基于抽取與重構(gòu)的瞬時(shí)頻率估計(jì)算法*

司偉建，蔣 鵬

（哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引言

瞬時(shí)頻率（instantaneous frequency，IF）是描述信號(hào)時(shí)變特征的基本參數(shù)，廣泛應(yīng)用于工程應(yīng)用領(lǐng)域，如地震、雷達(dá)、通信領(lǐng)域的信號(hào)識(shí)別、跟蹤估計(jì)等。

瞬時(shí)頻率的定義最早是由 Carson J R 與 Fry T C［1～3］提出，Ville將Gabor提出的解析信號(hào)與Carson及Fry的工作結(jié)合起來將瞬時(shí)頻率定義為解析信號(hào)的相位導(dǎo)數(shù)。Ville提到，由于瞬時(shí)頻率是時(shí)變的，所以，應(yīng)該存在有與瞬時(shí)頻率相對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)譜，并且該瞬時(shí)譜的平均頻率即為瞬時(shí)頻率［4～6］。利用 Gabor的平均測度，Ville證明了信號(hào)譜的平均頻率等于瞬時(shí)頻率的時(shí)間平均。但是Ville并沒有進(jìn)一步推導(dǎo)與瞬時(shí)頻率相對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)譜的表達(dá)式或者瞬時(shí)頻率的概率密度分布［7，8］。

本文從瞬時(shí)頻率的定義出發(fā)，研究了AWGN信道中采樣信號(hào)的瞬時(shí)頻率的概率密度分布。在差分運(yùn)算的基礎(chǔ)上，提出了一種基于抽取與重構(gòu)的瞬時(shí)頻率的估計(jì)算法，該算法具有與差分運(yùn)算相似的瞬時(shí)頻率概率密度分布，根據(jù)分布模型的參數(shù)可知，該算法能夠極大地提高單載波信號(hào)瞬時(shí)頻率的估計(jì)性能。對(duì)于多載波信號(hào)，該算法同樣能夠提高瞬時(shí)頻率的估計(jì)性能，但是在提高估計(jì)性能的同時(shí)存在錯(cuò)誤的瞬時(shí)頻率現(xiàn)象，本文稱其為虛假瞬時(shí)頻率（spurious IF）。如果在后續(xù)的處理中能夠剔除這些虛假瞬時(shí)頻率，那么對(duì)于提高多載波信號(hào)瞬時(shí)頻率的估計(jì)性能是非常有利的［9～11］。

1 瞬時(shí)頻率的概率密度分布

在方向數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)理論中Von Mises分布M（μ0，k）在圓上分布中占有重要的作用，其密度函數(shù)為

其中，I0（·）為修正的第一類零階Bessel函數(shù)

且式（1）μ0中和k的取值有如下約定:

依余弦函數(shù)的性質(zhì)，有M（μ0+π，k）=M（μ0－k），為克服由此帶來的不確定性，約定0≤μ0＜2π，k＞0。

本文提出了載波信號(hào)差分運(yùn)算得到的瞬時(shí)頻率分布服從Von Mises分布的假設(shè)，且該分布的參數(shù)與載波頻率，采樣頻率和信噪比有關(guān)，表達(dá)式如式（3）和式（4）所示

式中fc為載波信號(hào)頻率，fs為信號(hào)的采樣頻率。ρ為信噪比，S為信號(hào)功率，N0為噪聲功率。文中在第3.2部分給出了假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果。一般而言，信號(hào)的采樣頻率應(yīng)滿足Nyquist采樣定理，即采樣頻率不低于信號(hào)最高頻率的2倍，因此，式（3）總能滿足μ0在［0，2π）區(qū)間或者［－π，π）區(qū)間。

對(duì)于MFSK這類多載波信號(hào)而言，瞬時(shí)頻率的分布是關(guān)于2πfc/fs對(duì)稱的多峰分布。其中每一個(gè)峰均符合Von Mises分布，相應(yīng)的μi=2π（fc±nΔF）/fs，其中，ΔF為載波頻率間隔，n=（2（m－1）/2;m為調(diào)制階數(shù)。

圖1給出不同采樣頻率和不同信噪比下FSK信號(hào)載波頻率的概率密度分布曲線。載波信號(hào)的中心頻率經(jīng)下變頻后fc=0，同時(shí)令κ=ΔF/fs為歸一化頻偏。圖1（a）為在信噪比ρ=10時(shí)，不同的歸一化頻偏時(shí)的概率密度分布曲線。圖1（b）為在歸一化頻偏為κ=0.075時(shí)，不同信噪比下的瞬時(shí)頻率的概率密度分布曲線。根據(jù)前面的分析可知，F(xiàn)SK信號(hào)的瞬時(shí)頻率分布的峰間距為Δμ=4πκ，當(dāng)兩峰尖之間的峰谷值大于等于峰尖值時(shí)，那么FSK信號(hào)的2個(gè)瞬時(shí)頻率就會(huì)完全混疊在一起，以至于無法分辨。

從圖1（a）中可知，當(dāng)信噪比ρ一定時(shí)，κ≤κT時(shí)，F(xiàn)SK信號(hào)的2個(gè)瞬時(shí)頻率無法分辨。為了能夠分辨2個(gè)瞬時(shí)頻率，歸一化頻偏κ應(yīng)大于κT

當(dāng)信號(hào)的頻偏一定和信噪比ρ一定時(shí)，fs≥fT時(shí)，F(xiàn)SK信號(hào)的2個(gè)瞬時(shí)頻率無法分辨。為了能夠分辨2個(gè)瞬時(shí)頻率，采樣頻率fs應(yīng)小于fT，但同時(shí)fs不能小于信號(hào)最高頻率的2倍，以滿足Nyquist采樣定理

圖1 κ，ρ不同時(shí)FSK信號(hào)載波頻率的概率密度分布曲線Fig 1 Curve of probability density distribution of FSK carrier signal frequency under different κ and ρ

從圖1（b）中可知，對(duì)于FSK信號(hào)而言，歸一化頻偏κ一定時(shí)，當(dāng)信噪比惡化時(shí)，2個(gè)瞬時(shí)頻率將部分混疊在一起，而當(dāng)信噪比在ρ≤ρT時(shí)，F(xiàn)SK信號(hào)的2個(gè)瞬時(shí)頻率將無法分辨。因此，為了能夠分辨2個(gè)瞬時(shí)頻率，信噪比ρ應(yīng)大于ρT

2 瞬時(shí)頻率的估計(jì)算法

對(duì)于單載波信號(hào)，改變信號(hào)的采樣頻率只會(huì)改變瞬時(shí)頻率概率密度分布的位置，并不會(huì)改變瞬時(shí)頻率概率密度分布的尺度。而對(duì)于多載波信號(hào)，只要瞬時(shí)頻率不發(fā)生混疊，改變信號(hào)的采樣頻率也只改變各個(gè)峰分布的相對(duì)位置，不會(huì)改變分布的尺度。根據(jù)這個(gè)結(jié)論，本文提出了一種基于抽取與重構(gòu)的瞬時(shí)頻率估計(jì)算法，并且從理論上分析了該算法對(duì)瞬時(shí)頻率概率密度分布的影響，以及該算法對(duì)載波信號(hào)瞬時(shí)頻率估計(jì)的性能。

算法描述:對(duì)原始采樣序列x（n）以整數(shù)倍D進(jìn)行抽取，以形成一個(gè)新序列xD（m）使抽取后的抽取序列取樣率fs/D不小于載波信號(hào)最高頻率的2倍以滿足Nyquist采樣定理。根據(jù)取樣的不同起始時(shí)刻可以得到D個(gè)序列xD（m），xD（m+1），…，xD（m+D－1），對(duì)每個(gè)序列分別求取瞬時(shí)頻率序列fif（m），fif（m+1），…，fif（m+D－1），對(duì)瞬時(shí)頻率重構(gòu)后除以抽取倍數(shù)D，即可算得采樣頻率fs下的瞬時(shí)頻率?，F(xiàn)分析該算法的瞬時(shí)頻率分布情況。

從算法的描述中可知瞬時(shí)頻率依然服從Von Mises分布，但是分布的參數(shù)相應(yīng)的變?yōu)槿缦卤磉_(dá)式

從公式（9）可知，該算法比直接用差分法求瞬時(shí)頻率時(shí)信噪比提高了D2倍。該算法對(duì)于提高單一載波信號(hào)的瞬時(shí)頻率的估計(jì)精度具有良好的效果，但是對(duì)于頻率不是恒定的信號(hào)（如FSK信號(hào)），這種算法在提高估計(jì)精度的同時(shí)會(huì)引入虛假的瞬時(shí)頻率。原因是當(dāng)FSK信號(hào)頻率改變時(shí)，信號(hào)的瞬時(shí)相位變化曲線（理論上該變化曲線是一條直線）就會(huì)改變，將原始采樣信號(hào)以整數(shù)倍D進(jìn)行抽取后，對(duì)于相隔D點(diǎn)的2個(gè)相位有可能正好位于2個(gè)變化曲線上，差分運(yùn)算后就會(huì)產(chǎn)生虛假的瞬時(shí)頻率。當(dāng)信號(hào)的采樣速率遠(yuǎn)大于碼元速率且D較小，該算法所產(chǎn)生的虛假瞬時(shí)頻率對(duì)瞬時(shí)頻率的分布和瞬時(shí)頻率的判斷并無多大影響，但當(dāng)采樣頻率不夠高而抽取的D較大，或者信號(hào)的瞬時(shí)頻率變化較快時(shí)，這種虛假瞬時(shí)頻率的影響也許會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。

綜合以上分析，對(duì)于不同的載波信號(hào)應(yīng)采取不同的策略，對(duì)于單載波信號(hào)應(yīng)盡可能地選取較大的抽取倍數(shù)以提高估計(jì)精度，而對(duì)于多載波的信號(hào)，應(yīng)根據(jù)不同的應(yīng)用場合選取合適的抽取倍數(shù)。

3 蒙特—卡羅模擬實(shí)驗(yàn)

3.1 分布模擬

為了分析瞬時(shí)頻率計(jì)算方法對(duì)瞬時(shí)頻率概率分布的影響，分別對(duì)單載波信號(hào)和多載波信號(hào)進(jìn)行了仿真分析。圖2（a）對(duì)單一載波信號(hào)的瞬時(shí)頻率分別采用差分運(yùn)算和本文提出基于抽取與重構(gòu)的算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真（圖中D=1即為差分運(yùn)算方法），并且將仿真結(jié)果與各自的理論分布曲線畫在同一個(gè)圖上，以方便分析和比較。圖中歸一化頻率κ=1/15，信噪比ρ=10。差分運(yùn)算（D=1）的瞬時(shí)頻率分布與M（2π/15，10）的 Von Mises分布相一致，本文提出的算法當(dāng)D=3時(shí)的瞬時(shí)頻率分布與M（2π/15，90）的Von Mises分布相一致。圖2（b）對(duì)多載波信號(hào)（FSK）的瞬時(shí)頻率分別采用差分運(yùn)算和本文提出的算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，將仿真結(jié)果與各自的理論分布曲線同時(shí)畫在同一個(gè)圖上。圖中歸一化頻率，信噪比ρ=20約13 dB。從圖中可以明顯地看出:當(dāng)以2倍抽?。―=2）時(shí)，在O點(diǎn)附近產(chǎn)生了虛假瞬時(shí)頻率，當(dāng)兩瞬時(shí)頻率的分布曲線跟虛假的瞬時(shí)頻率沒有重疊時(shí)，是能夠?qū)⒃撎摷兕l率從真實(shí)的頻率中剔除出去，這樣就能提高瞬時(shí)頻率的估計(jì)精度。

圖2 不同的抽取值D對(duì)單載波信號(hào)和FSK載波信號(hào)瞬時(shí)頻率分布的影響Fig 2 Effect of different value of D on single carrier signal and the FSK carrier signal instantaneous frequency distribution

3.2 假設(shè)檢驗(yàn)計(jì)算

表1 瞬時(shí)頻率概率分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)Tab 1 Goodness-of-fit test of instantaneous frequency probability distribution

4 結(jié)論

本文提出了在AWGN信道中載波信號(hào)采樣序列的瞬時(shí)頻率的概率密度分布模型，并且通過假設(shè)檢驗(yàn)的方法驗(yàn)證了該假設(shè)，給出了假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果。同時(shí)根據(jù)該分布模型提出了一種提高瞬時(shí)頻率估計(jì)精度的算法。從仿真結(jié)果可以看出:在低信噪比的情況下，該算法仍能保持96%以上的正確率。文中還分析了多載波信號(hào)采樣序列的瞬時(shí)頻率產(chǎn)生混疊以至無法分辨的情況，推導(dǎo)了瞬時(shí)頻率完全混疊時(shí)的極限公式，并且詳細(xì)分析了虛假瞬時(shí)頻率產(chǎn)生原因。如果在后續(xù)的處理中能夠剔除這些虛假瞬時(shí)頻率，那么對(duì)于提高多載波信號(hào)瞬時(shí)頻率的估計(jì)性能也是非常有利的。

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