提琴琴頭側(cè)面螺旋線的繪制

陳 婷

（中央音樂學院 提琴制作教研室， 北京 100031）

1 緒論

提琴琴頭可分為三個面：正面、背面和側(cè)面，其中側(cè)面曲線是人們研究最多、也最能反映制作者個性的曲線。提琴制作已經(jīng)有幾百年的歷史，其間曾經(jīng)有許多人嘗試著改變提琴琴頭曲線的設(shè)計，有人頭形狀、獸頭形狀等，但都未廣泛傳播，至今應用最多的仍是螺旋型曲線。螺旋型曲線本身給人以一種動態(tài)的美感，不同的提琴制作者采用的曲線都有各自的特點。幾位著名的提琴制作大師的琴頭曲線一直都是后世的提琴制作者們研究的重點。

琴頭側(cè)面曲線又分為琴頭螺旋展開線和琴頭身曲線，下面要討論的是琴頭側(cè)面曲線的上半部分螺旋展開線的畫法，即從琴頭眼珠到琴頭側(cè)面后背最寬處。本文淺要地分析和比較尼古拉·阿瑪?shù)伲∟iccolò Amati 或Nicolo Amati）、安東尼奧·斯特拉地瓦里（Antonio Stradivari）和約瑟夫·瓜納里（“耶穌”·瓜納里）（Giuseppe Guarneri del Gesù） 琴頭側(cè)面螺旋線的設(shè)計思路，進行提琴琴頭設(shè)計探索性的嘗試。

2 琴頭側(cè)面螺旋線的畫法

2.1 黃金分割的應用

在古希臘時期，黃金分割及其幾何比例（黃金分割率）已經(jīng)大量運用于各領(lǐng)域，樂器制作也不例外。黃金分割之所以能夠在建筑、美術(shù)、雕刻、音樂等方面廣泛應用，是因為它可以用簡單的尺規(guī)工具找出，并且符合人們的審美標準。

黃金分割的幾何意義可以簡單地表達為：整條線段的長與所分成的兩條線段之中較長一段線段的比值，同較長線段與較短線段長度的比值相等。這個比值叫做黃金分割比，也叫黃金分割率，用Φ表示， Φ≈1.618。

黃金分割在提琴琴頭中的應用相對較少，也相對比較獨立，在《提琴與黃金分割率》一書中曾經(jīng)運用黃金分割率對斯特拉地瓦里的琴頭作了一些分析，在等角螺線的繪制中也有應用。在本文中筆者也將部分運用黃金分割率畫出琴頭側(cè)面螺旋展開線。

2.2 等角螺線畫法

2.2.1 等角螺線的定義

等角螺線是螺旋形的，也稱為對數(shù)螺線（柏努利曲線），其數(shù)學公式是：r=kecα。等角螺線的代數(shù)表達式早在1640 年就發(fā)現(xiàn)了。笛卡爾（Descartes ）和柏努利（Bemoulli）在1691～1693 年開始研究等角螺線，他們是首先研究等角螺線的數(shù)學家。等角螺線被廣泛用于建筑裝飾。

等角螺線的顯著性質(zhì)包括（見圖1 ）：

（1）等角螺線按幾何比率增長，因此，任意的半徑被螺線所截的線段構(gòu)成等比級數(shù)，也就是說，半徑被相鄰螺線所截線段呈等比，如OA/OG。

（2）直徑的兩個端點到極點的距離呈等比，如：OA/OC。相互垂直的半徑呈等比，如：OA/OB。

（3）等角螺線的特征角a，也就是半徑與螺線切線的夾角是常數(shù)（另外，當?shù)冉锹菥€旋轉(zhuǎn)時，它的大小變了，但它的形狀卻保持不變）。

所有曾經(jīng)深入研究過等角螺線的學者們都發(fā)現(xiàn)，在自然界中有三種“主要螺線”。這三種主要等角螺線的半徑增量分別等于Φ、Φ2或Φ4。這三種螺線也是提琴制圈中最經(jīng)常使用到的，在此我們將進行具體的講解。

2.2.2 三種重要的等角螺線及其畫法

⑴ 半徑增量=φ 的等角螺線 （見圖1）

最簡單的等角螺線是由一個等比數(shù)列所定義的：如果以點O為極點，等角螺線分任意半徑OA 所得線段OL、OG、OA……的長組成等比數(shù)列：

OG/OL=OA/OG= …… =Φ

且AC為直徑， BE⊥AC，則：

特征角≈85°36′。

這一等角螺線非?！昂椭C”并符合美學原理。

Grosjean J.P.給出了這個等角螺線一個尺規(guī)作圖法（圖1 ）：

首先作矩形ABCD，使得其兩邊之比：

如果AB=5 cm，那么，最終畫出的等角螺線就是小提琴琴頭的外輪廓尺寸。

連接對角線AC，過點B作AC的垂線并延長，垂點為點0，交CD于點F，交AD延長線于點E。

依次作直線FG、G H、H J、JK……，分別平行于直線AE、AB、BC、CF……，且與直線AC、BE依次交于點G、H、J、K……。另外，從線段CF能計算線段FG的長度，因為CF/FG =l.l2783 。由此我們獲得一個等角螺線的規(guī)則區(qū)間。

然后進行如下步驟：

過線段AE的中點I 作線段AE的中垂線IR。

以點I為圓心，IA為半徑畫弧交IR于點R。

以點R為圓心，RA為半徑畫弧AE，則弧AE即為等角螺線的一部分。

對于線段AB、BC、CF、FG等重復上述步驟，即可獲得一條近似的等角螺線。

⑵ 半徑增量=φ2的等角螺線（見圖2）

在這一等角螺線上，半徑增量為Φ2，也就是說任意半徑被螺線分割的兩個相鄰截點到螺線極點的距離之比等于Φ2，即：

OA/OE=Φ2，則有

應用這些數(shù)據(jù)，按照前述的方法，同樣可以構(gòu)造一個矩形來給制這一等角螺線，其特征角≈81°22′。

⑶ 半徑增量=φ4的等角螺線

這一等角螺線的半徑增量為Φ4（≈6.854）?？上壤L制矩形Φ，這一等角螺線相互垂直的半徑之比Φ。它的特征角≈73°43′。

矩形Φ：設(shè)矩形的長度為L，寬度為1，則L/I=Φ。在矩形Φ內(nèi)，通過將矩形的長或?qū)挵袋S金分割比進行反復分剖，可以得到一系列長寬比等于Φ的矩形。而我們獲得的這些矩形的邊長也組成了一個公比為Φ 的等比數(shù)列。通過這些矩形，分別以每個矩形的寬為半徑畫1/4 圓弧，就可以連成一條半徑增量為Φ4的等角曲線。

矩形Φ反復分割所得的圖形具有典型的數(shù)學特征，這是磐折形（gnomonic）的一種。磐折形，按照亞里斯多德（Aristotle） 的定義，是“某個平行四邊形在其一角切除一個較小的相似四邊形后的剩余部分”。

在矩形ABEF中， EB/BA=Φ（圖3 ），這個矩形的磐折形ABCD 是個正方形。依次進行分割所得到的磐折形也都是正方形，這樣，我們得到了一組看起來象是繞著等角螺線極點旋轉(zhuǎn)的正方形。

由此，我們通過一些簡單的輔助，找到了一個繪制等角螺線近似曲線的簡易方法。自然界中隨處可觀察到等角螺線，如加萊克斯草、螺類的外殼、一些植物及DNA 鏈。它在建筑業(yè)上也有廣泛的應用，因為它給人一種動態(tài)的和諧美感。

從對現(xiàn)實的觀察開始，一些現(xiàn)代科學家進一步發(fā)現(xiàn)斐波納契（Fibonacci） 數(shù)列的各項趨向于黃金分割，并且這也是組成生命的基礎(chǔ)：“自然界中存在這些數(shù)字，這些數(shù)字也是組成DNA 的四種堿基T 、C、A 和G的比例，所有的生物，無論是人、蔬菜還是動物，其遺傳信息都是依靠這四種堿基的不同組合來表達：所有宏觀的表現(xiàn)型都在DNA上有其相應的基因型”。用現(xiàn)代的語言來說，根據(jù)古人的世界觀，所有的事都是定數(shù)，而這個數(shù)就是黃金分割數(shù)。

等角螺線的屬性非常特別，以至于數(shù)學家柏努利要求將之刻在自己的墓碑上，并附詞“縱使改變，依然故我”（Eadem Mutata Resurgo）。

將等角螺線作某些變換時，所得的曲線仍是全等的等角螺線。這些變換包括：求等角螺線的垂足曲線（pedal curve）、漸屈線（evolute）、反演曲線（inversive curve）、焦線（caustic curve） 以及將等角螺線以其極點為中心作伸縮變換（dilation）。由于這些變換都可以使等角螺線再生，所以，斯特拉地瓦里使用等角螺線而不使用阿基米德（A rchimedes）螺線來畫小提琴的旋首曲線，因為阿基米德螺線是“純粹的靜態(tài)曲線，表現(xiàn)出一種一成不變的律動，這點與等角螺線和其他指數(shù)曲線相反”。正是因為其缺乏“動態(tài)感”，所以斯特拉地瓦里更喜歡用等角螺線繪制小提琴曲線。

因此，從那時起，等角螺線常規(guī)用于提琴家族的制圖也就不足為怪了。

2.3 尺規(guī)作圖法

在300多年前，由于科學的發(fā)展還處于初級階段，繪圖工具僅限于直尺、圓規(guī)等簡陋工具，那么提琴制作大師們?nèi)绾卫L制精美的樂器圖的呢?下面介紹幾種簡單的尺規(guī)作圖法。

2.3.1 二心法（半圓法）

作一水平直線，在其上取兩點A和B ，相距約6 mm ，先以A為圓心AB為半徑r作半圓，然后再以B為圓心，以2r為半徑接前半圓再畫半圓，就這樣A、B交替為圓心，以r、2r、3r……作半徑，畫出的螺線路2～3 圈即為琴頭曲線（圖4）。

2.3.2 三心法（1/3 圓法）

作一邊長約6 mm 的等邊三角形，依次以三個頂點為圓心，第一次以邊長為半徑r作1/3圓周，然后換個頂點為圓心，半徑增加一個邊長再作1/3圓周，依此類推，畫出2～3圈螺旋線，即得琴頭曲線（圖5）。

2.3.3 四心法（1/4 圓法）

作邊長約6mm 的正方形，依次以四個頂點為圓心，第一次以邊長為半徑r作1/4 圓周，以下的畫法與三心法類似（圖6）。

在阿瑪?shù)?、斯特拉地瓦里、瓜納里的琴頭中，我們發(fā)現(xiàn)其螺旋展開線并不能完全用等角螺線或簡單的尺規(guī)作圖法來繪制，他們之間雖有相似性，卻又各自有各自的特點。因此，在他們的作品中各自選出一個具有代表性的琴頭作分析。

3 阿瑪?shù)?、斯特拉地瓦里、瓜納里琴頭側(cè)面螺旋線的設(shè)計

3.1 阿瑪?shù)偾兕^側(cè)面螺旋線的設(shè)計

尼古拉·阿瑪?shù)俪缟型昝琅c和諧，他的作品做工精湛，處處體現(xiàn)了和諧美，圓與流暢是他要表現(xiàn)的主題。

他的1675 年琴頭螺旋展開線的特點是：線條圓潤、均勻，很接近等角螺線。如果在眼珠中心位置畫一水平線，以眼珠中心為軸，將此直線向琴頭前下方旋轉(zhuǎn)30°角，則眼珠結(jié)束位置在這條線上（圖7）。

3.2 安東尼奧·斯特拉地瓦里琴頭側(cè)面螺旋線的設(shè)計

作為尼古拉· 阿瑪?shù)俚膶W生，在安東尼奧·斯特拉地瓦里早期作品中，與阿瑪?shù)俚淖髌酚泻芏嘞嗨浦?，在脫離了阿瑪?shù)僦?，隨著對琴型設(shè)計的改進，他逐漸形成了自己的風格，并于1700年左右進入了事業(yè)的黃金時期。他的1699 年琴頭螺旋展開線的特點是：與尼古拉·阿瑪?shù)傧啾?，他的琴頭眼珠結(jié)束位置也是在旋轉(zhuǎn)30°角的直線上，并以此直線為長軸，有橢圓形拉長趨勢。這樣使他的琴頭曲線產(chǎn)生了變化，不再是均勻穩(wěn)定的，而產(chǎn)生了一定的節(jié)奏，張弛有度地動感使琴頭有一定的沖突，更具魅力（圖8） 。

3.3 “耶穌”·瓜納里琴頭側(cè)面螺旋線的設(shè)計

“耶穌”·瓜納里的爺爺也是尼古拉·阿瑪?shù)俚膶W生，他是一個非常有個性的人，工作起來很自由無拘束，他并不努力以細致精確的傳統(tǒng)風格來雕刻木材，人們仔細觀察他制作的琴頭時，特征就很清楚，上面的鑿痕清晰可見。

他的琴通常分為四個不同的類型，每個階段都有各自的特征。有跡象表明，“耶穌”的制作方法是在不斷變化和發(fā)展。

第一階段，從1726年至1730年，明顯表示他是一位訓練有素的藝人，這大概是人們對他從父親那里所受教育的贊揚，他的琴在風格上與其父親有相似之處。

第二階段，從1730 年至1735 年，以成熟并更具獨到見解的制作方法為特征：琴身各段伸長，f孔比較細長，琴邊、琴角和琴頭的最后潤飾相當完美。從各個角度看，琴頭旋首兩邊相互十分對稱，有個事實值得考慮，分開觀察，兩面的外形顯得那么不同。

第三階段，從1735年至1740年，風格表現(xiàn)得越來越自由，甚至制作方法也失去了控制。他的琴頭有時只是對前輩的端莊構(gòu)思的夸張性仿造，但更顯個性。

最后一個階段，從1740 年至1744 年，“耶穌”的作品過于違反公認的制作規(guī)范，從某種程度講， 一些評論家厭惡這種草率行事的現(xiàn)象。

在“耶穌”·瓜納里的作品中，經(jīng)常有即時性和獨創(chuàng)性的成分，而且決不迂腐。

他的1733 年琴頭螺旋展開線的特點是：線條走向不均勻，有沖突。在旋轉(zhuǎn)30°角的直線軸方向有橢圓形拉長趨勢，這點與斯特拉地瓦里的琴頭相似。在最后一圈眼珠處向下壓，使里圈長軸方向顯得更拉長，眼珠結(jié)束處向上提升，甚至超過45°角。在琴頭前下方處略寬。琴頭頂部略靠前處稍高，轉(zhuǎn)到后背處略收緊。

（本文節(jié)選自陳婷碩士畢業(yè)論文《提琴琴頭側(cè)面螺旋線的繪制》）

[1]Eric L.Brooks,Jean-André Degrotte: THE VIOLIN AND THE GOLDEN NUMBER,2005.P53

[2]Grosjean J.P.: LE NOM BTRE D' OR 1.618.MODE D' EMPLOI EN DESICN ET ESTHéTIQUE INDUSTRIELLE,2e Ed.Ed.H.Vial,1993.P144-145

[3]M atila C.Gh y ka: ESTHéT IQUE DES PROPORTIONS DANS LA NATURE ET DANS LES ARTS，Ed.Gallimard ,Paris,1927/Ed.du Rocher,1987.P146一147

[4]龍樹德編：《制圖基礎(chǔ)和提琴制圖》，1999.P127-128

[5]（英） 克里斯·約翰遜，羅伊·考特諾爾著《小提琴制作藝術(shù)》，2003.P24-25