半立方拋物線形渠道正常水深的近似計(jì)算公式

滕 凱

半立方拋物線形渠道正常水深的近似計(jì)算公式

滕 凱

（齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾 161006）

針對(duì)目前半立方拋物線形斷面渠道正常水深計(jì)算存在的計(jì)算過程繁瑣復(fù)雜、求解成果精度不高等問題，經(jīng)對(duì)正常水深基本計(jì)算方程的變形整理，通過引入無量綱水深及特征參數(shù)，采用優(yōu)化擬合的方法，取標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，經(jīng)逐次逼近擬合計(jì)算，得到了表達(dá)形式簡(jiǎn)單、計(jì)算過程簡(jiǎn)捷、實(shí)用范圍廣、便于工程設(shè)計(jì)人員實(shí)際應(yīng)用的近似計(jì)算公式。誤差分析及算例計(jì)算表明：擬合公式的最大相對(duì)誤差僅為0.261%，完全滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。該近似計(jì)算公式為半立方拋物線形斷面渠道正常水深計(jì)算提供了更加有效的計(jì)算方法，具有應(yīng)用推廣價(jià)值。

拋物線形渠道；均勻流水深；優(yōu)化擬合；水力計(jì)算

由于拋物線形渠道斷面曲線連續(xù)，便于機(jī)械化施工作業(yè)，且有水流條件好、力學(xué)性能優(yōu)越等優(yōu)點(diǎn)，因此正越來越廣泛地被應(yīng)用于水利水電灌排及城市供排水工程，而半立方拋物線形渠道就是該種斷面的主要形式之一。由于半立方拋物線形渠道斷面的水力計(jì)算涉及高次方程的求解，采用常規(guī)的試算法及圖解法不但計(jì)算過程繁復(fù)而且成果精度不高，因此相關(guān)的水力計(jì)算問題也逐漸引起了有關(guān)學(xué)者的重視，并開展了相關(guān)的研究工作［1－2］。由于渠道正常水深是渠道工程設(shè)計(jì)以及渠道水量實(shí)行自動(dòng)控制的重要參數(shù)依據(jù)，因此開展半立方拋物線形渠道正常水深計(jì)算方面的研究具有一定的實(shí)際意義。就目前有關(guān)研究成果看，該項(xiàng)工作已經(jīng)獲得了較大進(jìn)展。文獻(xiàn)［3］提出了半立方拋物線正常水深的迭代計(jì)算法，但因無合理初值，反復(fù)計(jì)算工作量較大；文獻(xiàn)［4］通過優(yōu)化擬合法給出了半立方拋物線正常水深的直接計(jì)算式，但公式形式不夠簡(jiǎn)單，適用范圍較小，且擬合誤差較大（在原文給定范圍內(nèi)，均勻流水深最大計(jì)算誤差達(dá)0.91%）；文獻(xiàn)［5］通過引入斷面特征水深，經(jīng)對(duì)求解半立方拋物線形斷面渠道正常水深基本方程的變形整理，得到其求解正常水深的迭代公式，再根據(jù)優(yōu)化計(jì)算獲得了迭代初值函數(shù)，通過初值函數(shù)與迭代公式聯(lián)合運(yùn)用，給出了半立方拋物線形斷面渠道正常水深的計(jì)算公式，雖然公式適用范圍較廣，但因初值函數(shù)及迭代公式均較繁瑣，不便實(shí)際應(yīng)用。為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化半立方拋物線形斷面渠道正常水深的計(jì)算過程，本文采用優(yōu)化擬合的方法，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，獲得了一種表達(dá)形式簡(jiǎn)捷、實(shí)用范圍廣、計(jì)算精度高的近似公式。

1 均勻流水深基本計(jì)算公式

以曼寧公式表示的明渠正常水深計(jì)算基本方程為［6］

式中：Q為過水流量（m3／s）；n為渠床糙率；i為渠底坡降；A為過水?dāng)嗝婷娣e（m2）；X為過水濕周（m）。

半立方拋物線形斷面曲線方程為

式中：p為半立方拋物線形狀參數(shù)（m－1／2）；b為過水?dāng)嗝娴乃鎸挾龋╩）；h為過水?dāng)嗝娴恼Ｋ睿╩）。

半立方拋物線形過水?dāng)嗝婷娣e及濕周分別為：

將式（3）、式（4）代入式（1），經(jīng)整理可得

式中：x為無量綱水深；k為特征參數(shù)。

將式（6）、式（7）代入式（5），經(jīng)進(jìn)一步整理即可獲得計(jì)算半立方拋物線形斷面正常水深的計(jì)算公式為

2 近似計(jì)算公式的建立及精度分析

2.1 公式建立

式（8）為高次函數(shù)的超越方程，無法直接獲解。為避免利用式（8）求解超越方程問題，現(xiàn)假設(shè)

并且式（9）擬合函數(shù)的值域在工程實(shí)用范圍內(nèi)（即0.001 6≤x≤4.20，7.3×10－11≤k≤38.6）可以替代式（8），以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小［7］為目標(biāo)函數(shù)即

式中n為擬合計(jì)算的數(shù)組數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合［8］，即可獲得如下替代函數(shù)

2.2 精度分析及比較

為比較式（10）與式（8）的擬合精度，考慮在工程實(shí)用范圍內(nèi)并適當(dāng)外延（即0.001 6≤x≤4.2，7.3×10－11≤k≤38.6），取不同的xi值，即可由式（8）分別計(jì)算出與之相對(duì)應(yīng)的ki，再將ki代入式（10）求得與之相對(duì)應(yīng)的x′i，并由下式完成式（10）替代式（8）的擬合相對(duì)誤差計(jì)算：計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 式（10）替代式（8）相對(duì)誤差計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculated relative errors by rep lacing equation（8）w ith equation（10）

由表1可見，在工程實(shí)用范圍內(nèi)（即0.001 6≤x≤4.2），用式（10）替代式（8）的最大擬合相對(duì)誤差為0.261%，而當(dāng)文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］公式的應(yīng)用范圍取與本文相同時(shí)，其最大擬合相對(duì)誤差分別為23.159%和0.482%，分別是本文最大擬合相對(duì)誤差的88倍和1.85倍，本文式（10）具有更好的擬合替代精度。

通過對(duì)公式形式及通用性比較可見，本文公式較文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］公式更加簡(jiǎn)單，計(jì)算過程也更加簡(jiǎn)捷；本文公式的實(shí)用范圍為7.3×10－11≤k≤38.6，較文獻(xiàn)［4］公式具有更好的實(shí)用性。具體比較結(jié)果見表2所示。

表2 半立方拋物線正常水深公式形式、最大相對(duì)誤差比較Table 2 Comparison of equations and maximum relative errors for the normal depth of sem i-cubic parabolic channel

應(yīng)該說明的是，上述擬合誤差分析是針對(duì)無量綱水深x進(jìn)行的，因

而正常水深h的相對(duì)誤差計(jì)算應(yīng)為

將式（12）、式（13）代入式（14），經(jīng)整理可得

本文公式無量綱水深x的最大擬合誤差為0.261%，則由式（16）可求得正常水深h的最大計(jì)算誤差為0.391%。而當(dāng)文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］的應(yīng)用范圍取與本文相同時(shí)，水深h的最大計(jì)算誤差分別為32.642%和0.722%，本文公式正常水深h的最大計(jì)算誤差較文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］中公式計(jì)算的最大誤差分別減小了98.8%和45.8%。

3 算 例

采用文獻(xiàn)［4］算例：某半立方拋物線形渠道橫斷面的曲線方程為y＝0.4x3／2，渠道糙率n＝0.025，坡降i＝5.2×10－4，求當(dāng)過水流量Q＝20 m3／s時(shí)渠道的正常水深h。

由式（6），可求得

將k＝0.086 131代入式（10）即可求得

經(jīng)計(jì)算機(jī)編程計(jì)算得本例正常水深精確解為h＝3.341 m，本文公式計(jì)算相對(duì)誤差為0.15%。

4 結(jié) 論

半立方拋物線形渠道斷面正常水深計(jì)算涉及高次方程求解，為避免求解高次方程之繁，本文依據(jù)優(yōu)化擬合理論，獲得了可直接完成該斷面正常水深求解的近似計(jì)算公式，與目前已有研究成果所提出的計(jì)算公式比較具有以下特點(diǎn)：

（1）公式表達(dá)形式更加簡(jiǎn)潔直觀，更便于記憶，實(shí)際工作僅借助計(jì)算器即可實(shí)現(xiàn)快速完成解算，適于廣大基層工程技術(shù)人員實(shí)際應(yīng)用。

（2）通過精度比較及算例計(jì)算分析表明，在實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，本文公式具有較高的計(jì)算精度，正常水深h的最大計(jì)算誤差僅為0.391%。完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。

［1］ 魏文禮，楊國(guó)麗.立方拋物線渠道水力最優(yōu)斷面的計(jì)算［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2006，（3）：49－51.（WEIWen-li，YANG Guo-li.Hydraulic Calculation of Optimal Cross-Section of Cubic Parabola Channel［J］.Engineering Journal of Wuhan University，2006，（3）：49－51.（in Chinese））

［2］ 張志昌，劉亞菲，劉松艦.拋物線形渠道水力最優(yōu)斷面的計(jì)算［J］.西安理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，18（3）：235－237.（ZHANG Zhi-chang，LIU Ya-fei，LIU Song-jian.Parabola-Shaped Channel Hydraulic Calculation of Optimal Cross-Section［J］.Xi’an University of Technology，2002，18（3）：235－237.（in Chinese））

［3］ 明萬才，黃開路，張曉蓮.立方拋物線形斷面明渠水力計(jì)算探討［J］.水利科技與經(jīng)濟(jì)，2002，8（2）：74.（MING Wan-cai，HUANG Kai-lu，ZHANG Xiao-lian.Cubic Parabolic Cross-Section of Open Channel Hydraulic Calculation［J］.Water Science and Technology and the Economy，2002，8（2）：74.（in Chinese））

［4］ 文 輝，李鳳玲.立方拋物線形渠道水力計(jì)算的顯式計(jì)算式［J］.人民黃河，2010，（1）：75－76.（WEN Hui，LIFeng-ling.Explicit Calculation of the Hydraulic Calculation of Cubic Parabolic Channel［J］.Yellow River，2010，（1）：75－76.（in Chinese））

［5］ 趙延風(fēng)，王中正，方 興，等.半立方拋物線形渠道正常水深算法［J］.排灌機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，2（3）：241－245.（ZHAO Yan-feng，WANG Zhong-zheng，F(xiàn)ANG Xing，et al.Calculation Method for Normal Depth of Semi-Cubic Parabolic Channels［J］.Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering，2011，2（3）：241－245.（in Chinese））

［6］ 清華大學(xué).水力學(xué)（修訂本）上冊(cè)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1990.（Tsinghua University.Hydraulics（Revised）the First Volume［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1990.（in Chinese））

［7］ 王慧文.偏最小二乘回歸法及其應(yīng)用［M］.北京：北京國(guó)防工業(yè)出版社，1999.（WANG Hui-wen.Partial Least Squares Regression Method and Its Application［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1999.（in Chinese））

［8］ 閻鳳文.測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法［M］.北京：原子能出版社，1988.（YAN Feng-wen.Method of Measurement Data Processing［M］.Beijing：Atomic Energy Press，1988.（in Chinese） ）

（編輯：劉運(yùn)飛）

The Approximate Formula for NormalWater Depth of Sem i-Cubic Parabolic Channels

TENG Kai
（Qiqihar MunicipalWater Affairs Bureau，Qiqihar 161006，China）

The current calculation of the normalwater depth of semi-cubic parabola-shaped channel has such shortcomings as complex process and inadequate precision.Through transforming the basic equation of normal water depth and by introducing the dimensionless water depth and the characteristic parameter，we present an approximate formula which is obtained through successive approximation and fitting equation of normal water depth，with theminimum standard residual difference as the objective function.The formula is simple，convenient，applicable and practical.Error analysis and calculation example show that themaximum relative error is only 0.261%，which meets the requirements of engineering accuracy.This research provides amore effective approach of calculating the normal depth of semi-cubic parabolic channel.

parabolic channel；uniform flow depth；optimization and fitting；hydraulic calculation

TV131.4

A

1001－5485（2012）12－0030－04

10.3969／j.issn.1001－5485.2012.12.007 2012，29（12）：30－33

2011－10－17；

2012－01－15

滕 凱（1957－），男，黑龍江齊齊哈爾人，高級(jí)工程師，主要從事水利防災(zāi)減災(zāi)及工程優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，（電話）13704618836（電子信箱）tengkai007＠163.com。