含下有界非線性項的一類特征值問題解的存在性

韓開山，劉寶芳

（中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原030051）

本文考察下列三階三點非線性特征值問題解的存在性與多解性

于是M≥0．非線性三階三點邊值問題

受姚慶六和Henderson等人研究的啟發(fā)［1－3]，本文在非線性項f下有界的情況下（因而允許f取負值），利用錐拉伸與錐壓縮型的Krasnosel′skii不動點定理處理三階三點非線性特征值問題（P）并獲得一些新的存在性與多解性的結(jié)論．本文主要工作是對文獻［1] 的結(jié)果進行改進和推廣，主要思想來自論文［1－3] ．

1 引理

顯然g：［0，1] ×（－∞，＋∞）→［0，＋∞）連續(xù)．

考察三點邊值問題

其中ω0（t）＝λMt（t2－3t＋6η－3η2）．注意到

引理1 ω＊是問題（P）的解當且僅當＝＋ω0是問題（P′）的解．證明 必要性：設(shè)ω＊是問題（P）的解，則滿足ω＊?（t）＝λf（t，ω＊（t））且ω＊（0）＝ω＊′（η）＝ω＊″（1）＝0，這樣

所以ω＊是問題（P）的解．

設(shè)齊次方程ω?（t）＝0，0≤t＜1在問題（P）中邊界條件下的Green函數(shù)為G（t，s）［4]，即

顯然G（t，s）＞0，（t，s）∈（0，1）×（0，1）．經(jīng)計算

其中

眾所周知，算子T的不動點即為問題（P′）的解．

引理2 T：K→K是全連續(xù)的．

證明 設(shè)ω∈K，那么Tω∈C（［0，1] ，［0，＋∞）），因為（Tω）?（t）＝λg（s，ω（s）－ω0（s））≥0，0≤t≤1，（Tω）″（t）在［0，1] 上是一個遞增函數(shù)，因為（Tω）″（1）＝0，有（Tω）″（t）≤0，0≤t≤1，因此Tω是一個凹函數(shù)，即對任意t1，t2，γ∈［0，1] ，

因為（Tω）（0）＝0，存在t0∈［0，1] ，使得（Tω）（t0）＝‖Tω‖．利用Tω的凹性，

若t0＝1，可得（Tω）（t）≥‖Tω‖t≥‖Tω‖min｛t，1－t｝，t∈［0，1] ；

從而（Tω）（t）≥‖Tω‖min｛t，1－t｝，t∈［0，1] ，所以（Tω）（t）≥‖Tω‖｛t，1－t｝＝σ‖Tω‖．

從而T：K→K且由Ascoli－Arzela定理可知T是全連續(xù)的．

引理3 （錐拉伸和錐壓縮型的krasnosel′skii不動點定理）［5－6]

設(shè)E是Banach空間，K?E是E中的錐，假設(shè)Ω1及Ω2是E的開子集，0∈Ω1，且?Ω2，T：K∩→K是全連續(xù)算子．如果以下兩條件之一成立：

（?。琓u‖≤‖u‖，?u∈K∩?Ω1且‖Tu‖≥‖u‖，?u∈K∩?Ω2；

（ⅱ）‖Tu‖≤‖u‖，?u∈K∩?Ω2且‖Tu‖≥‖u‖，?u∈K∩?Ω1．

對于l＞0，本文采用下列記法：

還需下列極限：

2 主要結(jié)果

下面給出本文的主要結(jié)果并且列出如下假設(shè)：

（H1）f（t，ω（t））：［0，1] ×（－∞，＋∞）→（－∞，＋∞）連續(xù)且下有界，

（H2）M＝－min｛inf｛f（t，l）：（t，l）∈［0，1] ×（－∞，＋∞）｝，0｝，

（H3）ψ∞＞0，φ0＜∞且＜

（H4）φ0＞0，ψ∞＜∞且＜

定理1 假設(shè)（H1）－（H3）成立，則對任意λ∈，非線性特征值問題（P）至少有一個解．

令Ω1＝｛ω∈K：‖ω‖＜R1｝，當ω∈?Ω1，0≤ω（s）≤R1，有

令Ω2＝｛ω∈K：‖ω‖＜R2｝，當ω∈?Ω2，σR2≤ω（s）≤R2，α≤t≤β，

利用引理2及引理3，算子T有一個不動點，即問題（P′）有一個解∈K，再根據(jù)引理1知ω＊＝－ω0為問題（P）的解．

定理2 假設(shè)（H1）、（H2）、（H4）成立，則對任意λ∈，非線性特征值問題（P）至少有一個解．

令Ω4＝｛ω∈K：‖ω‖＜R4｝，當ω∈?Ω4，σR4≤ω（s）≤R4，α≤t≤β，g（s，ω（s）－ω（s））≥ψ（R）≥R，044

所以

利用引理2及引理3，算子T有一個不動點，即問題（P′）有一個解∈K，再根據(jù)引理1知ω＊＝－ω0為問題（P）的解．

當λ＝1時，有如下結(jié)果：

定理3 假設(shè)（H1）、（H2）成立，且存在兩個正數(shù)a，b使得φ（a）≤aA，ψ（b）≥bB，則問題（P）至少有一個解ω＊滿足ω＊＋ω0∈K并且min｛a，b｝≤‖ω＊＋ω0‖≤max｛a，b｝，此外，若

證明 因為A＜B，容易看出a≠b，記Ωa＝｛ω∈K：‖ω‖＜a｝，Ωb＝｛ω∈K：‖ω‖＜b｝，如果ω∈?Ωa，則0≤ω（s）≤a，0≤t≤1，于是，0≤g（t，ω（t）－ω0（t））≤φ（a）≤aA，0≤t≤1，則

如果ω∈?Ωb，則σb≤ω（s）≤b，α≤t≤β，于是，g（t，ω（t）－ω0（t））≥ψ（b）≥bB，α≤t≤β，則

利用引理2及引理3，算子T有一個不動點，即問題（P′）有一個解∈K，且a≤‖‖≤b，再根據(jù)引理1我們知ω＊＝－ω0為問題（P）的解．

定理得以證明．

定理4 假設(shè)（H1），（H2）成立，且存在三個正數(shù)a＜b＜c使得下列條件之一成立：

證明 僅證（?。?，因為ψ：［0，＋∞）→［0，∞）連續(xù)，知存在a＜b1＜b＜b2＜c使得ψ（b2）＞b2B并且ψ（b1）＞b1B，這樣分別對于｛a，b1｝，｛b2，c｝使用定理3可推出所需的結(jié)論．

定理5 假設(shè)（H1）、（H2）成立，且存在四個正數(shù)a＜b＜c＜d使得下列條件之一成立：（ⅰ）φ（a）≤aA，ψ（b）＞bB，φ（c）＜cA，ψ（d）≥dB，

（ⅱ）ψ（a）≥aB，φ（b）＜bA，ψ（c）＞cB，φ（d）≤dA

證明 僅證（?。?，因為ψ：［0，＋∞）→［0，∞）連續(xù)，φ：［0，＋∞）→［0，∞）連續(xù)，知存在

a＜b1＜b＜b2＜c1＜c＜c2＜d使得ψ（b2）＞b2B并且ψ（b1）≥b1B，φ（c1）＜c1A，φ（c2）≤c2A，這樣分別對于｛a，b1｝，｛b2，c1｝，｛c2，d｝使用定理3可推出所需的結(jié)論．

［1] 姚慶六．On the existence of positive solution for a nonlinear third－order three－piont boundary value problem［J] ．東北數(shù)學(xué)，2003，19（3）：244－248．

［2] 姚慶六．含下有界非線性項的一類彈性梁方程解的存在性與與多解性［J] ．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2004，27（1）：117－122．

［3] Henderson J．Positive solutions for nonlinear eigenvalue problems［J] ．J．Math．Anal．Appl，1997，208：252－289．

［4] Anderson D．Multiple positive solutions for a three－point boundary value problem［J] ．Math．comp．mode，1998，27（6）：49－57．

［5] 毛安民，欒世霞．非線性特征值問題的正解［J] ．數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，24A（2）：167－174．

［6] 鐘承奎，范先令，陳文源．非線性泛函分析引論［M] ．蘭州：蘭州大學(xué)出版社，1998．