函數(shù)極值法求解三頻GNSS最優(yōu)載波相位組合觀測(cè)量

李金龍，楊元喜，何海波，徐君毅，郭海榮

1.信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052；2.西安測(cè)繪研究所，陜西 西安 710054；3.北京環(huán)球信息應(yīng)用開(kāi)發(fā)中心，北京 100094

1 引 言

利用全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（GNSS）多頻載波相位觀測(cè)量間誤差的相關(guān)性，構(gòu)造多頻載波相位觀測(cè)量的線性組合，形成具有長(zhǎng)波長(zhǎng)、弱電離層延遲影響以及小噪聲等優(yōu)良特性的載波相位組合觀測(cè)量，可以提高整周模糊度解算的成功率和周跳探測(cè)與修復(fù)的可靠性［1－2］。不同的線性組合系數(shù)，對(duì)應(yīng)不同的載波相位組合觀測(cè)量波長(zhǎng)、電離層延遲影響以及噪聲特性，進(jìn)而對(duì)應(yīng)不同的整周模糊度解算和周跳修復(fù)成功率。文獻(xiàn)［3］系統(tǒng)地研究了雙頻組合觀測(cè)量的定義及誤差特性，并利用GPS雙頻相位組合觀測(cè)量來(lái)提高模糊度函數(shù)法的計(jì)算效率和可靠性。文獻(xiàn)［4］研究了GALILEO四頻整系數(shù)相位組合觀測(cè)量的一般定義，并對(duì)有關(guān)的誤差影響進(jìn)行分析，然后根據(jù)一定的組合標(biāo)準(zhǔn)給出了一些具有特定性能的相位組合觀測(cè)量并分析其可能的應(yīng)用。文獻(xiàn)［5］系統(tǒng)地研究了GPS和GALILEO三頻相位組合觀測(cè)量在模糊度解算和提高定位精度方面可能帶來(lái)的優(yōu)勢(shì)。此外還有一些學(xué)者研究了三頻相位組合觀測(cè)量在模糊度解算［2，6－8］、周跳探測(cè)與修復(fù)和粗差檢測(cè)等方面的 應(yīng)用［9－11］。 然 而 目 前 文 獻(xiàn) 中 主 要 采 用 搜 索法［2－5，8－12］，基于一 定 的 準(zhǔn) 則 來(lái) 篩 選 最 優(yōu) 線 性 組 合系數(shù)。這樣做雖然簡(jiǎn)單可行，卻難以系統(tǒng)分析組合觀測(cè)量誤差影響特性隨線性組合系數(shù)的變化規(guī)律。文獻(xiàn)［13］系統(tǒng)研究了現(xiàn)代化后GPS三頻整系數(shù)組合觀測(cè)量的選取問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)線性組合系數(shù)之和與GPS三頻載波相位組合觀測(cè)量誤差特性密切相關(guān)，并通過(guò)解整數(shù)線性方程來(lái)求解最優(yōu)相位組合觀測(cè)量，然而其最優(yōu)載波相位組合求解方法無(wú)法擴(kuò)展到北斗系統(tǒng)。本文通過(guò)構(gòu)建三頻載波相位組合觀測(cè)量線性組合系數(shù)與波長(zhǎng)、電離層延遲影響系數(shù)以及線性組合系數(shù)之和之間的函數(shù)關(guān)系，提出基于函數(shù)極值法求解特定波長(zhǎng)和電離層延遲影響條件下的噪聲最優(yōu)線性組合系數(shù)，并利用本文方法求解GPS和北斗三頻最優(yōu)載波相位組合觀測(cè)量，驗(yàn)證了方法的有效性。

2 GNSS三頻載波相位組合觀測(cè)量

假設(shè)GNSS 3個(gè)載波頻率可分別表示為f1＝n1f0、f2＝n2f0和f3＝n3f0，f0為基準(zhǔn)頻率，n1、n2和n3為互質(zhì)正整數(shù)（如GPS：f0＝10.23MHz，n1＝154，n2＝120，n3＝115；北斗［14］：f0＝2.046MHz，n1＝763，n2＝620，n3＝590），則以周為單位的三頻載波相位組合觀測(cè)量可表示如下［12－13］

式中，ρ為衛(wèi)星至接收機(jī)的幾何距離（包含衛(wèi)星鐘差、接收機(jī)鐘差和對(duì)流層延遲誤差等與頻率無(wú)關(guān)的誤差）；K1／f21為頻率f1上的一階電離層延遲誤差；λijk、κijk、Nijk和εijk分別為φijk的等效波長(zhǎng)、以米為單位的電離層延遲影響系數(shù)、組合模糊度和以周為單位的組合觀測(cè)噪聲，且λijk＝c／fijk，κijk＝μijkλijk，φijk＝iφ1＋jφ2＋kφ3，Nijk＝iN1＋jN2＋kN3，εijk＝iε1＋jε2＋kε3。其中，c為真空中的光速；φm、Nm和εm分別為fm（m＝1，2，3）上以周為單位的載波相位觀測(cè)量、非差模糊度和以周為單位的測(cè)量噪聲；fijk和μijk分別為φijk的頻率和以周為單位的電離層延遲影響系數(shù)，且fijk和μijk的表達(dá)式為［12－13］

式中，λ1＝c／f1為頻率f1對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。假設(shè)3個(gè)原始載波相位觀測(cè)量統(tǒng)計(jì)不相關(guān)，且以周為單位的測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差均為σε，則φijk的以周為單位的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為［12－13］

對(duì)于整周模糊度解算和周跳探測(cè)與修復(fù)等問(wèn)題，一般要求載波相位組合觀測(cè)量滿足如下4個(gè)條件［15］：① 組合模糊度具有整周特性，即i、j、k均在整數(shù)域取值；② 具有較長(zhǎng)波長(zhǎng)，即fijk較?。虎?以周為單位的電離層延遲影響系數(shù)較小，即μijk較?。虎?以周為單位的組合觀測(cè)噪聲較小，即Tijk較小。根據(jù)式（2）和式（3），上述4個(gè)條件等價(jià)于如下表達(dá)式

式中，Z為整數(shù)集；α、β和γ為特定閾值。根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需求具體設(shè)定式（4）中α、β和γ值，則由條件④可得i、j、k取值范圍為［－γ，γ］［9］。在此范圍內(nèi)根據(jù)條件（2）和（3）進(jìn)行搜索即可得到滿足條件的線性組合系數(shù)i、j、k。這種方法雖然簡(jiǎn)單可行，但不能揭示組合觀測(cè)量誤差特性隨線性組合系數(shù)變化的規(guī)律性，不利于對(duì)線性組合系數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)分類。

3 構(gòu)建線性組合系數(shù)集

三頻載波相位觀測(cè)量可組成無(wú)窮多的線性組合，為了搜索噪聲放大系數(shù)最小的最優(yōu)線性組合系數(shù)，首先需要構(gòu)建具有特定波長(zhǎng)和電離層延遲影響系數(shù)的線性組合系數(shù)集。由于i、j、k在整數(shù)域取值，根據(jù)式（4）中條件（b）和（c），由整系數(shù)線性方程解存在理論可知［16］

式中，gcd（·）為最大公約數(shù)算子；Lijk和Iijk為由線性組合系數(shù)決定的特定整數(shù)，隨著線性組合系數(shù)取值在整數(shù)域變化，Lijk和Iijk可取到任意整數(shù)值。由式（5）可知，Lijk和Iijk均為線性組合系數(shù)i、j、k的整數(shù)線性變換值，可定義Lijk和Iijk分別為φijk的巷數(shù)和電離層數(shù)［13，17］。由于n1、n2和n3為互質(zhì) 正 整 數(shù)，即 有g(shù)cd（n1，n2，n3）＝1，從 而 由式（2）和式（5）可得

式中，λ0＝c／f0為基準(zhǔn)頻率f0對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)；Qijk為以周為單位的電離層延遲放大系數(shù)。從式（6）可知，Lijk和Iijk表征了φijk波長(zhǎng)和電離層延遲影響系數(shù)的大小，當(dāng)Lijk＝1時(shí)，可得GNSS三頻整系數(shù)載波相位組合觀測(cè)量的最大有效波長(zhǎng)為基準(zhǔn)頻率f0對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)λ0，如GPS為29.3m，北斗為146.5m；而Iijk＝0則表示無(wú)電離層延遲載波相位組合觀測(cè)量。

不過(guò)對(duì)于特定的Lijk和Iijk，線性組合系數(shù)i、j、k有無(wú)窮多組，即僅以Lijk和Iijk不足以唯一確定線性組合系數(shù)?？紤]到線性組合系數(shù)之和Sijk與載波相位組合觀測(cè)量的誤差特性密切相關(guān)［13，17］，于是定義線性組合系數(shù)i、j、k的第3個(gè)整數(shù)線性變換為

從而由式（5）和式（7）可得

式中，Z為整數(shù)變換矩陣；c＝［ijk］T。若矩陣Z的行列式detZ≠0，由式（8）可得

式中，Z＊為矩陣Z的伴隨矩陣，列向量l、i、s分別表示矩陣Z＊的第1、第2、第3列。從式（9）可知，若detZ＝±1，由于Z＊為整數(shù)矩陣，則c與cz存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即任意給定Sijk值，由式（9）均可直接解得具有特定Lijk和Iijk的線性組合系數(shù)；若detZ≠±1，則對(duì)于特定Lijk和Iijk，Sijk取值應(yīng)確保根據(jù)式（9）解得的線性組合系數(shù)為整數(shù)。由此，隨著線性組合系數(shù)之和Sijk取值在整數(shù)域變化，由式（9）可獲得具有特定Lijk和Iijk的線性組合系數(shù)集。

4 基于函數(shù)極值法求解最優(yōu)線性組合系數(shù)

基于具有特定波長(zhǎng)（Lijk）和電離層延遲影響系數(shù)（Iijk）的線性組合系數(shù)集，可通過(guò)函數(shù)極值法求解噪聲放大系數(shù)Tijk最優(yōu)的線性組合系數(shù)。令h＝lLijk＋iIijk，由式（9）可得

將上式對(duì)Sijk求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)值等于零可得

設(shè)定round（）為就近取整算子，則round）即為在特定Lijk和Iijk下使噪聲放大系數(shù)Tijk最小的Sijk。如果detZ≠±1，則round）應(yīng)為滿足由式（9）解得的線性組合系數(shù)為整數(shù)且與最接近的整數(shù)值Sijk。將所得Sijk代入式（9）即可獲得特定波長(zhǎng)和電離層延遲影響系數(shù)下的噪聲最優(yōu)線性組合系數(shù)。由式（11），根據(jù)GPS和北斗相應(yīng)的載波頻率值有

由于上式中Lijk的系數(shù)較小，當(dāng)Lijk取值較?。úㄩL(zhǎng)較大）時(shí)有

根據(jù)式（14）可知，對(duì)于波長(zhǎng)較長(zhǎng)且以周為單位噪聲放大系數(shù)較小的載波相位組合觀測(cè)量，其以周為單位的電離層延遲放大系數(shù)隨線性組合系數(shù)之和的增大而增大，約為線性組合系數(shù)之和的2.3倍。此外，式（11）可變換為如下形式

式（15）即為線性組合系數(shù)之和Sijk取特定值時(shí)，噪聲放大系數(shù)Tijk最小的線性組合系數(shù)其相應(yīng)巷數(shù)Lijk與電離層數(shù)Iijk之間應(yīng)滿足的關(guān)系式。根據(jù)式（15）可以在Lijk、Iijk（Qijk）平面內(nèi)繪出對(duì)應(yīng)于不同Sijk值的最小噪聲軸。對(duì)于GPS和北斗，Lijk、Iijk（Qijk）平面內(nèi)Sijk＝0、±1、2時(shí)的最小噪聲軸見(jiàn)圖1和圖2（由于GPS和北斗基準(zhǔn)頻率為5倍關(guān)系，故圖1和圖2中橫坐標(biāo)取值范圍不同，并綜合考慮波長(zhǎng)和電離層延遲放大系數(shù)大小確定橫縱坐標(biāo)取值范圍）。

圖1 GPS最小噪聲軸分布圖Fig.1 Location of GPS minimal noise axes

圖2 北斗最小噪聲軸分布圖Fig.2 Location of BeiDou minimal noise axes

從圖1和圖2同樣可以看出：GPS和北斗三頻載波相位組合觀測(cè)量中，具有長(zhǎng)波長(zhǎng)（Lijk取值較小）且噪聲較小的超寬巷組合（GPS：1≤Lijk≤10，北斗：1≤Lijk≤50），其以周為單位的電離層延遲放大系數(shù)隨線性組合系數(shù)之和的增大而增大；而具有弱電離層影響（Qijk取值較?。┣以肼曒^小的載波相位組合觀測(cè)量，其波長(zhǎng)隨線性組合系數(shù)之和的增大而減小。因此，噪聲較小和以周為單位的電離層延遲放大系數(shù)較小的最優(yōu)（波長(zhǎng)盡量大）窄巷組合（GPS：Lijk＞154，北斗：Lijk＞763），其線性組合系數(shù)之和宜為1。

5 計(jì)算與分析

為驗(yàn)證本文方法的正確性，利用GPS和北斗3個(gè)載波頻率值，基于本文方法搜索相應(yīng)的載波相位組合。由于篇幅限制，此處只給出北斗最優(yōu)載波相位組合的搜索結(jié)果：以1≤Lijk≤50，｜Qijk｜＜5，Tijk≤15為條件，根據(jù)式（11）和式（9）搜索得到的北斗超寬巷（λ≥2.93m）見(jiàn)表1；以1200≤Lijk≤1500，｜Qijk｜＜0.3，Tijk≤10為條件，根據(jù)式（11）和式（9）搜索得到北斗窄巷組合（λ＜0.19m）見(jiàn)表2（為方便對(duì)比，將f1上的原始載波相位觀測(cè)量也列于表2中）。

分析比較以上計(jì)算結(jié)果可知：

（1）表1中列出的超寬巷組合以周為單位的電離層延遲放大系數(shù)均為線性組合系數(shù)之和的2.3倍左右，驗(yàn)證了前文分析結(jié)論。對(duì)于線性組合系數(shù)之和等于0的超寬巷組合，其以周為單位的電離層延遲影響系數(shù)和噪聲放大系數(shù)均較小，適合于解算中長(zhǎng)基線模糊度和探測(cè)與修復(fù)低采樣率數(shù)據(jù)的周跳，如北斗組合（－1，6，－5）、（1，－5，4）、（0，1，－1）和（－1，7，－6），分米級(jí)的電離層延遲誤差對(duì)其模糊度解算的影響均小于0.1周。而對(duì)于線性組合系數(shù)之和不等于0的超寬巷組合，厘米級(jí)的電離層延遲誤差對(duì)其模糊度解算的影響就大于0.1周，因此只適合于解算短基線模糊度和探測(cè)與修復(fù)高采樣率數(shù)據(jù)的周跳。

表1 北斗的超寬巷組合Tab.1 The extra－wide－lane combinations for BeiDou

續(xù)表1

表2 北斗Sijk＝1時(shí)的窄巷組合Tab.2 The narrow－lane combinations for BeiDou（Compass）when Sijk＝1

（2）表2中北斗窄巷組合（4，2，－5）和（5，－3，－1）的電離層延遲影響系數(shù)非常小，米級(jí)的電離層延遲誤差對(duì)其模糊度解算的影響小于0.1周，對(duì)其定位解算影響也小于1cm，且波長(zhǎng)大于10cm，故適用于中長(zhǎng)基線幾何模式模糊度解算和精密定位。

為驗(yàn)證上述結(jié)論，將表1中所有的相位組合應(yīng)用于偽距相位組合法探測(cè)三頻非差觀測(cè)數(shù)據(jù)周跳。由于偽距相位組合周跳探測(cè)對(duì)數(shù)據(jù)采樣間隔的敏感程度主要取決于相應(yīng)相位組合的電離層延遲影響［10］，因此通過(guò)對(duì)比不同相位組合與同一偽距觀測(cè)量構(gòu)造的偽距相位組合的周跳探測(cè)性能，即可驗(yàn)證相應(yīng)相位組合是否適合于低采樣率數(shù)據(jù)的周跳探測(cè)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)為2010年6月28日于北京收集的一組北斗衛(wèi)星的三頻靜態(tài)數(shù)據(jù)，采樣間隔為1s，觀測(cè)時(shí)段為4h。原始觀測(cè)數(shù)據(jù)中不包含周跳，試驗(yàn)中每600s模擬一個(gè)組合周跳值僅為1周的小周跳，并通過(guò)刪除數(shù)據(jù)的方法分別進(jìn)行了1s、30s、60s、120s、300s及600s共6種采樣間隔的周跳探測(cè)與修復(fù)試驗(yàn)。圖3和圖4分別是采樣間隔為1s和600s時(shí)表1中各相位組合的周跳估值序列（圖中藍(lán)色、綠色和紅色分別對(duì)應(yīng)于組合系數(shù)之和的絕對(duì)值為0、1和2的相位組合），表3為根據(jù)組合系數(shù)之和進(jìn)行分組的各相位組合周跳探測(cè)與修復(fù)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果（包括周跳估值的最小值、最大值以及探測(cè)到周跳并正確修復(fù)的成功率）。

圖3 周跳估值序列（1s）Fig.3 The series of cycle－slip estimate（1s）

圖4 周跳估值序列（600s）Fig.4 The series of cycle－slip estimate（600s）

表3 周跳探測(cè)與修復(fù)結(jié)果Tab.3 The result of cycle－slip detection and repair

從圖3可知，當(dāng)采樣間隔為1s時(shí)，表1中所有相位組合在未加周跳歷元的周跳估值均小于0.3周，而在加周跳歷元所有相位組合的周跳估值與周跳真值1周的偏差都在0.2周內(nèi)，即所有相位組合均可探測(cè)并修復(fù)組合周跳值僅為1周的周跳。然而，由圖4可知，當(dāng)采樣間隔為600s時(shí)，周跳估值序列根據(jù)組合系數(shù)之和的不同而出現(xiàn)明顯的分群現(xiàn)象：組合系數(shù)之和不為0的相位組合的周跳估值序列出現(xiàn)了大于0.5周的波動(dòng)，且組合系數(shù)之和絕對(duì)值越大，波動(dòng)越大，從而導(dǎo)致周跳誤探情況且相應(yīng)周跳估值嚴(yán)重偏離周跳真值；而組合系數(shù)之和為0的相位組合的周跳估值均小于0.5周，且加周跳歷元的周跳估值仍然接近于周跳真值1周，進(jìn)而可以準(zhǔn)確探測(cè)并正確修復(fù)所有周跳。此外，從表3的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也可以看出，周跳探測(cè)并正確修復(fù)的成功率隨著組合系數(shù)之和的增大而降低，而組合系數(shù)之和為0的相位組合即使數(shù)據(jù)采樣間隔達(dá)到600s，仍然可以探測(cè)并正確修復(fù)組合周跳值僅為1周的小周跳，這驗(yàn)證了前面分析結(jié)論的正確性。

6 結(jié) 論

本文通過(guò)構(gòu)建具有特定波長(zhǎng)和電離層延遲影響系數(shù)的線性組合系數(shù)集，提出了求解三頻載波相位組合觀測(cè)量最優(yōu)線性組合系數(shù)的函數(shù)極值法，并得出如下結(jié)論：

（1）線性組合系數(shù)取整數(shù)的GNSS三頻載波相位組合觀測(cè)量，其有效波長(zhǎng)最大值為基準(zhǔn)頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)，如GPS為29.3m，北斗為146.5m。

（2）波長(zhǎng)較長(zhǎng)且以周為單位噪聲放大系數(shù)較小的GPS和北斗三頻載波相位組合觀測(cè)量，其以周為單位的電離層延遲放大系數(shù)隨組合系數(shù)之和的增大而增大，約為其線性組合系數(shù)之和的2.3倍；而具有弱電離層延遲影響且以周為單位噪聲放大系數(shù)較小的GPS和北斗三頻載波相位組合觀測(cè)量，其波長(zhǎng)隨線性組合系數(shù)之和的增大而減小。

（3）對(duì)于GPS和北斗三頻載波相位組合觀測(cè)量，具有長(zhǎng)波長(zhǎng)和弱電離層延遲影響的噪聲最優(yōu)超寬巷組合，其線性組合系數(shù)之和宜等于0，而具有弱電離層延遲影響的最優(yōu)窄巷組合，其線性組合系數(shù)之和宜等于1。

（4）線性組合系數(shù)之和等于0的超寬巷組合適合于中長(zhǎng)基線模糊度解算和低采樣率數(shù)據(jù)的周跳探測(cè)與修復(fù)，而線性組合系數(shù)之和不等于0的超寬巷組合僅適用于解算短基線模糊度和探測(cè)與修復(fù)高采樣率數(shù)據(jù)周跳。

［1］ YANG Yuanxi.Progress，Contribution and Challenges of Compass／Beidou Satellite Navigation System ［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（1）：1－6.（楊元喜.北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的進(jìn)展、貢獻(xiàn)與挑戰(zhàn)［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2010，39（1）：1－6.）

［2］ FENG Y.GNSS Three Carrier Ambiguity Resolution Using Ionosphere－reduced Virtual Signals［J］.Journal of Geodesy，2008，82（12）：847－862.

［3］ HAN Shaowei.Theory and Applications of the Combinations of GPS Dual Frequency Carrier Phase Observations［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1995，24（2）：8－13.（韓紹偉.GPS組合觀測(cè)值理論及應(yīng)用［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，1995，24（2）：8－13.）

［4］ WANG Zemin，LIU Jingbin.Model of Inter－Frequency Combinations of Galileo GNSS ［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2003，28（6）：723－727.（王澤民，柳景斌.Galileo衛(wèi)星定位系統(tǒng)相位組合觀測(cè)值的模型研究［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2003，28（6）：723－727.）

［5］ URQUHART L.An Analysis of Multi－frequency Carrier Phase Linear Combinations for GNSS：Technical Report No.263［R］.Fredericton：University of New Brunswick，2009.

［6］ RICHERT T，EL－SHEIMY N.Optimal Linear Combinations of Triple Frequency Carrier Phase Data from Future Global Navigation Satellite Systems［J］.GPS Solutions，2007，11（1）：11－19.

［7］ FAN Jianjun，WANG Feixue.A Method for GNSS Three Frequency Ambiguity Resolution Based on Short Baselines［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36（1）：43－49.（范建軍，王飛雪.一種短基線GNSS的三頻模糊度解算（TCAR）方法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2007，36（1）：43－49.）

［8］ LI Bofeng，SHEN Yunzhong，ZHOU Zebo.A New Method for Medium and Long Range Three Frequency GNSS Rapid Ambiguity Resolution［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38（4）：296－301.（李博峰，沈云中，周澤波.中長(zhǎng)基線三頻GNSS模糊度的快速算法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2009，38（4）：296－301.）

［9］ CHANG Zhiqiao，LIU Li，HE Haibo.Detecting and Repairing Cycle Slip Using Triple－frequency Data Based on the Optimal Combination Observations［C］∥CSNC2010.Beijing：［s.n.］，2010：1－6.（常志巧，劉利，何海波.基于最優(yōu)觀測(cè)組合的三頻周跳探測(cè)與修復(fù)［C］∥第一屆中國(guó)衛(wèi)星導(dǎo)航學(xué)術(shù)年會(huì)（CSNC2010）.北京：［s.n.］，2010：1－6.）

［10］ LI Jinlong，YANG Yuanxi，XU Junyi，et al.Real－time Cycle－slip Detection and Repair Based on Code－phase Combinations for GNSS Triple－frequency Un－differenced Observations［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（6）：717－722.（李金龍，楊元喜，徐君毅，等.基于偽距相位組合實(shí)時(shí)探測(cè)與修復(fù)GNSS三頻非差觀測(cè)數(shù)據(jù)周跳［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2011，40（6）：717－722.）

［11］ LIU Xuchun，WU Yue，HUANG Xuebin，et al.Application of GPS Multi－frequency Carrier Phase Combinations for Preprocessing of Original Carrier Phase Observations［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2007（2）：14－17.（劉旭春，伍岳，黃學(xué)斌，等.多頻組合數(shù)據(jù)在原始載波觀測(cè)值預(yù)處理中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪通報(bào)，2007（2）：14－17.）

［12］ HAN S W，RIZOS C.The Impact of Two Additional Civilian GPS Frequencies on Ambiguity Resolution Strategies［C］∥Proceedings of ION Annual Technical Meeting.Cambridge：ION，1999：315－321.

［13］ COCARD M，BOURGON S，KAMALI O，et al.A Systematic Investigation of Optimal Carrier－phase Combinations for Modernized Triple－frequency GPS［J］.Journal of Geodesy，2008，82（9）：555－564.

［14］ China Satellite Navigation Office.Beidou （COMPASS）Navigation Satellite System Development［R］.Munich：Munich Satellite Navigation Summit 2010，2010.

［15］ WU Yue.The Theory and Application on Multi－frequency Data Processing of GNSS 2［D］.Wuhan：Wuhan University，2005.（伍岳.第二代導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)多頻數(shù)據(jù)處理理論及應(yīng)用［D］.武漢：武漢大學(xué)，2005.）

［16］ NATHANSON M B.Elementary Methods in Number Theory［M］.New York：Springer－Verlag，2000.

［17］ LI Jinlong.Researches on the Algorithms of GNSS Triple Frequency Precise Positioning［D］.Zhengzhou：Information Engineering University，2011.（李金龍.GNSS三頻精密定位數(shù)據(jù)處理方法研究［D］.鄭州：信息工程大學(xué)，2011.）