基于參數(shù)辨識模型的彈道擬合方法仿真研究＊

羅 兵 王憲洲 宋萬成

（1.海軍蚌埠士官學校兵器系 蚌埠 233012）（2.92771部隊 青島 266405）（3.海軍駐沈陽彈藥專業(yè)軍事代表室 沈陽 110045）

1 引言

為了突破水面艦艇的多層防御體系，各國在研或新裝備的反艦導彈普遍采用了比例導引方法和末段機動突防技術，蛇行機動和末端躍升俯沖攻擊是反艦導彈末段突防可以采用的有效方式，可以有效地擾亂艦艇火控系統(tǒng)的定位和跟蹤功能，提高反艦導彈的突防攻擊能力，而且可以增強其對艦艇的毀傷效能[1～4]。在現(xiàn)行的機動目標跟蹤過程中，一般是人為地給出目標的預置模型，當目標真實的運動過程不確定時，這些預置模型就無法精確反映目標運動規(guī)律[5～6]，因此，實現(xiàn)反艦導彈彈道擬合對于探測、識別和跟蹤反艦導彈具有重要意義。

本文針對反艦導彈末段蛇行機動和躍升俯沖攻擊等運動方式，利用參數(shù)辨識模型自動適應機動目標運動模態(tài)變化的特性，實現(xiàn)反艦導彈機動彈道的擬合，為高精度跟蹤反艦導彈提供參考。

2 參數(shù)辨識模型

根據(jù)文獻[7]，由參數(shù)形式表示的目標運動模型的結構為

其中a、b待辨識的模型參數(shù)；W（t）均值為零的白噪聲。

由于要通過模型參數(shù)a、b的辨識來實現(xiàn)模型的辨識，它的狀態(tài)方程為

由參數(shù)辨識模型的表達式（1）可以看出，參數(shù)a、b綜合決定了目標加速度的變化率。b是變化率中的常數(shù)，單位是m／s3，a是相對于加速度的機動系數(shù)，一般情況下是一個小于零的負數(shù)，單位是1／s。

依據(jù)參數(shù)a、b的不同組合，綜合效應可使參數(shù)辨識模型的結構可以覆蓋機動目標可能的多種運動狀態(tài)。如果：

1）a＜0，則隨時間推移，目標加速度最終趨于穩(wěn)定值，且｜a｜值越大，目標加速度趨于穩(wěn)定值的速度越快；

2）b＝0，目標加速度的初值也為零，則參數(shù)辨識模型式（1）的結構退化為勻速直線運動；

3）a→0，b＝0，初始速度不為零。則視初始加速度的小與大，目標將分別進入“勻加速”或勻加加速運動的狀態(tài)；

4）a→0，b≠0，目標做“勻加加速”直線運動。

上述參數(shù)辨識模型（1）對目標的多種運動模態(tài)的廣泛適應能力，使得它不僅具有對采樣周期變化的適應能力，而且在它的有效動態(tài)遞推辨識算法中通過參數(shù)a、b的自動校正，還能自動適應機動目標運動模態(tài)的變化。

依據(jù)參數(shù)辨識模型（1），提出以求解微分方程的歐拉算法的二步格式和中心差商的數(shù)值微分算法為基礎，實現(xiàn)微分方程的動態(tài)辨識。只考慮一維的情況，將待辨識的參數(shù)辨識模型（1）的結構表示為

其中e（t）是模型的殘差。

模型的狀態(tài)方程為

根據(jù)求解微分方程的二步格式的歐拉算法，選定步長為h，對狀態(tài)方程式（4）進行線性變換：

其中，k表示步長為h的時間序號。

利用差商數(shù)值微分公式有

將式（6）代入差分方程組（5），由下向上迭代化簡，可得

令x（k）＝x1（k），得到以待辨識參數(shù)a、b為變量的線性方程

線性方程式（8）中各已知量之間的變換關系式為

當系統(tǒng)已動態(tài)觀測到目標位移量的序列值x（－3）、x（－2）、x（－1）、x（0）、…、x（m＋1），m≥2。則可按式（8），順序構造出如下線性方程組

選定二次型指標函數(shù)

極小化指標函數(shù)J，即可得到目標“參數(shù)辨識模型”參數(shù)θ的最小二乘解

3 漸消記憶的遞推最小二乘法

只要UTU非奇異就有唯一解，這在通常的動態(tài)觀測中是可以滿足的。因此，利用線性變換式（9），就可實現(xiàn)“參數(shù)辨識模型”的動態(tài)辨識。

對于用m個方程所得的解，記為

并令

可得到模型參數(shù)矢量θ的遞推最小二乘公式如下

在實際應用中，由于增益矩陣Kθ（m）隨著m的增加將逐漸趨于零，算法慢慢失去修正能力，使得參數(shù)估計值偏離真實參數(shù)較遠而無法更新，這種新數(shù)據(jù)所提供的信息被淹沒在老數(shù)據(jù)的海洋之中的現(xiàn)象，稱為“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象。對時變系統(tǒng)來說，數(shù)據(jù)飽和將導致參數(shù)估計值不能跟蹤時變參數(shù)的變化。為此，利用漸消記憶的遞推算法改進上述模型，通過指數(shù)加權，人為地強調了當前數(shù)據(jù)的作用，而使歷史的數(shù)據(jù)逐漸被衰減[8]。

將各次觀測同等看待，即認為各次觀測的方程誤差er（k）在參數(shù)估計中的地位相同，因而在性能指標函數(shù)中，直接將各次觀測的方程誤差平方相加，如式（13）所示。如果事先能估計各次觀測的方程誤差er（k）對參數(shù)估計的影響，可以將式（13）的性能指標函數(shù)改寫為

式中W為一加權陣，它是一個對稱的正定陣。通常取為對角陣，即

選用指數(shù)加權函數(shù)其中，a＞0，0＜r＜1。

這種選擇權函數(shù)的基本想法是使目前的觀測數(shù)據(jù)的權大于過去觀測數(shù)據(jù)的權，它相當于給老數(shù)據(jù)加上了一個遺忘因子（衰減因子），以降低老數(shù)據(jù)提供的信息量，增加新數(shù)據(jù)提供的數(shù)據(jù)量。

極小化指標函數(shù)J，即可得到目標“參數(shù)辨識模型”參數(shù)θ的加權最小二乘解：

同樣，只要UTWU非奇異就有唯一解。所以，漸消記憶的遞推最小二乘公式如下：

其遞推過程是：首先選擇權函數(shù)中的a、r和N值（當a＝r＝1時，相當于一般最小二乘法的遞推公式），確定初始值（m）和P（m）；再根據(jù)輸入、輸出信息構成uT（m＋1）；在此基礎上，先求出Kθ（m＋1），再求得（m＋1）和P（m＋1）。

4 仿真計算

對式（2）進行離散化處理，得到離散時刻的運動方程[9～10]，在探測目標過程中，觀測序列構成遞推計算過程中的輸入信息，通過上述模型實時辨識得到參數(shù)a、b的值，構建瞬時彈道模型，動態(tài)的適應目標的運動狀態(tài)。針對目標蛇行機動和躍升俯沖攻擊等運動方式，進行仿真計算。

圖1 蛇行機動擬合彈道

圖2 躍升俯沖攻擊擬合彈道

1）蛇行機動方式：初始角度位置α0＝30°，線速度v＝300m／s，角速度ω＝1rad／s，機動幅度300m，仿真結果如圖1所示。

2）躍升俯沖攻擊方式：目標艦艇的位置在原點，導彈開始躍升機動時的坐標為（3000m，10m），速度為850m／s，仿真結果如圖2所示。算法在躍升段和俯沖段交接時有部分失真，收斂較快，較好地體現(xiàn)了導彈的運動特性。

5 結語

反艦導彈末段實行蛇行機動和躍升俯沖攻擊等突防方式，有效地擾亂了水面艦艇雷達的跟蹤處理性能，對艦艇生存能力構成嚴重威脅。為了從有限的觀測信息中較準確的獲取導彈運動狀態(tài)信息，利用參數(shù)辨識模型自動適應機動目標運動模態(tài)變化的特性，實現(xiàn)反艦導彈機動彈道的擬合。通過仿真計算可知，參數(shù)辨識模型對蛇行機動和躍升俯沖攻擊等運動模式具有較好的擬合精度，算法收斂較快，可為高精度跟蹤反艦導彈提供參考。

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