耗盡畢生的精力也于事無補，更何況題庫相對于已有的數(shù)學(xué)問題其容量也只不過是滄海之一栗。

上述事實告訴我們：在教學(xué)中企圖“以多取勝”，師生忙碌于題海之中是不足取的。任何“重知識，輕方法，重結(jié)論，輕思想”的作法，也是沒有出路的。

在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)展的今天，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)一定要適應(yīng)時代的需要。這就要求我們教師把數(shù)學(xué)思想、方法貫穿于教學(xué)的始終，從而培養(yǎng)學(xué)生自覺提出問題并解決問題的能力。最終培養(yǎng)出具有自我發(fā)展能力的新型人才。

解決問題所需要的特殊手段叫技巧，技巧只能在某些問題中發(fā)揮特殊的作用。解決一類問題可采用的共同手段叫方法。而指導(dǎo)我們解決問題的最深層的精靈就是思想。方法和思想在一定范圍內(nèi)有通用性。方法要在實踐中不斷完善、創(chuàng)新，而思想則經(jīng)久閃耀著不滅的光輝。一般說來，技巧累積到規(guī)律化的程度就出現(xiàn)了方法，方法升華到通用性的境地就形成了思想。技巧永遠走在方法的前面，而方法永遠是思想的先導(dǎo)，它們都是長期社會實踐的產(chǎn)物。

人類在長期解決數(shù)學(xué)問題的進程中，總結(jié)出了許多解題方法（如待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法等），形成了許多數(shù)學(xué)思想。形象地說，一個方法就像一把鑰匙，一把鑰匙只能開一把鎖。如待定系數(shù)法，僅能解決知道結(jié)果形式的問題；數(shù)學(xué)歸納法只能解決與自然數(shù)有關(guān)的問題。而數(shù)學(xué)思想就相當(dāng)于制造鑰匙的原理。如果把技巧比作交通工具，方法比作交通方式，那么思想就是指示方向的路標(biāo)和燈塔。解決任何問題無不是在某種思想的指導(dǎo)下進行的。

在教學(xué)實踐中，我們深深地體會到：只有用數(shù)學(xué)思想武裝起來的學(xué)生解決問題才有遠見和洞察力，只有把人類積累的思想財富運用于課堂教學(xué)的始終，才能使我們的教學(xué)朝氣蓬勃，充滿生機。才能叩開學(xué)生思維的大門，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造意識，才能把課堂變成同學(xué)們吐才露華的幸福樂園。

1 把分類的思想貫穿于教學(xué)的始終

高職生有一個弱點，那就是害怕討論問題。雖然他們有時也能把問題分成幾種情況去加以解決，但在絕大多數(shù)情形下，都是一種被動的模仿。當(dāng)問及為什么要那樣分時，他們往往答不上來，且解答不全的情況時有發(fā)生。至于遇到一個需要分多種情況討論的新問題，大多會沒有思路、束手無策。通過教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不能自覺地討論問題，是因為同學(xué)們不了解討論背后的思想——分類。

1.1 問題的論域與分類

人類解決任何問題都是在一定的范圍內(nèi)進行的，這個范圍就是問題的論域。當(dāng)人們在整個論域里解決問題遇到困難時，往往先把論域劃分為若干種情況。然后對各種情況一一作答。由于劃分后每次解決問題的范圍小了，且各種情況都有自身的特性，因此解決起來容易些。當(dāng)這種辦法重復(fù)使用于各類問題中后就形成了一種思想——分類的思想。顯然，分類的作用就是化整為零，分而治之，各個擊破。

數(shù)學(xué)問題的論域往往表現(xiàn)為一個大集合——全集。分類就是將大集合分為一些小集合，每個小集合叫一個類，分類要選取一定的標(biāo)準(zhǔn)（依據(jù)），不同的標(biāo)準(zhǔn)就產(chǎn)生了不同的分類。在教學(xué)中我們要有意識地灌輸分類的思想。如講函數(shù)的性質(zhì)時，我們是以函數(shù)的奇偶性為標(biāo)準(zhǔn)把函數(shù)全體分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)和既奇又偶函數(shù)四大類。又以周期性為標(biāo)準(zhǔn)把它們分成周期函數(shù)和非周期函數(shù)兩大類的。又如在研究直線與平面的位置關(guān)系時，我們選取公共點的多少為標(biāo)準(zhǔn)將其分為平行、相交和在內(nèi)三類，然后再逐步研究就順利達到了目的。

1.2 分類與討論

把數(shù)學(xué)問題進行分類，然后逐一求解的過程叫討論。顯然分類是討論的先導(dǎo)和源泉。數(shù)學(xué)中需討論的問題是非常多的，我們在教學(xué)中每次都注意站在分類思想的高度對學(xué)生解題的過程及思維進行指導(dǎo)，經(jīng)過長時問的培養(yǎng)，學(xué)生的思維能力有較大的提高。他們害怕討論問題的程度大大降低。如在學(xué)習(xí)不等式證明時，例題“已知a∈R，求證f（a）＝a8－a5＋a2－a＋1＞0。”結(jié)果大多數(shù)同學(xué)都用分類思想順利地作了證明。如有一位同學(xué)證明道：“（按a的取值分類）①當(dāng)a≤0時，－a5－a＞0?f（a）＞0顯然成立；②當(dāng)a＞0時，若a＝1?f（a）＝1＞0；若a∈（0，1）有a2，a5∈（0，1）且a2＞a5?f（a）＝（1－a）＋（a2－a5）＋a8＞0；若a＞1，有a8＞a5，a2＞a?f（a）＝（a8－a5）＋（a2－a）＋1＞0”。

1.3 染色、賦值與分類

解題時經(jīng)常給事物染色、賦值。事實上，給事物染色就是給事物分類；賦值雖不是直接給事物分類，但賦了值后，每個事物都有一個數(shù)值代表，而數(shù)集通常易于分類，所以賦值的目的仍然是為了分類。如給一排樹上編1，2，3，…號，就是給樹賦了值，而賦了值就能輕易地進行奇偶分類。由此看來，染色和賦值等手段的實質(zhì)都是為了分類。另外設(shè)計抽屜也是分類，這樣講就能使學(xué)生獲得較高層次的統(tǒng)一的思想認(rèn)識，在以后的解題中就能化為一種自覺的指導(dǎo)。

2 用化歸思想駕馭教材

所謂化歸就是把面臨的問題化解開來，歸結(jié)為一個或幾個已解決了的問題或簡單易解的問題。人們解決問題時都自覺不自覺地用到劃歸的思想，當(dāng)我們遇到一個陌生的問題時我們總是把它與我們熟悉了的模式、方法掛鉤。更一般地，人類知識向前演進的過程中，無不是化新知為舊知，化未知為已知的。從這個意義講，化歸是一種具有廣泛的普適性的深刻的數(shù)學(xué)思想，也是我們解決教學(xué)問題的總策略。它不但在科學(xué)家的發(fā)明創(chuàng)新中顯示了巨大的作用，就是在學(xué)生的解題過程中也有普遍的指導(dǎo)意義。

在教學(xué)中，我們十分注意化歸思想的教學(xué)。在宏觀上，我們指出解決立體幾何問題總是把空間問題轉(zhuǎn)化到某一平面上去，再用平面幾何的已有結(jié)論去解決；解決解析幾何問題，又總是通過建立坐標(biāo)系，把幾何問題化歸為代數(shù)問題去解決；解復(fù)數(shù)問題，總是用代數(shù)形式或三角形式把其化歸成實數(shù)問題或三角問題加以解決的。作輔助平面、建立坐標(biāo)系及用代數(shù)（三角）式都是在創(chuàng)造化歸的條件，由此可見，創(chuàng)造“一定條件”是實現(xiàn)化歸的技術(shù)和關(guān)鍵。

在微觀層次上，我們也十分注意對學(xué)生化歸意識的培養(yǎng)。比如我們在講“加法定理”一節(jié)時，先對公式Cα－β進行了認(rèn)真推導(dǎo)。接著我們要學(xué)生自己推導(dǎo)公式Cα＋β，同學(xué)們由于沒有化歸意識，大都模仿Cα－β的推導(dǎo)思路，在坐標(biāo)系中畫單位圓進行繁雜的推演。我們馬上告訴同學(xué)們，由于“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，就有Cα－β＝Cα－（－β），這時若把（－α）看成一個整體，就可應(yīng)用已證明了的公式Cα－β去證明Cα＋β了。當(dāng)然這里Cα－β中參數(shù)角β具有任意性是關(guān)鍵。等同學(xué)們證明出來后，我們進一步告訴他們，已知互逆的兩種運算中一種具有某種性質(zhì)，推導(dǎo)另一種運算的類似性質(zhì)時可考慮用化歸思想，無需另起爐灶。其條件是：“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)…及其參數(shù)的任意性”。此外，在建立了公式后，我們告訴同學(xué)們，本公式為把正、余弦的問題互相轉(zhuǎn)化提供了契機。于是再要同學(xué)們推導(dǎo)Sα－β時，有一部分同學(xué)就能自覺地把Sα－β通過公式轉(zhuǎn)化到用Cα－β加以解決，并把Sα－β轉(zhuǎn)化成Cα－（－β）去解決。至此我們繼續(xù)指出，加法定理公式系統(tǒng)中幾十個公式全是用“母”公式Cα－β通過化歸的方法推導(dǎo)出來的，從而使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)思想的和諧之美。

3 結(jié) 語

反復(fù)的實踐使我們認(rèn)識到，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。思想和方法是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要武器。只有在教學(xué)中不斷暴露思維的過程，用思想駕馭教學(xué)內(nèi)容，才能提高思維水平，減少思考問題的強度，提高思維的自動化程度。才能把學(xué)生教活，在學(xué)生身上產(chǎn)生自我發(fā)展機制。只有強化思維的自我意識，用數(shù)學(xué)思想武裝的學(xué)生，才有內(nèi)溢的意識流，才能在解決問題中表現(xiàn)得機智靈活，產(chǎn)生四通八達的思維境界。因此，我們認(rèn)為只有努力讓數(shù)學(xué)思想、方法閃現(xiàn)在教學(xué)過程的始終，才能使我們的教學(xué)充滿活力。

1 王棟.論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐探索［M］.華東師大出版社，2009，（12）

2 王安.數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析［M］.福建教育出版社，2008，（12）

3 張奠宙等.數(shù)學(xué)教育學(xué)［M］.江西教育出版社，1996.

4 傅前曉.數(shù)學(xué)教學(xué)新理念［M］.中國人民大學(xué)出版社，2008，（11）