隨機(jī)波動(dòng)率下信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)模型的比較分析

郭培棟，陳啟宏

0 引言

在可違約債券研究中，由以往的文獻(xiàn)可以知道可違約債券的風(fēng)險(xiǎn)主要來自三個(gè)方面，即違約風(fēng)險(xiǎn)、利率風(fēng)險(xiǎn)、市場風(fēng)險(xiǎn)（波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)）。在經(jīng)典的信用風(fēng)險(xiǎn)模型——結(jié)構(gòu)化模型和約化式模型——中主要考慮的是違約風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)。上述信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)模型的一個(gè)共同的特點(diǎn)就是都假設(shè)在資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)率是常數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論的，而沒有考慮到波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)。由于假定波動(dòng)率是恒定的，因此在估計(jì)波動(dòng)率的時(shí)候直接把過去的波動(dòng)率估計(jì)值看作未來波動(dòng)率預(yù)測值，這種簡單而又直接的估計(jì)通常與實(shí)際情形有很大的偏差，成為一種最不準(zhǔn)確的一種波動(dòng)率測量和預(yù)測工具。顯然，波動(dòng)率在時(shí)間序列上不可能是一個(gè)常數(shù)，而是一個(gè)動(dòng)態(tài)隨機(jī)過程，這點(diǎn)在資產(chǎn)回報(bào)的時(shí)間序列和通過B-S模型的期權(quán)市場價(jià)格隱含的波動(dòng)率的實(shí)證檢驗(yàn)中證實(shí)。

隨機(jī)波動(dòng)率模型最早是用來定價(jià)期權(quán)等信用衍生產(chǎn)品[1-3]。后來在信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)模型也逐步引入隨機(jī)波動(dòng)率因素，由于隨機(jī)波動(dòng)率的引入使得模型變得更復(fù)雜，因此在給公式債券定價(jià)的時(shí)候往往都是考慮它的數(shù)值解或近似解。Jean-Pierre Fouque,Ronnie Sircary和Knut Solna[4]在首次通過結(jié)構(gòu)模型(First passage structural approach)引入隨機(jī)波動(dòng)率模型，并分析了波動(dòng)率對信用價(jià)差的影響，在這里還討論了刻劃隨機(jī)波動(dòng)率的多因子模型。陳侃和李時(shí)銀[5]討論了隨機(jī)波動(dòng)率下可違約債券的定價(jià)，在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率是一個(gè)快速均值回復(fù)OU過程的函數(shù)的條件下,利用Taylor級數(shù)展開得到非完全市場下固定補(bǔ)償率的債券價(jià)格的近似表達(dá)式。在信用風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)模型中考慮波動(dòng)率的隨機(jī)性有很重要的意義。首先，作為一個(gè)投資公司債務(wù)的投資者，他必須要關(guān)注公司償還債務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)，即公司的破產(chǎn)概率，公司資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)率是影響破產(chǎn)概率的一個(gè)重要變量；其次，從投資者的角度來看，利差收益是他們投資的主要收益，雖然不可否認(rèn)影響利差的因素眾多，但公司資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)率顯然是其中的一個(gè)重要因素。

本文將討論在隨機(jī)波動(dòng)率假設(shè)下，在利率分別為常數(shù)和隨機(jī)情形下可違約債券的定價(jià)問題。這里主要在結(jié)構(gòu)法的三種經(jīng)典模型下——Merton模型、跳擴(kuò)散模型和首次通過模型——來討論的。本文還將利用特征函數(shù)得到了可違約債券價(jià)格和公司違約概率的顯式表達(dá)式，并通過數(shù)值模擬分析隨機(jī)波動(dòng)率對信用價(jià)差和違約概率期限結(jié)構(gòu)的影響。

1 Merton模型

基本假設(shè)：

(1)無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。

(2)公司資產(chǎn)的價(jià)格V(v,t)滿足動(dòng)態(tài)過程

其中μ為常數(shù)，W1為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。

(3)波動(dòng)率狀態(tài)變量vt服從擴(kuò)散過程

其中，參數(shù)k,θ,σ都為常數(shù)，W2為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。

(4)Cov(dW1,dW2)=ρ1dt，其中ρ1為常數(shù)，表示兩個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)系數(shù)。

(5)市場是無摩擦的。

(6)滿足Merton模型的其它假設(shè)。

記公司的債務(wù)為F，則在債券到期日債權(quán)人的收益為

這里的C(V,v,T)表示基于公司資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)在到期日的收益，對于歐式看跌期權(quán)C(V,v,t)滿足方程

根據(jù)波動(dòng)率為常數(shù)時(shí)的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式，可以假設(shè)

作變換x=lnV，把式(5)代入式(4)可得P1和P2滿足方程

上式中λ2,此時(shí)相應(yīng)的參數(shù)分別為：

u1=-1/2,u2=1/2,a1=a2=kθ

b1=k+λ,b2=k+λ-ρ1σ

此時(shí)P1和P2滿足的終值條件為：

這里Pj就可看作在期權(quán)到期日變量x≥lnK的概率了?，F(xiàn)在我們來求解式(6),為此不妨先設(shè)

其中參數(shù)aj,bj,uj與式(6)一樣?？紤]函數(shù)V(S,M,τ)≤VA(S,M,τ)＜VA(αM,M,τ)+(αM-S)+≤ δ+(αM-S)+. ，對于V(S,M,τ)=VA(S,M,τ)，令τ*=T為δ=VA(S,M,τˉ)在期權(quán)到期時(shí)刻的條件期望，即：

由Ito引理可得：

由期望的迭代法則可知，fj必為鞅，從而可得dt項(xiàng)的系數(shù)為零，故有：

fj滿足的終值條件為

若記S0∈(αM,∞)，則(αM,∞)與S=αM滿足的方程和終值條件完全一致，故δ也可看作是一個(gè)關(guān)于的條件期望，即(S,τ)。

特征函數(shù)有如下形式的解：

記τ=T-t，把(11)代入(9)、(10)可得C(τ;?)，D(τ;?)滿足方程

解之可得：

通過對特征函數(shù)作逆變換就可得概率函數(shù)Pj的表達(dá)式為：利用特征函數(shù)及其逆變換，同理可得Pj(j=1,2)的表達(dá)式為:

其中fj(x,v,T;lnF)滿足式(11),(12)。由(3)可知債券價(jià)格等于債務(wù)的無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)減去一個(gè)基于公司資產(chǎn)的看跌期權(quán)的價(jià)格，即

債券的違約概率：上面的分析已經(jīng)給出了公司債券價(jià)格公式，把其各項(xiàng)進(jìn)行重新整理，則有

那么P1(V,v,t)就表示在[t,T]內(nèi)債券違約概率，中掛號(hào)中的項(xiàng)表示違約時(shí)預(yù)期的貼現(xiàn)損失。

由上述債券定價(jià)公式可以得到信用價(jià)差的表達(dá)式，信用價(jià)差定義為可違約債券與不可違約債券收益率的差異，因此有

2 跳擴(kuò)散模型

在風(fēng)險(xiǎn)中性下假設(shè)公司資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程為：

波動(dòng)率狀態(tài)變量vt滿足微分方程(2)，其中qt(λ)表示強(qiáng)度為λ的poisson過程，用來刻劃在時(shí)間段[t,t+dt]內(nèi)跳躍發(fā)生的次數(shù)，Yt∈(0,+∞)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，表示一旦跳躍發(fā)生時(shí)，跳躍的幅度，且Yt和qt(λ)是相互獨(dú)立的，且獨(dú)立于維納過程W2和W4。維納過程W2和W4是相關(guān)的，且有Cov(dW2,dW4)=ρ2dt。在跳擴(kuò)散假設(shè)下，歐式期權(quán)的價(jià)格C(V,v,t)滿足方程

期權(quán)價(jià)格滿足終值條件C(V,v,T)=max(F-VT,0)，期權(quán)的價(jià)格C(V,v,t)的表達(dá)式可記為：

與前一樣，這里Π1和Π2表示在期權(quán)到期日F＞VT的條件概率。現(xiàn)在我們先求出它們的特征函數(shù)，再通過逆變換得到Π1和Π2的解。作變換x=lnV，記此時(shí)它們的特征函數(shù)為可得滿足的方程為：

令

代入式(17)、(18)可得

其中：

利用特征函數(shù)及其逆變換，可得

再利用Morten方法，可違約債券等價(jià)于債務(wù)的現(xiàn)值減去一個(gè)歐式看跌期權(quán)，從而可得債券定價(jià)公式為：

債券的違約概率：由上式可得

從而有[t,T]內(nèi)的違約概率DP=Π1(V,v,t)，掛號(hào)中的項(xiàng)表示違約預(yù)期貼現(xiàn)損失。

信用價(jià)差公式：此時(shí)債券的信用價(jià)差可表示為：

3 Black-Cox首次通過(first passage time)模型

(1)假設(shè)公式資產(chǎn)價(jià)格過程在風(fēng)險(xiǎn)中性下滿足

波動(dòng)率狀態(tài)變量vt滿足微分方程(2)，且Cov(dW2,dW5)=ρ3dt

(2)公司發(fā)行了到期日為T的零息票債券，每份債券的面值為1。

(3)當(dāng)公司資產(chǎn)觸擊到門檻值B時(shí)，就強(qiáng)制公司立即進(jìn)入破產(chǎn)清算程序；當(dāng)公司資產(chǎn)V大于門檻值B時(shí)，公司被認(rèn)為有能力償還債務(wù)并繼續(xù)運(yùn)營。

(4)發(fā)生違約時(shí)采用面值回收，為了簡便起見，這里記常數(shù)R為回收率，P0(r,T)，則面值回收具有形式RD，其中D為破產(chǎn)時(shí)刻零息票國債價(jià)格。

在這里假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率r和違約門檻值B都是常數(shù)，則在破產(chǎn)時(shí)刻t零息票國債價(jià)格D=exp[-r(T-t)]，從而在破產(chǎn)時(shí)刻債券持有人可得Rexp[-r(T-t)]。此時(shí)債券價(jià)格滿足方程

其中V0∈(B,+∞)，且滿足相應(yīng)的邊界和終值條件現(xiàn)在我們來求解方程(20)，做變換W(x,v,t)=P(V,v,t)-Re-r(T-t)，x=ln(V/B)。則方程變?yōu)椋?/p>

此時(shí)變量x的取值范圍為x∈(0,+∞)，相應(yīng)的邊界條件(21)，(22)變?yōu)椋?/p>

定義函數(shù)

顯然函數(shù)f(x,v,T)是一個(gè)奇函數(shù)，利用鏡像法，則W(x,v,t)的奇延拓在空間Ω={x∈R,0≤t≤T}上滿足柯西問題

我們發(fā)現(xiàn)，可以把W(x,v,t)看作是到期日收益函數(shù)f(x,v,T)的歐式期權(quán)的價(jià)格，在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下歐式期權(quán)的價(jià)格W(x,v,t)可以表示為：

其中P1，P2分別表示風(fēng)險(xiǎn)中性下x＞0和x＜0的概率。把W(x,v,t)代入式(1.3.9)可得Pj(j=1,2)滿足方程

記 概 率 Pj(j=1,2)的 特 征 函 數(shù) 為 f(x,v,t;?)，則f(x,v,t;?)也 滿 足 方 程(29)，終 值 條 件 為 f(x,v,T;?)=exp(i?x)。同理 f(x,v,t;?)的解有如下形式為：

解上述方程有

且

再通過逆變換可得

再通過變量回代，并把上式代入(28)，從而可得風(fēng)險(xiǎn)中性下債券定價(jià)公式為：

債券的違約概率：記公司在[t,T]內(nèi)的違約概率為DF，在首次通過模型下，可違約債券價(jià)格可以表示為：

把上述債券價(jià)格公式代入可得債券的違約概率為

信用價(jià)差公式為：

4 數(shù)值分析

在本節(jié)，我們將分析在隨機(jī)波動(dòng)率下信用價(jià)差的期限結(jié)構(gòu)和波動(dòng)率的波動(dòng)率這個(gè)參數(shù)對信用價(jià)差期限結(jié)構(gòu)的影響。取參數(shù)r=0.05,k=0.1,θ=0.2,ρ=ρ1=ρ2=0.5。圖1、2分別演示了Merton模型下信用價(jià)差期限結(jié)構(gòu)及其對波動(dòng)率的波動(dòng)率參數(shù)的依賴關(guān)系。由圖1可以觀察到，當(dāng)準(zhǔn)債務(wù)比K /V大于1時(shí)，則價(jià)差隨期限遞減；而當(dāng)準(zhǔn)債務(wù)比K/ V小于1時(shí)，價(jià)差隨著期限先遞增，隨后又將下降，呈現(xiàn)明顯的駝峰形狀。這與常數(shù)波動(dòng)率下Merton模型的信用價(jià)差期限結(jié)構(gòu)完全相似。由圖2可以看到，信用價(jià)差隨著波動(dòng)率的波動(dòng)的增大而增大，這與我們的直覺也是一致的，因?yàn)椴▌?dòng)率的波動(dòng)越大表明風(fēng)險(xiǎn)越大，此時(shí)債券所要求獲得的收益率也越大，價(jià)差也就隨著增大。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖3、4演示了跳擴(kuò)散模型下信用價(jià)差期限結(jié)構(gòu)及其對波動(dòng)率的波動(dòng)率參數(shù)的依賴關(guān)系。由3可以觀察到，當(dāng)準(zhǔn)債務(wù)比K/ V大于1時(shí)，則價(jià)差隨期限遞減；而當(dāng)準(zhǔn)債務(wù)比K/ V小于1時(shí)，價(jià)差是隨著期限遞增的。在圖4中我們發(fā)現(xiàn)，在跳擴(kuò)散模型中信用價(jià)差對波動(dòng)率的波動(dòng)并不敏感，特別是準(zhǔn)債務(wù)比K/ V小于1時(shí)更是如此。這可能是由于在模型中本身就考慮到了跳量對價(jià)差的影響了，因此對波動(dòng)率的變動(dòng)反而不是很敏感了。

圖5、6、7分別演示了首次通過模型下違約概率的期限結(jié)構(gòu)和信用價(jià)差的期限結(jié)構(gòu)及其對波動(dòng)率的波動(dòng)的依賴關(guān)系。由圖5、6可以看到，違約概率和信用價(jià)差都是隨著期限先增后減，呈現(xiàn)駝峰形狀。圖7則反映了價(jià)差隨著波動(dòng)率的波動(dòng)的增大而增大，這與Merton模型下的情形相似，也與我們的直覺經(jīng)驗(yàn)相符，即風(fēng)險(xiǎn)越大收益越大。由上述分析我們發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)波動(dòng)率變量對Merton模型和首次通過模型還是有比較顯著的影響，但是對跳擴(kuò)散模型則影響并不顯著。

圖5

圖6

圖7

5 結(jié)束語

本文在假設(shè)狀態(tài)變量波動(dòng)率服從隨機(jī)擴(kuò)散過程下，分析了可違約債券的定價(jià)機(jī)制。通過特征函數(shù)及其逆變換的方法得到了可違約債券的價(jià)格及其信用價(jià)差的顯式表達(dá)式。最后通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)率在Morten模型和首次時(shí)間通過模型中對信用利差有著顯著的影響，而在跳擴(kuò)散模型中則對信用利差的影響并不顯著。

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