彈塑性三維各向異性分形表面的接觸分析

田紅亮 趙春華 朱大林 秦紅玲

（三峽大學(xué) 機(jī)械與材料學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

1 文獻(xiàn)［1]的1個(gè)缺陷

傳統(tǒng)的結(jié)合部方法采用彈簧－阻尼器［2－6]（springdamper）模型，該模型能模擬結(jié)合部?jī)蓚?cè)零件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但該模型的一個(gè)缺點(diǎn)是理論預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差較大.

為克服彈簧－阻尼器模型的缺陷，進(jìn)一步提高理論預(yù)測(cè)精度，田紅亮和李斌等［1]采用如圖1所示的固體1維表面形貌首次提出機(jī)械結(jié)構(gòu)固定結(jié)合部虛擬材料的動(dòng)力學(xué)建模方法，將2種配對(duì)材料的微觀接觸凹凸部分看成一種虛擬的各向同性材料（認(rèn)為無(wú)論沿任何方向，固體的力學(xué)性能都是相同的），首先，通過(guò)一些理論的方法得到該虛擬材料的彈性模量、Poisson比、厚度和密度；然后，將這些參數(shù)嵌入到有限元軟件中，可將整個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性通過(guò)分形維數(shù)D（1＜D＜2）、分形粗糙度G、近似理論模態(tài)等參數(shù)表現(xiàn)出來(lái)；最后，為驗(yàn)證虛擬材料參數(shù)是否具有工程實(shí)際可操作性及是否有效，可將近似理論模態(tài)與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)進(jìn)行比較，例如將兩者的相似振型進(jìn)行定性比較，將兩者相應(yīng)的固有頻率、阻尼比進(jìn)行定量比較，給出相對(duì)誤差.因此該方法存在以下1個(gè)缺陷：虛擬的各向同性材料假設(shè)不能完全反映實(shí)際工程材料的特征，事實(shí)上，實(shí)際工程材料大多為各向異性（沿不同方向力學(xué)性能不同的材料）.

圖1 固體表面形貌

本文分析三維各向異性分形表面特征，將分形維數(shù)推廣到三維的一般情況（2＜D＜3），區(qū)分彈、塑性接觸時(shí)單峰的實(shí)際接觸面積（都用a表示）.

2 三維各向異性分形表面特征

更起作用通用的單變量標(biāo)量WM函數(shù)模擬加權(quán)、隨機(jī)重疊的隆起部狀表面.單變量標(biāo)量 WM函數(shù)［7]為

一個(gè)三維分形表面在各平面方向顯示隨機(jī)性，其高度函數(shù)可用式（1）的實(shí)部表示

式中，ρ和θ為平面極坐標(biāo)；γ＞1為決定輪廓空間頻率密度的參數(shù)；M為構(gòu)造表面重疊隆起部的個(gè)數(shù)；Am為控制表面幾何各向異性的量值為與采樣長(zhǎng)度L有關(guān)的波數(shù)；n為頻率指數(shù)；2＜D＜3為表面的分形維數(shù)；αm為在方位角的方向偏置隆起部的任意角度；Φm，n為均勻分布的隨機(jī)相位，且

將式（3）～式（7）代入式（2），得

式中，G為分形粗糙度；nmax為與6晶格距離截止長(zhǎng)度Ls有關(guān)的頻率指數(shù)上限，且

式（8）的表面經(jīng)驗(yàn)功率譜對(duì)應(yīng)的等高線示意圖如圖2所示，其中kx、ky分別為沿x、y軸方向的空間頻率，單位是m－1.可以看出，功率譜的等高線明顯表明具有8重對(duì)稱性，盡管下文的圖3（a）、圖3（b）都無(wú)特定的方位角結(jié)構(gòu).

圖2 表面經(jīng)驗(yàn)功率譜的等高線

當(dāng)γ＝1.5、M＝10、Φm，n＝0、G＝1.36×10－5μm時(shí)，式（8）模擬各向異性表面如圖3所示.

圖3 WM函數(shù)模擬隆起部狀表面

可以看出，分形維數(shù)D越大，表面形貌越光滑.圖3（b）中表面高、低頻率組分的幅值比大于圖3（a）中表面的情況.

當(dāng)M＝1，則m＝1時(shí)，式（8）退化為

橫截微接觸點(diǎn)的半徑為r′，單峰波形式的最長(zhǎng)波長(zhǎng)為2r′［8].類比式（9），可得基波長(zhǎng)單峰對(duì)應(yīng)的頻率指數(shù)為

頻率指數(shù)式（11）在式（10）中對(duì)應(yīng)的一個(gè)余弦項(xiàng)為

當(dāng)Φ1，n0＝0、x＝r′時(shí)，由式（12）可得單峰干涉量［9]為

等效球體單峰與剛性平面的彈性接觸如圖4所示.

圖4 等效球體單峰與剛性平面的彈性接觸

對(duì)圖4使用勾股定理，得

式中，R為單峰的曲率半徑.

當(dāng)δ?2R［10]時(shí)，可得下列近似式

將式（13）代入式（15），得

進(jìn)一步可改寫(xiě)為

式中，a′＝πr′2為微接觸點(diǎn)的橫截面積.

Hertz接觸理論預(yù)測(cè)微接觸點(diǎn)的平均壓應(yīng)力［11]為

施加在一個(gè)微接觸點(diǎn)上的彈性力為

式中，a＝πr2為微接觸點(diǎn)的實(shí)際接觸面積；r為微接觸點(diǎn)實(shí)際接觸面積的半徑.

將以下關(guān)系式

代入式（19），得

將式（17）代入式（21），得

完全塑性流時(shí)的準(zhǔn)則［12]為

式中，b為待定無(wú)量綱常數(shù).

將式（17）代入式（23），得

式（24）除以式（25），得

式中，a′c為臨界微接觸點(diǎn)面積，且

從式（26）可以看出，當(dāng)a′＞a′c即δ＜δR時(shí)，微凸體彈性變形；當(dāng)a′≤a′c即δ≥δR時(shí)，微凸體完全塑性變形，此時(shí)施加在一個(gè)完全塑性微接觸點(diǎn)上的力為

Pullen和 Williamson［13]用一剛性平面壓縮一粗糙金屬表面，該實(shí)驗(yàn)證明：微接觸點(diǎn)上的塑性流使非接觸區(qū)域表面高度均勻增加.因?yàn)閷?duì)于小和中等接觸壓應(yīng)力，總的實(shí)際接觸面積比表觀接觸面積小得多，a略微大于a′.CEB模型［14]預(yù)測(cè)一個(gè)塑性變形微接觸點(diǎn)的接觸面積為a＝πRδ（2－δR／δ），當(dāng)δ?δR并利用式（15）時(shí)，a≤2πRδ＝πr′2＝a′，于是式（28）可近似為

由式（22）可得臨界微接觸點(diǎn)面積a′c對(duì)應(yīng)的彈性力為

由式（29）可得臨界微接觸點(diǎn)面積a′c對(duì)應(yīng)的塑性力為

兩表面接近時(shí)，假設(shè)施加在一個(gè)微接觸點(diǎn)上的法向力連續(xù)變化，即令 ΔFe（a′c）＝ΔFp（a′c），得

將式（27）代入式（32），得

將式（33）代入式（27），得

由式（19）得

由式（29）得

圖5 無(wú)量綱應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

Mandelbrot提出［15]，大于特定面積s′的面積的島嶼個(gè)數(shù)N服從冪定律關(guān)系

式中，Ds為海岸線的分形維數(shù)，且

海洋水平線上的島嶼與粗糙表面上的橫截微凸體具有緊密的分形相似，類比式（37）可得粗糙表面上的橫截微凸體個(gè)數(shù)為

由式（39）可得粗糙表面上的橫截微凸體尺度分布函數(shù)為

將式（38）代入式（40），得

3 彈塑性接觸分析

當(dāng)a′L＞a′c時(shí)，彈性、完全塑性微接觸點(diǎn)都存在，總的彈性變形力、總的塑性變形力、總的變形力、總的實(shí)際彈性接觸面積、總的實(shí)際塑性接觸面積、總的實(shí)際接觸面積分別為

將式（22）、式（41）代入式（42），得

進(jìn)一步定積分，得

將式（29）、式（41）代入式（43），得

將式（49）～式（51）代入式（44），得

4 塑性接觸分析

等效粗糙表面的總橫截面積為

當(dāng)a′L≤a′c時(shí)，所有微凸體都處于完全塑性變形，總的彈性變形力、總的塑性變形力、總的變形力、總的實(shí)際彈性接觸面積、總的實(shí)際塑性接觸面積、總的實(shí)際接觸面積分別為

5 結(jié) 論

分析三維各向異性分形表面特征，將分形維數(shù)推廣到三維的一般情況（2＜D＜3），給出彈、塑性接觸時(shí)單峰的實(shí)際接觸面積（都用a表示）與單峰的橫截面積a′之間的關(guān)系.

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