涉及例外函數(shù)的亞純函數(shù)的正規(guī)定則

危合文

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

涉及例外函數(shù)的亞純函數(shù)的正規(guī)定則

危合文

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

應(yīng)用正規(guī)族理論及Zalcman引理，得到涉及例外函數(shù)的亞純函數(shù)的一個正規(guī)定則，改進(jìn)了已有的一些結(jié)果。

亞純函數(shù)；正規(guī)族；例外函數(shù)

1 預(yù)備知識

設(shè)f為復(fù)平面上的非常數(shù)亞純函數(shù)，文中利用值分布論中的標(biāo)準(zhǔn)記號，術(shù)語T（r，f）、N（r，f）、S（r，f）及相關(guān)不等式和性質(zhì)參見文獻(xiàn)[1-2］。

定義1[3］設(shè)D為復(fù)平面上的一個區(qū)域，F(xiàn)是定義在D上的一個亞純函數(shù)族，對于任意序列｛fn（z）｝?F，都存在一個子列｛fnj（z）｝，在D上依球面距離內(nèi)閉一致收斂于一個亞純函數(shù)或∞，則稱F在D上正規(guī)。

定義2[3］設(shè)F是定義在區(qū)域D上的一個亞純函數(shù)，如果存在z0的一個鄰域U（z0），使得F在U（z0）內(nèi)正規(guī)，則稱F在z0正規(guī)。

定理A［4］F是定義在區(qū)域D上的一個亞純函數(shù)族，n≥2，a≠0，b為有限復(fù)數(shù)。若對于任意f∈F，f≠b，且滿足在D內(nèi)f+a（f′）n≠b，則F在D內(nèi)正規(guī)。

定理B［5］F是定義在區(qū)域D上的一個亞純函數(shù)族，k為正整數(shù)，a≠0，b為復(fù)數(shù)，若對任意f∈F，f的零點(diǎn)重級至少為2，n≥2，且滿足在D內(nèi)f+a（f′）n≠b，則F在D內(nèi)正規(guī)。

本文將定理B中的條件“f+a（f′）n≠b”換成“f+a（f′）n≠b（z）”，改進(jìn)了定理B，得到涉及例外函數(shù)的一個正規(guī)定則。

引理1［6］設(shè)F為單位圓盤Δ上的一族亞純函數(shù)，對于每一個f∈F，f的零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少為k。存在一個數(shù)A≥1，使得f∈F且f=0時，如果F在單位圓盤Δ上不正規(guī)，則對0≤α≤k，存在

1）一個數(shù)r∈（0，1）；

3）函數(shù)序列fn∈F；

4）正數(shù)序列ρn→0+，

使得gn（ζ）=ρn-αfn（zn+ρnζ）關(guān)于球面距離內(nèi)閉一致收斂到復(fù)平面C上的一個非常數(shù)亞純函數(shù)g（ζ），且滿足g#（ζ）≤g#（0）=kA+1。

引理2［7］設(shè)f是一個超越亞純函數(shù)，f的零點(diǎn)重級≥k+1，a≠0，b是一個有窮復(fù)數(shù)，n≥k+1，f+a（f（k））n取值b無窮多次。

引理3［8］設(shè)f是復(fù)平面C上的一個亞純函數(shù)，滿足f（k+1）不恒等于0，k為正整數(shù)，則有

2 主要定理及證明

定理1F是定義在D上的一個亞純函數(shù)，若對任意的f∈F，f的零點(diǎn)重?cái)?shù)≥k+1，n≥k+2，其中k、n為正整數(shù)，且滿足f+a（f（k））n≠b（z），a≠0為常數(shù)，b（z）在D內(nèi)解析，則F在D內(nèi)正規(guī)。

證明我們只需證明F在D內(nèi)任一點(diǎn)正規(guī)即可。

假設(shè)對任意的z0∈D，F(xiàn)在z0不正規(guī)。下面分兩種情形進(jìn)行討論。

情形1：若b（z0）=0，取f∈F，由于

且f的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少為k+1，于是有f（z0）≠0，由引理1，取則存在fm∈F，zm→z0，ρm→0+，使得

在復(fù)平面C上按球面距離內(nèi)閉一致收斂到C上的一個非常數(shù)亞純函數(shù)g（ξ），且g（ξ）的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少為k+1，從而

在復(fù)平面C上按球面距離內(nèi)閉一致收斂于非常數(shù)亞純函數(shù)g+a（g（k））n。

由于

由Hurwitz定理知，或者g+a（g（k））n≠0或者g+ a（g（k））n≡0。

所以由Nevanlinna第一基本定理和引理3得

由于n≥k+2，于是

矛盾。

若g+a（g（k））n≠0，由引理2，G為非超越亞純函數(shù)，又g≠0，所以不妨設(shè)A≠0為常數(shù)，t≥1，N=n1+n2+…，nt，ni（i=1，2，…，t）為正整數(shù)，

由數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)k≥2時，

情形2：b（z0）≠0，由引理1，取α=k，存在fm∈F，zm∈Δ以及ρm→0+，使得gm（ζ）=ρm-kfm（zm+ ρmζ）在復(fù)平面C上按球面距離內(nèi)閉一致收斂到一個非常數(shù)的亞純函數(shù)g，且其零點(diǎn)重?cái)?shù)≥k+1，從而

在復(fù)平面C上去掉g的極點(diǎn)后的區(qū)域內(nèi)按球面距離內(nèi)閉一致收斂到亞純函數(shù)a（g（k））n（ζ）-b（z0）。從而由Hurvitz定理知，或者a（g（k））n≡b（z0），或者a（g（k））n≠b（z0）。

① 若a（g（k））n≡b（z0），則g的次數(shù)為k的多項(xiàng)式，與g的零點(diǎn)重?cái)?shù)≥k+1矛盾。

② 若a（g（k））n≠b（z0），則設(shè)c1，c2，…，cn是方程的互相判別的解，由Hunvitz第二基本定理，得

于是T（r，g（k））=s（r，g（k）），矛盾。

所以F在D內(nèi)正規(guī)。

[1］顧永興，龐學(xué)誠，方明亮.正規(guī)族理論及其應(yīng)用[M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

[2］楊樂.值分布論及新研究[M］.北京：科學(xué)出版社，1982.

[3］Hayman W K.Meromorphic functions[M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

[4］Ye Y S.A Picard type theorem and Bloch law[J］. Chinese Ann Math Ser B，1994，15（1）：75-80.

[5］Fang M L，Zalcman L.關(guān)于f+a（f′）n的值分布[J］.中國科學(xué)：A輯，2008，38（3）：279-285.

[6］Pang X C，Zalcman L.Normal families and shared values[J］.Bull London Math Soc，2000，32（3）：325-331.

[7］Wang Y F，F(xiàn)ang M L.Picard values and normal families of meromorphic functions with multiple zeros[J］. Acta Math Sinica（N.S），1998，14（1）：17-26.

[8］Yang L.Precise fundamental inequalities and sun of deficiencies[J］.Sci China Ser A Math，1991，34（2）：157-165.

WEI He-wen
（School of Mathematics and Computer Sciences，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

The paper applies the theory of normal family and Zalcman′s lemmas，obtains a normality criterion concerning exceptional functions，and improves some existing results.

meromorphic function；normal family；exceptional functions

O174.52

：A

：1673-0143（2012）03-0009-03

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2011-10-18

危合文 （1973—），男，講師，研究方向：單復(fù)變函數(shù)。