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    一類含毒素功能性反應(yīng)的捕食系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

    2012-08-01 12:50:24朱慧穎沈莉莉趙維銳
    關(guān)鍵詞:食草動(dòng)物食餌捕食者

    朱慧穎,沈莉莉,趙維銳

    (武漢理工大學(xué)理學(xué)院,湖北 武漢 430070)

    自20世紀(jì)80年代以來(lái),不少學(xué)者開(kāi)始對(duì)毒素在植物-食草動(dòng)物系統(tǒng)的作用以及毒素對(duì)個(gè)體生長(zhǎng)模型的影響進(jìn)行研究。但遺憾的是這些模型中都沒(méi)有涉及到對(duì)時(shí)滯的討論。為了能夠更好地研究動(dòng)植物系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,筆者在充分考慮消耗的植物量轉(zhuǎn)換成新的動(dòng)物量的時(shí)間滯后性的前提下,構(gòu)造了新的植物-食草動(dòng)物模型,并分析了該系統(tǒng)的一系列動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

    1 模型建立

    為了刻畫(huà)植物毒素對(duì)食草動(dòng)物的影響,馮芷蘭等在傳統(tǒng)的Holling-II型[1-3]功能性反應(yīng)中加入了毒素對(duì)食草動(dòng)物成長(zhǎng)影響的功能性反應(yīng):

    則原來(lái)的植物-食草動(dòng)物系統(tǒng)變?yōu)?

    其中:r為植物的內(nèi)稟增長(zhǎng)率;K為環(huán)境容納率;B為被消耗的植物量轉(zhuǎn)換成新的動(dòng)物量的轉(zhuǎn)換率(食草動(dòng)物通過(guò)對(duì)植物的覓食獲得增長(zhǎng)和繁殖);d為食草動(dòng)物的死亡率,該死亡率與植物毒素?zé)o關(guān);G=M/(4T);M為單位時(shí)間內(nèi)食草動(dòng)物能忍受的最大毒素量;T為單位植物所含的毒素量。因此,G的值越小,食草動(dòng)物受到毒素的影響就越大。

    同時(shí)式(1)和式(2)的建立基于這樣一個(gè)假設(shè):食草動(dòng)物在吞食植物后,立刻獲得增長(zhǎng)和繁殖。這顯然是不符合實(shí)際的,在現(xiàn)實(shí)中食草動(dòng)物通過(guò)覓食實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)和繁殖是需要一定時(shí)間的。為了分析這一段時(shí)間對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性[4]的影響,引進(jìn)滯量τ,對(duì)原系統(tǒng)做如下改變:

    式(3)假設(shè)食草動(dòng)物能控制自己的消化率,當(dāng)植物密度足夠大時(shí),食草動(dòng)物就會(huì)減少對(duì)植物的消化量。故設(shè)定一個(gè)閾值Nm:當(dāng)植物量N不高于閾值Nm時(shí),食草動(dòng)物的消化率為常數(shù);當(dāng)植物量N超過(guò)閾值Nm時(shí),食草動(dòng)物的消化率就是植物量N的遞減函數(shù)。

    對(duì)于這種情況,可以假設(shè):

    式中,σ0>0為一個(gè)常量。σ是N的函數(shù),為食草動(dòng)物的消化率。在對(duì)σ(N)做了如上假設(shè)之后,C(N)也發(fā)生了變化,故不妨假設(shè):

    為了便于討論,引進(jìn)記號(hào)g1(N),令:

    則可將式(3)改寫(xiě)成:

    2 系統(tǒng)的一致持久性

    為證明主要定理,先引進(jìn)如下引理:

    引理1系統(tǒng)滿足初值條件:N(t)=φ1(t)>0,P(t)=φ2(t) >0,t∈[-τ,0]的所有解在 t>0上均為正。

    證明首先證明N(t)在t>0上大于零。由式(7) 可得:。e為食草動(dòng)物的覓食率,其大小取決于捕食者即食草動(dòng)物的移動(dòng)速度以及其能偵測(cè)到的食餌的分布區(qū)域的半徑大小。由于φ1(0)>0,顯然當(dāng)t>0時(shí),N(t)恒為正。

    下面證明P(t)在t>0上大于零。假設(shè)存在t∈(0,+∞),使得 P(t) <0。由于在[- τ,0]上P(t)=φ2(t)>0,因此0,顯然P'(t1)≤0。由式(7)知:

    則N(t1-τ) >0,P(t1-τ) >0,從而 P'(t1) >0與P'(t1)≤0矛盾。因此當(dāng)t∈(0,+∞),P(t) >0。

    引理2式(7)在總是點(diǎn)耗散的。

    證明由式(7)的第1式知:,由于方程滿足初始值為u(0)=u0的解為則由比較定理知:于是

    下面證明存在M2>0,使得P(t)≤M2。

    令 W(t)=BN(t)+P(t+τ),由式(7)可得:

    進(jìn)一步引進(jìn)如下引理:

    考慮一個(gè)度量為d的度量空間X,T為X上的一個(gè)連續(xù)半流,即:T0(x)=x,x∈X;Tt+s=TtTs,t,s≥0。Tt(x)關(guān)于 t和 x連續(xù),集合X中的點(diǎn) x到集合X的子集Y的距離記作記過(guò)x的正半軌線極限集為B是緊的不變集,定義WS(B)為B的穩(wěn)定集:;將定義為

    假設(shè)1假設(shè)X為開(kāi)集X0的閉包,?X0為X0的非空邊界。T(t)為定義在X上的半群滿足:T(t):X0→X0,T(t):?X0→?X0。

    引理3若T(t)符合假設(shè)1且滿足:

    (1)存在t0≥0,使得T(t)在t>t0時(shí)是緊的;

    (2)T(t)在X上是點(diǎn)耗散的;

    則T(t)是一致持久的,當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)Mi∈M 時(shí),WS(Mi)∩X0=φ。

    該引理的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[5-6]。

    關(guān)于式(7)的持久性,有如下結(jié)果:

    定理1式(7)是一致持久的,如果a0>d,其中h 為捕食者對(duì)每一份食餌的掌控時(shí)間,即食草動(dòng)物消化每一份食物所需要的時(shí)間。

    證明由引理2可知,存在K1>0,K2>0,使得式(7)的所有解[N(t),P(t)]均滿足:0≤N(t)≤K1,0≤P(t)≤K2,從而系統(tǒng)相空間 X 是一個(gè)定義在[- τ,0]上,取值在[0,K1]×[0,K2]的正錐,記為 C[[- τ,0],K1]× C[[- τ,0],K2]。再由引理1知:正錐X是一個(gè)不變集。對(duì)于任意一對(duì)初始函數(shù)(φ,φ)∈X,令 X(t,φ,φ)為式(7)的解,并記 T(t)(φ,φ)(θ)=[N(t+ θ,φ,φ),P(t+θ,φ,φ)],- τ≤ θ≤0,T(t):X →X,則滿足:首先 T(t)是連續(xù)的,其次對(duì)于N(t)≤M1,P(t)≤M2,都有故 T(t)在t≥τ上是全連續(xù)的,從而T(t)在t≥τ上是緊的。因此引理3的條件(1)滿足,又由引理2可知條件(2)也是滿足的。

    定義 C+([- τ,0],R2+)為所有[- τ,0]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)的集合,并記:

    記 C=C1∪C2,X=C+([- τ,0],R2+),X0=intC+([- τ,0],R2+),則 C= ?X0,故式(7)有兩個(gè)常數(shù)解E0,EK:

    以下證明 WS(Ei)∩X0=φ,i=0,K。

    先證WS(E0)∩X0=φ。假設(shè)WS(E0)∩X0≠φ,即存在 N(t) >0,P(t) >0,使得limt→∞[N(t),P(t)]=(0,0)。由式(7)的第一個(gè)方程可以得到:

    接著證明 WS(EK)∩X0=φ。同樣假設(shè)WS(EK)∩X0≠φ,即存在 N(t) >0,P(t) >0,使得,則對(duì)任意小的正數(shù) ε:

    使得N(t)>K-ε,P(t)<ε。其中a0=B·故由式(7)可得:存在T=T(ε),使得:

    考慮系統(tǒng):

    綜上所述,式(7)滿足引理3的所有條件,則式(7)是一致持久的。

    3 正平衡點(diǎn)的全局吸引性

    假設(shè)τ=0,即考慮不含時(shí)滯的系統(tǒng),則:

    定義1如果式(9)的任意一個(gè)正解[N(t),P(t)]滿足:則稱式(9)的正平衡點(diǎn)(N*,P*)是全局吸引的

    。

    定理2如果 r/K>I1,a0>d>I2,則式(9)的正平衡點(diǎn)(N*,P*)是全局吸引[8]的。

    證明設(shè)[N1(t),P1(t)]是式(9)的任意一個(gè)正解,則由引理2可知,存在 t*,M≥m>0,使得當(dāng)t>t*時(shí),有 m≤Ni(t)≤M,m≤Pi(t)≤M,i=1,2。 定 義 Lyapunov 函 數(shù) V(t) =沿著式(7)的解計(jì)算V(t)的Dini導(dǎo)數(shù):

    其中,α=min{I1,I2},對(duì)上述不等式兩端從

    t*到t進(jìn)行積分,可得:

    因此,當(dāng)t>t*時(shí)有:

    故式(9)的正平衡點(diǎn)是全局吸引的。

    4 結(jié)論

    通過(guò)在模型中引入消耗的植物量轉(zhuǎn)換成新的動(dòng)物量的時(shí)滯,對(duì)系統(tǒng)的一致持久性、平衡點(diǎn)的全局吸引性進(jìn)行了討論,由定理1知,當(dāng)a0>d時(shí),這里,式(7)是一致持久的。這表明食餌量達(dá)到頂峰狀態(tài)時(shí),捕食者的出生率大于其死亡率是捕食者和食餌一致持續(xù)共存的充分條件。

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