關(guān)于《初等數(shù)論》課程改革的一些思考

晏燕雄

（重慶第二師范學院 數(shù)學與信息工程系，重慶 400067）

1 《初等數(shù)論》課程的性質(zhì)、目的與內(nèi)容框架

1.1 課程性質(zhì)

初等數(shù)論（Elementary Number Theory）課程是高等院校數(shù)學教育專業(yè)的一門專業(yè)技術(shù)課程。初等數(shù)論主要是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學科，它的理論和方法已廣泛應用于現(xiàn)代密碼學和信息科學。數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）的學生在學習了《數(shù)學分析》、《高等代數(shù)》、《幾何學》之后，學習一些初等數(shù)論的基礎知識可以加深對整數(shù)性質(zhì)的了解與認識，便于理解和學習后續(xù)的有關(guān)信息與編碼的課程。學習數(shù)論中的最基本的理論和常用的方法，有利于強化邏輯推理和解決數(shù)學問題的能力，具有指導中學數(shù)學教學的作用。

1.2 課程目的

本課程的目的是介紹在初等數(shù)論研究中經(jīng)常用到的基本概念、基礎知識、基本方法和技巧。通過本課程的學習，使學生加深對整數(shù)的性質(zhì)的理解，使學生獲得關(guān)于整數(shù)的可除性、不定方程、同余及同余式，掌握數(shù)論中的最基本的理論和常用的方法與技巧，使他們的數(shù)學思維能力得到訓練與提高，為今后的工作與學習后續(xù)課程打下基礎。

1.3 課程內(nèi)容框架

主要講解整數(shù)的整除、不定方程、同余、同余方程及簡單連分數(shù)等基本理論，介紹常用的方法、技巧及一些應用。正文中帶“＊”號的內(nèi)容為選修內(nèi)容，視教學對象及具體情況靈活處理，可講或簡單介紹或不講。

2 開設《初等數(shù)論》課的必要性

眾所周知，初等數(shù)論課程在數(shù)學競賽中占有重要的地位。例如，從1959年至1991年的幾十年中，國際數(shù)學奧林匹克競賽總共舉辦了32屆，總共194道數(shù)學競賽題中，應用數(shù)論知識解題的有53題，占27.32%，這里還不包括解題中用到數(shù)論知識的題型。根據(jù)國際奧林匹克數(shù)學競賽、前蘇聯(lián)、羅馬尼亞、匈牙利及我國的歷屆數(shù)學競賽試題的分析，主要應用初等數(shù)論知識解決的問題約占的比例為30%左右。此外，隨著中學數(shù)學教育的改革，中小學的教材內(nèi)容有了顯著的變化，初等數(shù)論中的一些基礎知識如最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、整數(shù)的基本性質(zhì)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的基本概念和性質(zhì)、同余理論及高斯函數(shù)等都以不同形式出現(xiàn)在中小學的教學中。這樣，師范院校初等數(shù)論課程的教學內(nèi)容和教學方法都需要做出相應的調(diào)整。

我校數(shù)學系將《初等數(shù)論》列為數(shù)學教育專業(yè)必修課已有20年余年，毫無疑問這是一個明智之舉。另外，我校生化系連續(xù)六年在小學教育本科專業(yè)試開設了《初等數(shù)論》選修課，為期一學期，課時總數(shù)72學時。實踐表明學生完全具備了學習初等數(shù)論的知識和能力方面的要求，多年來的教學實踐使我認識到:初等數(shù)論是實用性和方法性都很強的一門基礎學科，它對于開發(fā)學生思維，提高數(shù)學競賽的教練水平有著重要意義和指導作用。

3 教學內(nèi)容及課時安排

結(jié)合自己多年的教學實踐經(jīng)驗，并考慮到學生實際情況，針對知識的系統(tǒng)性和實用性兩方面就初等數(shù)論的教學內(nèi)容和課時安排，制定如下教學計劃:

3.1 課時分配情況

章教學內(nèi)容 講授1整數(shù)的整除性 28同余 163同余方程 104不定方程 125簡單連分數(shù) 6合計 722

3.2 教學內(nèi)容安排

第一章 整數(shù)的整除性

（講授28學時，習題課5學時）

1.1 整除的基本概念與帶余除法；

1.2 最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)；

1.3 質(zhì)數(shù)與合數(shù)；

1.4 算術(shù)基本定理；

1.5 數(shù)的進位制；

1.6 Gauss函數(shù)；

1.7 抽尼原理

本章的多數(shù)內(nèi)容在中小學階段接觸過，并且整數(shù)的整除性理論與多項式理論基本上是一致的，因而略講。本章的重點是整除、公因數(shù)、素數(shù)的概念及性質(zhì)，帶余除法及輾轉(zhuǎn)相除法，求最大公因數(shù)的方法，整數(shù)的素數(shù)分解定理，函數(shù)［x］、｛x｝的概念及其應用；難點是函數(shù)［x］、｛x｝的概念及其應用。

第二章 同余

（講授16學時，習題課4學時）

2.1 同余的基本概念及其基本性質(zhì)；

2.2 剩余類與剩余系；

2.3 Euler定理與 Fermat定理；

2.4 循環(huán)小數(shù)。

本章的學習過程中要求了解整數(shù)同余的概念及同余的基本性質(zhì)，會利用同余簡單驗證整數(shù)加減乘積運算的結(jié)果；理解剩余類、完全剩余系的概念，熟練掌握判斷完全剩余系、簡化剩余系的方法；掌握歐拉函數(shù)的定義及基本性質(zhì)；熟練掌握Euler定理、Fermat定理在解決實際問題中的應用。學習的重點是剩余系的判定，歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì)，難點是剩余系的判定。

第三章 同余方程

（講授10學時，習題課2學時）

3.1 一次同余方程；

3.2 一次同余方程組。

代數(shù)學中的一個主要問題就是求解代數(shù)方程，這不僅要求我們要對代數(shù)方程是否有解、有解的條件及如何求解做出回答，而且盡可能的情況下給出問題的求解公式。本章討論的問題與此類似，即求解同余方程。主要研究一次同余方程和方程組的求解問題。學習的重點是中國剩余定理，求解三次以下的同余式，難點是中國剩余定理，模整數(shù)同余式與模素數(shù)同余式的關(guān)系。

第四章 不定方程

（講授12學時，習題課2學時）

4.1 二元一次同余方程；

4.2 多元一次同余方程組；

4.3 商高不定方程。

不定方程是初等數(shù)論中最古老的一個分支，也是數(shù)論一個十分重要的研究課題。不定方程又稱之為丟番圖方程，是公元三世紀初，古希臘數(shù)學家丟番圖曾經(jīng)系統(tǒng)研究了一些不定方程問題。我國古代對不定方程的研究也很早，且研究的內(nèi)容也非常豐富，在世界數(shù)學史上占有不可忽略的地位。例如《周髀算經(jīng)》中的商高定理“勾三股四弦五”，《張丘建算經(jīng)》中的“百錢買百雞問題”及《孫子算經(jīng)》中的“物不知其數(shù)問題”等等，馳名中外，影響深遠。本章的學習重點是二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整數(shù)解的條件，求二元一次不定方程的解的方法；難點是不定方程x2＋y2＝z2的整數(shù)解的形式。

第五章 連分數(shù)

（講授6學時，習題課2課時）

5.1 連分數(shù)的基本性質(zhì)；

5.2 有限連分數(shù)與有理數(shù)；

5.3 無限連分數(shù)與無理數(shù)；

5.4 二次不定方程

本章主要內(nèi)容及重難點是有限連分數(shù)與有理數(shù)互化；無限連分數(shù)、漸近連分數(shù)、循環(huán)連分數(shù)、無理數(shù)與無限連分數(shù)的互化及應用；證明任一實數(shù)均可以用有限或無限連分數(shù)表示。

4 關(guān)于教學中的一些問題

除了教學《初等數(shù)論》的基本內(nèi)容，還應適時向?qū)W生介紹一些數(shù)論中的著名問題的起源和發(fā)展過程。如Fermat猜想，F(xiàn)ermat數(shù)，哥德巴赫猜想，孿生素數(shù)，完全數(shù)和幾乎半完全數(shù)，Mersenne數(shù)，親和數(shù)等，讓學生了解一些數(shù)論課程發(fā)展的過去和現(xiàn)狀，利于拓寬知識視野。

介紹我國古代和現(xiàn)代的數(shù)學家們對數(shù)論這門學科發(fā)展所作出的突出貢獻。例如在講解不定方程時，介紹世界上最早研究不定方程的是我國的《周髀算經(jīng)》，比古希臘數(shù)學家丟番研究不定方程還要早二百多年；另外《孫子算經(jīng)》也是世界上最早提出同余方程的研究巨著；講授奇數(shù)、偶數(shù)及質(zhì)數(shù)時，介紹我國著名數(shù)學家華羅庚、陳景潤、潘承桐及王元等對數(shù)論發(fā)展做出的突出貢獻。

教學中應該充分利用網(wǎng)絡資源。例如，可在網(wǎng)站上提供授課的教學計劃和教學內(nèi)容，提供習題及相應的解答，對課程的某些內(nèi)容可以適當拓寬。

合理利用多媒體教學。多媒體輔助教學手段是現(xiàn)代課堂教學的一個顯著特點，它極大地緩解了課堂教學課時數(shù)的不斷減少這一矛盾，也徹底改變了傳統(tǒng)教學模式中的“教師一支粉筆，一張嘴巴滿堂灌”這一教學模式，并提高了教師的課堂教學效果。實踐表明，初等數(shù)論課程的多媒體教學深受學生的認同和歡迎。

以上內(nèi)容是我在多年的《初等數(shù)論》課程教學中的一些想法和做法，可能會還有許多不足之處，在此提出來以便和同行們共同交流和探討，其目的是通過大家的共同努力，把這門新設置的課程開好，以便能建立起一個良好的更加符合實踐的初等數(shù)論課堂教學的新模式。

［1］閔嗣鶴，嚴士健.初等數(shù)論［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學出版社，1992.

［3］原新生.突出師范特色，改革初等數(shù)論教學［J］.河南:教育與職業(yè)學報，2006，（8）:99－100.

［4］湯敏.關(guān)于初等數(shù)論課堂教學的思考［J］.安徽:高師理科學刊，2010，30（1）:88－90.

［5］高顯文.關(guān)于《初等數(shù)論》選修課的一些思考［J］.邵通師專學報，1992（11）:30－31.

［6］晏燕雄，我國初等數(shù)論課程教學改革的必要性及途徑［J］.重慶:西南師范大學學報（自然科學版），2012，（4）:217－220.

［7］晏燕雄.初等數(shù)論教學改革的實踐與思考［J］.重慶教育學院學報，2011，（6）:21－24.