Bayes估計(jì)中模糊先驗(yàn)信息的一類定量描述方法

張興媛，潘洪亮，董德存

（1.同濟(jì)大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，上海201804；2.上海工程技術(shù)大學(xué) 航空運(yùn)輸學(xué)院，上海201620）

由于能夠有效融合各種驗(yàn)前信息，近年來Bayes方法在小子樣產(chǎn)品的可靠性評(píng)定中得到了非常廣泛的應(yīng)用［1－4］.尤其是在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少的情況下，運(yùn)用Bayes方法，能夠有效運(yùn)用各種主觀或客觀的先驗(yàn)信息，以彌補(bǔ)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的不足.相比較Bootstrap方法［5］，極大似然估計(jì)法等［6］，Bayes方法具有不受試驗(yàn)樣本空間限制，同時(shí)評(píng)估結(jié)果能隨新信息的出現(xiàn)而不斷更新等優(yōu)勢(shì)，因此在可靠性研究中受到越來越多的關(guān)注.

使用Bayes方法的前提是先驗(yàn)分布的構(gòu)造.通常，Bayes方法利用專家意見等先驗(yàn)信息的途徑是將其用一個(gè)先驗(yàn)分布來描述，即根據(jù)先驗(yàn)信息按一定的方法來構(gòu)造先驗(yàn)分布［7］.然而，當(dāng)專家提供的是模糊信息時(shí)，難以有有效的方法來構(gòu)造先驗(yàn)分布.文獻(xiàn)［8］提出了一種Bayes分析的新思路：將試驗(yàn)數(shù)據(jù)視為“先驗(yàn)信息”，而將專家經(jīng)驗(yàn)等先驗(yàn)信息視為“試驗(yàn)數(shù)據(jù)”，再利用Bayes公式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.這種做法的好處是避免了在某些場(chǎng)合下由先驗(yàn)信息構(gòu)造先驗(yàn)分布的困難，它提供了一條利用先驗(yàn)信息的新途徑.

1 Bayes可靠性評(píng)估的思想

Bayes可靠性評(píng)估是一種基于Bayes定理的可靠性參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷方法，它強(qiáng)調(diào)使用專家經(jīng)驗(yàn)等先驗(yàn)信息以便很好地解決常規(guī)可靠性方法解決不了的小樣本事件或無失效數(shù)據(jù)的可靠性評(píng)估問題.在連續(xù)隨機(jī)變量的情形下，

2 可靠性評(píng)估

2.1 不精確可靠性數(shù)據(jù)的模糊描述

很多時(shí)候，專家由于自身的局限性或者對(duì)產(chǎn)品批次特性的難以把握，很難給出一個(gè)確切的可靠性特征量的估計(jì)值，常常會(huì)借助于模糊語言，如“產(chǎn)品的可靠度大約為0.95”，“失效率在某范圍以內(nèi)”等.對(duì)于可靠性評(píng)估過程中存在的不精確可靠性信息采用模糊理論中的模糊集合來描述.常用的隸屬函數(shù)有三角形隸屬函數(shù)，梯形隸屬函數(shù)，矩形隸屬函數(shù)以及正態(tài)隸屬函數(shù)等.這四類模糊數(shù)都是根據(jù)其隸屬函數(shù)的幾何形狀定義的.本文重點(diǎn)考察元件的失效率特性，所以采用三角形模糊數(shù)和正態(tài)形模糊數(shù)加以評(píng)估.

三角形模糊數(shù)的隸屬函數(shù)可記作（a，b，c），其中a＜b＜c，a、c為上下限，表征模糊邊界，b為極可能值，表征模糊信息的中心.三角形模糊函數(shù)記為

正態(tài)隸屬函數(shù)可記為（b，σ），其中b、σ分別表示隸屬函數(shù)的期望值和半寬，表示模糊信息的中心與模糊（半）寬度.正態(tài)模糊函數(shù)記為

2.2 相容性檢驗(yàn)

先驗(yàn)信息是Bayes方法的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，它對(duì)最終的可靠性評(píng)估結(jié)果有著很大的影響.因此對(duì)于實(shí)驗(yàn)測(cè)得的樣本數(shù)據(jù)作為先驗(yàn)信息，需對(duì)可信度進(jìn)行相容性檢驗(yàn).在很多工程科研或試驗(yàn)單位常用簡單的定性判別方法來說明相容性檢驗(yàn)問題.如圖比較說明法，時(shí)序模型趨時(shí)，則可認(rèn)為這兩個(gè)母體為同一母體，因此可以利用先驗(yàn)信息；否則，先驗(yàn)信息就不可以用.在對(duì)歷史試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行相容性檢驗(yàn)時(shí)，若總體的分布函數(shù)形式己知，則可以使用參數(shù)方法進(jìn)行總體相容性檢驗(yàn)；若總體的分布函數(shù)形式未知，則適合用非參數(shù)方法進(jìn)行相容性檢驗(yàn).常用的參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法有參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，Bayes置信區(qū)間估計(jì)等.當(dāng)總體的分布函數(shù)形式未知時(shí)，可利用K－S檢驗(yàn)、χ2檢驗(yàn)，Wilcoxon秩和檢驗(yàn)等.其中χ2檢驗(yàn)雖然形式簡單，然而它存在許多不足：需要較大的子樣容量；劃分子集（區(qū)間）受人為因素影響（如怎樣劃分，數(shù)目多少等）；分割子集使大量有用的信息沒有得到充分利用，檢驗(yàn)功效不高［9］.而 K－S檢驗(yàn)也需大樣本，考慮到這里樣本數(shù)量較小，本文采用秩和檢驗(yàn).

為了檢驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)X＝（x1，x2，…，xn1）和驗(yàn)前子樣Y＝（y1，y2，…，yn2）是否屬于同一總體，引入競擇假設(shè)

H0：X與Y屬于同一總體

H1：X與Y不屬于同一總體

將試驗(yàn)數(shù)據(jù)和驗(yàn)前子樣兩個(gè)子樣混合排序（由小到大排序），可得次序統(tǒng)計(jì)量：

式中，vmax為粒子速度峰值，m·s-1；umax為比例粒子位移峰值，為比距離，m·kt-1/3；r為測(cè)點(diǎn)半徑，m；Q為爆炸當(dāng)量，kt TNT。

記yk＝Zj，即驗(yàn)前子樣中的第k個(gè)元素yk，在混合排序中排列在第j位，即yk的秩為j，記為rk（y）＝j(luò).則驗(yàn)前子樣的秩和T為則可建立下列關(guān)系：P｛T1＜T＜T2｜H0｝＝1－α.其中α為棄真概率.給定α之下，T1，T2查秩和檢驗(yàn)表得到.在檢驗(yàn)水平α之下，如果T1＜T＜T2則采納H0，即X與Y屬于同一總體：如果T≤T1或T≥T2，則拒絕H0，即X與Y不屬于同一總體.

2.3 模糊先驗(yàn)信息Bayes估計(jì)

指數(shù)分布產(chǎn)品的可靠性參數(shù)（失效率為λ）置信分布的推導(dǎo)過程如下：假設(shè)某指數(shù)產(chǎn)品預(yù)定失效次數(shù)為z，總試驗(yàn)時(shí)間為τ，則有：

式中：Γ（z）指Γ函數(shù)（gamma函數(shù)），或?qū)懽鳎?/p>

如果將τ看作固定的，則式（5）規(guī)定了λ的一個(gè)分布，即：

故，

式（7）即為失效率的置信分布Πb（λ），在此將其視為λ的“先驗(yàn)分布”.則失效率λ的密度函數(shù)為

3 可靠性評(píng)估實(shí)例分析

對(duì)語音選擇器組件進(jìn)行了8次試驗(yàn)，總工作時(shí)間為15 632h；根據(jù)式（8），試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取的該產(chǎn)品的失效率λ的置信分布為

（1）可靠性專家根據(jù)自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)室模擬試驗(yàn)的情況針對(duì)該產(chǎn)品的失效率λ給出的先驗(yàn)信息為“最可能值為0.000 56，下限、上限分別為0和0.001 5”.

① 可用三角模糊函數(shù)表示，由式（2），

將式（9）～（11）代入式（1）計(jì)算得到后驗(yàn)分布：

② 以a，b之差作為正態(tài)模糊先驗(yàn)函數(shù)的半寬，由式（2），則σ＝b－a＝0.000 56h，正態(tài)模糊先驗(yàn)函數(shù)為

圖1所示為僅根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的置信分布與歸一化的Bayes先驗(yàn)分布及后驗(yàn)分布之間的關(guān)系（故障率—概率密度）.圖中Bayes后驗(yàn)分布分別對(duì)應(yīng)采用三角型和正態(tài)型模糊專家信息（寬帶）的情況.由圖1可見，在專家模糊信息分布較寬的情況下，采用三角分布的模糊專家信息具有較好的融合特性.Bayes后驗(yàn)分布是試驗(yàn)分布于專家分布的折中和融合，其峰值處于兩種分布的峰值之間.并且后驗(yàn)分布相對(duì)于試驗(yàn)分布和專家信息分布置信區(qū)間寬度明顯縮小，這說明Bayes估計(jì)在多說情況下能有效縮小置信區(qū)間范圍，提高估計(jì)精度.而采用正態(tài)型分布的專家信息，后驗(yàn)分布與試驗(yàn)分布基本重合，專家信息沒有體現(xiàn).這是由于相同的置信點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間條件下，正態(tài)分布比三角分布有更大的截尾，模糊區(qū)域更加寬泛.因此在Bayes融合中不能有效地體現(xiàn).

圖1 專家模糊信息寬分布與Bayes后驗(yàn)分布之間的關(guān)系Fig.1 Relationship between narrow fuzzy prior distributions and posterior distribution

（2）模糊先驗(yàn)信息“最可能值為0.000 56，下限、上限分別為0.000 5和0.000 7”.可用三角模糊函數(shù)表示為：

正態(tài)模糊先驗(yàn)函數(shù)為

圖2所示為僅根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的置信分布與歸一化的Bayes先驗(yàn)分布及后驗(yàn)分布之間的關(guān)系（故障率—概率密度）.圖中Bayes后驗(yàn)分布分別對(duì)應(yīng)采用三角型和正態(tài)型模糊專家信息（窄帶）的情況.由圖2可見，在專家模糊信息分布較寬的情況下，采用正態(tài)分布的模糊專家信息具有較好的融合特性.Bayes后驗(yàn)分布是試驗(yàn)分布于專家分布的折中和融合，其峰值處于兩種分布的峰值之間.采用三角模糊先驗(yàn)分布時(shí)，后驗(yàn)分布局限于先驗(yàn)分布的范圍內(nèi)，不能充分反映二者的融合.

圖2 專家模糊信息窄分布與Bayes后驗(yàn)分布之間的關(guān)系Fig.2 Relationship between wide fuzzy prior distributions and posterior distribution

4 結(jié)論

Bayes評(píng)估方法的優(yōu)勢(shì)在于它能夠充分利用各種相關(guān)可靠性信息.在樣本數(shù)據(jù)缺乏的情況下，專家意見是一類非常重要的可靠性信息.本文利用隸屬函數(shù)對(duì)專家信息進(jìn)行量化描述.實(shí)例分析表明：

（1）可靠性Bayes評(píng)估方法可在小樣本條件下顯著提高可靠性評(píng)估的精度，在先驗(yàn)信息與試驗(yàn)信息相容的情況下，估計(jì)偏差也可以得到修正.

（2）在專家模糊信息置信區(qū)間相對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較寬時(shí)，可以采用三角型隸屬函數(shù)，可有效實(shí)現(xiàn)專家信息與試驗(yàn)信息的融合.而采用正態(tài)型函數(shù)時(shí)，由于帶寬較寬，結(jié)果接近于無先驗(yàn)信息的評(píng)估.

（3）在專家模糊信息置信區(qū)間相對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較窄時(shí)，可以采用正態(tài)型隸屬函數(shù)，可有效實(shí)現(xiàn)專家信息與試驗(yàn)信息的融合.而采用三角型函數(shù)時(shí)，Bayes評(píng)估結(jié)果受限于專家信息的上下限，不能有效實(shí)現(xiàn)專家信息與試驗(yàn)信息的融合.

［1］Boudali H，Dugan J B.A discrete－time Bayesian network reliability modeling and analysis framework ［J］.Reliability Engineering and System Safety，2005（87）：337.

［2］Langseth H，Portinale L.Bayesian networks in reliability［J］.Reliability Engineering and System Safety，2007（92）：92.

［3］Doguc O， Ramirez－Marquez J E.A generic method for estimating system reliability using Bayesian networks ［J］.Reliability Engineering and System Safety，2009（94）：542.

［4］Montani S，Portinale L，Bobbio A，et al.A tool for reliability analysis of dynamic fault trees through conversion into dynamic Bayesian networks［J］.Reliability Engineering and System Safety，2008（93）：922.

［5］Mudelsee M，Alkio M.Quantifying effects in two－sample environmental experiments using bootstrap confidence intervals［J］.Environmental Modeling ＆Software，2007，22（1）：84.

［6］Cristiano C，Danilo M，Marco M，et al.Deterministic learning for maximum－likelihood estimation through neural networks［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2008，19（8）：1456.

［7］Wilson A G，Huzurbazar A V.Bayesian networks for multilevel system reliability ［J］.Reliability Engineering and System Safety，2007（92）：1413.

［8］劉晗，郭波.小子樣產(chǎn)品可靠性Bayes評(píng)定中的相容性檢驗(yàn)方法研究［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2007，5（5）：165.LIU Han，GUO Bo.Methods of compatibility test of Bayes assessment for product reliability under the circumstance of small sample［J］.Machinery Design ＆ Manufacture.2007，5（5）：165.

［9］趙永翔，楊冰，張衛(wèi)華.隨機(jī)疲勞長裂紋擴(kuò)展率的新概率模型［J］.交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2005，5（4）：6.ZHAO Yongxiang，YANG Bing，ZHANG Weihua.Probabilistic model of random－long fatigue crack propagation rates［J］.Journal of Traffic and Transportation Engineering，2005，5（4）：6.