含兩個(gè)未知邊界的拋物型方程反問題穩(wěn)定數(shù)值算法

汪平

（金陵科技學(xué)院 公共基礎(chǔ)課部，江蘇 南京 211169）

含兩個(gè)未知邊界的拋物型方程反問題穩(wěn)定數(shù)值算法

汪平

（金陵科技學(xué)院 公共基礎(chǔ)課部，江蘇 南京 211169）

在物理學(xué)中模擬均勻的多孔介質(zhì)流時(shí)會遇到一類一維拋物型方程反問題，該問題由一個(gè)含兩未知邊界條件的拋物型方程以及在某指定內(nèi)點(diǎn)上測量得到的特定數(shù)據(jù)條件所構(gòu)成。為了能夠更好地求解該類反問題，本文首先證明解的唯一性，然后給出其離散后的有限差分格式以及該格式下的數(shù)值解的穩(wěn)定性條件，并通過切比雪夫多項(xiàng)式逼近未知函數(shù)，利用最小二乘法解出未知項(xiàng)的系數(shù)，最后給出數(shù)值試驗(yàn)。

拋物型方程反問題；切比雪夫多項(xiàng)式；最小二乘法；有限差分格式；穩(wěn)定性

0 引言

隨著物理學(xué)的不斷發(fā)展，在研究多孔介質(zhì)流現(xiàn)象時(shí)經(jīng)常會遇到下面一類含兩個(gè)未知邊界條件的一維拋物型方程反問題：

其中f（x）、a（x）是已知連續(xù)函數(shù)，p（t）、φ（t）和u（x，t）是需要求解的未知函數(shù)。不少學(xué)者已經(jīng)對形如方程（1）的一維拋物型方程反問題做了很多有益的研究[1-4］，Shidfar等[4］研究了含有一個(gè)未知邊界拋物型方程的穩(wěn)定數(shù)值解。本文將闡述在初邊值條件（2）～（4）和特定條件（5）、（6）下求解p（t）、φ（t）和u（x，t）。

1 理論推導(dǎo)

1.1 問題分解

為了求解（1）～（6），先將其分成3個(gè)獨(dú)立的問題，分別是中間區(qū)域的正問題、左側(cè)區(qū)域的反問題和右側(cè)區(qū)域的反問題。

1.1.1 中間區(qū)域的正問題

因?yàn)槌踹呏禇l件已經(jīng)知道，所以該問題是一個(gè)正問題。

1.1.2 左側(cè)區(qū)域的反問題

因?yàn)樽筮呏禇l件未知，所以該問題是一個(gè)反問題。

1.1.3 右側(cè)區(qū)域的反問題

因?yàn)橛疫呏禇l件未知，所以該問題是一個(gè)反問題。

本文中，假設(shè)a（x）∈C1[0，∞），且

1.2 證明反問題（1)～（6)解的唯一性

由文獻(xiàn)[4］可知，在中間區(qū)域的正問題、左側(cè)區(qū)域的反問題和右側(cè)區(qū)域的反問題的解具有唯一性。

2 數(shù)值過程

首先考慮正問題 （7）～（10）。可構(gòu)造如下古典顯差分格式：

若A0為ai（i=0，1，2，…，N）最大值，則矩陣A用代替，

同反問題 （11）～（14）類似分析可知，方程（29）穩(wěn)定性條件亦為A0為ai（i= 0，1，2，…，N）最大值。通過求解方程組（28）和（32），我們即可以求得在邊界x=0和x=1處的未知邊值

3 數(shù)值結(jié)果

現(xiàn)給出一個(gè)數(shù)值試驗(yàn)比較問題（1）～（5）的數(shù)值解和精確解，結(jié)果顯示文中精度是合理的。假設(shè)問題（1）～（5）中a（x）=2x，f（x）=x，精確解為u（x，t）=x+2t，p（t）=2t，φ（t）=1+2t。取k=0.001，h=0.1，分別在x1=0.2，0.3以及x2= 0.7，0.8處做數(shù)值試驗(yàn)，圖（1）～圖（4）分別對p（t）和φ（t）的精確解和數(shù)值解進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示x1的位置越接近未知左邊界x=0，p（t）數(shù)值解越合理；同樣x2的位置越接近未知右邊界x=1，φ（t）數(shù)值解也越合理。

圖1 溫度p（t)在x1=0.2時(shí)的圖像

圖2 溫度p（t)在x1=0.3時(shí)的圖像

圖3 溫度φ（t)在x2=0.7時(shí)的圖像

圖4 溫度φ（t)在x2=0.8時(shí)的圖像

4 結(jié)語

本文考慮了求解一維拋物型方程反問題有限差分格式，提出了一種該問題的穩(wěn)定數(shù)值算法，數(shù)值結(jié)果顯示本研究中提出的方法是有效的，該方法對解決二維拋物型方程反問題有所啟發(fā)。

[1］Shidfar A，Karamali G R.An inverse problem for a nonlinear diffusion equation nonlinear analysics[J］. Theo Meth Appl，1997，28（4）：589-593.

[2］Shidfar A，Karamali G R.Numerical solution of inverse heat conduction problem with nonstationary measurements[J］.Appl Math Comput，2005，168（1）：540-548.

[3］Shidfar A，Karamali G R，Damirchi J.An inverse heat conduction problem with anonlinear source term Nonlinear analysis[J］.Theo Meth Appl，2006，65：615-621.

[4］Shidfar A，Damirchi J，Reihani P.An stable numerical algorithm for identifying the solution of an inverse problem[J］.Appl Math Comput，2007，190：231-236.

[5］FrankelJI.Residual-minimizationleast-squares method for inverse heat conduction[J］.Comp Math Appl，1996，32（4）：117-130.

WANG Ping
（Department of Fundamental Courses，Jinling Institute of Technology，Nanjing 211169，Jiangsu，China）

A one-dimensional inverse parabolic problem can be encounter when we research simulation of homogeneous porous medium flow in physics.The problem consists of a parabolic equation with two conditions which are unknown at the boundaries and a condition which is determined from an over-specified data measured at an interior point.In order to solve this problem，uniqueness of the solution should be proved first，then the problem is discretized and a finite difference scheme is given.Stability conditions for numerical solution to inverse problem are stated. A set of Chebyshev polynomials are approximate to the unknown function and the unknown set of expansion coefficients in unknown function are determined from the Least-squares method.In the last section the paper gives some numerical examples.

inverse parabolic problem；chebyshev polynomials；least-squares method；difference scheme；stability

O172.26

：A

：1673-0143（2012）03-0005-04

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2012-03-28

汪 平 （1980—），男，講師，碩士，研究方向：微分方程數(shù)值解。