定積分在高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用探微

劉益民

（江蘇省寶應(yīng)縣中學(xué) 江蘇 寶應(yīng) 225800）

蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2－2教材新增加了定積分內(nèi)容，其中講到了曲邊梯形的面積、變速運(yùn)動路程、變力做功等問題，這為我們學(xué)好高中物理增添了一種新的數(shù)學(xué)方法，筆者也將定積分思想與方法滲透到高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，做了一些嘗試，以尋求高中數(shù)理新的結(jié)合點(diǎn).

1 物理概念的滲透

高中物理教材中有不少物理概念要能真正掌握，不僅僅是字面上去理解，而且需要在概念的內(nèi)涵與外延上挖掘，注意定積分思想的滲透.

例1.如圖1所示，長為L、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿在水平面內(nèi)以恒定的角速度ω繞通過桿端的豎直軸O轉(zhuǎn)動，試求桿的動能.

錯(cuò)解：由v＝ωr可知桿上各點(diǎn)速度與半徑成正比，桿的中點(diǎn)速度v＝ωL／2.因此桿的動能為

圖1

解析：桿的動能即桿各部分所有動能之和，因此將桿微元成無數(shù)份.設(shè)桿的線密度為η＝m／L，每一份桿的動能為桿的動能為

小結(jié)：本題學(xué)生分析錯(cuò)誤的原因是因?yàn)闂U不是質(zhì)點(diǎn)問題，動能與速度平方成正比，不能簡單用中點(diǎn)速度來代入，而通過本題動能定積分計(jì)算讓學(xué)生體會到積分思想即累加，當(dāng)然也需要先進(jìn)行微元處理，寫出對應(yīng)的微分形式.

證明：設(shè)流過定值電阻R的電流按正弦規(guī)律變化，即i＝Imsinωt，因?yàn)闀r(shí)刻t瞬時(shí)功率P＝i2R＝I2mRsin2ωt，因?yàn)榇肭蟮脛t1個(gè)周期內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為代入上式得

小結(jié)：交流電的有效值是由電流熱效應(yīng)來定義的，而由于電流變化的原因，正常復(fù)習(xí)教學(xué)大多數(shù)教師仍然對學(xué)生強(qiáng)調(diào)僅正弦式才有但不解釋，更不推導(dǎo)，因此學(xué)生仍然不甚理解，應(yīng)用時(shí)容易出錯(cuò).因此，對正弦式電流有效值的證明使用定積分這也是一種復(fù)習(xí)教學(xué)中有益嘗試，畢竟學(xué)生已有定積分的基礎(chǔ)，同時(shí)也可作出瞬時(shí)功率P－t圖，如圖2所示，由定積分思想可知圖像面積即焦耳熱，再由“割補(bǔ)法”可知，等效直流電的電流

圖2

2 物理規(guī)律的拓展

在高三物理復(fù)習(xí)過程中，有些物理規(guī)律僅定性或半定量地給出相關(guān)規(guī)律，而沒有定量給出計(jì)算公式，如典型的平方反比規(guī)律延伸出的勢能、電勢等概念，這在實(shí)際解題過程如果適時(shí)利用定積分補(bǔ)充一點(diǎn)，這些規(guī)律就會淺顯易懂、我們就會應(yīng)用自如.

例3.試推導(dǎo)第二宇宙速度v2≈11.2km／s.

解析：取r為積分變量，r∈［R，＋∞）取任一小區(qū)間［r，r＋dr］.這微小過程中萬有引力做功則當(dāng)將物體由地面移到無窮遠(yuǎn)處過程中萬有引力做的總功為

要使物體恰好脫離地球引力的束縛，在這過程中，由動能定理得即第二宇宙速度

小結(jié)：此題同時(shí)延伸得到了引力勢能的公式Ep＝教師也可進(jìn)一步拓展得到點(diǎn)電荷電勢能的公式這將讓學(xué)生對黑洞問題、點(diǎn)電荷能量等問題不再抽象.

例4.如圖3所示，真空中有4點(diǎn)A、B、C、D共線等距，只在A點(diǎn)放一電荷量為＋Q的點(diǎn)電荷時(shí)，B點(diǎn)的場強(qiáng)為E，B、C兩點(diǎn)的電勢分別為8V、4V.若再將等量異號電荷－Q放在D點(diǎn)，則

圖3

（C）BC線段中點(diǎn)電勢為零.

（D）B、C兩點(diǎn)的電勢分別為4V和－4V.

解析：根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，B點(diǎn)電場由兩電荷共同產(chǎn)生，易得場強(qiáng)大小為5E／4，方向水平向右，即（B）對；而由已知正電荷在B、C兩點(diǎn)產(chǎn)生的電勢分別為8V、4V，則等量負(fù)電荷在在B、C兩點(diǎn)產(chǎn)生的電勢分別為－4V、－8V，因此最終同時(shí)放置兩電荷時(shí)B、C兩點(diǎn)的電勢分別為4V和－4V，（D）對；又由于對稱性BC線段中點(diǎn)電勢為零，（C）對.

拓展：點(diǎn)電荷電勢公式及電勢疊加原理，如圖4所示，取r為積分變量，再取一小區(qū)間［r，r＋dr］，可視為勻強(qiáng)電場，則在一小區(qū)間存在的電勢差以無窮遠(yuǎn)處為0電勢點(diǎn)，則P點(diǎn)的電勢即為P點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)電勢差為

圖4

小結(jié)：本題涉及到電勢疊加問題，如果不引入點(diǎn)電荷電勢公式，需要引入試探電荷，通過做功方法比較高低以及確定電勢多少，這種方法繁而難懂，而由勻強(qiáng)電場U＝Ed出發(fā)，在一般電場中使用定積分物理意義清晰，分析簡捷，不失為一個(gè)電勢難題的好方法.

3 物理思維方法的升華

圖像法是高中物理思維方法中的重要方法之一，而物理圖像中面積的物理意義通常都是需要關(guān)注的，圖像的面積從數(shù)學(xué)角度來講就是一種定積分，因此通過定積分來看圖、甚至于作圖就是一種全新的思維方法.

例5.如圖5所示，在兩平行金屬板中央有一個(gè)靜止的電子（不計(jì)重力），當(dāng)兩板間加上如圖6所示的交變電壓后，電子始終未打到板，則電子不可能做往返運(yùn)動的電壓是

圖5

圖6

解析：速度－時(shí)間圖像法：可作出4個(gè)選項(xiàng)大致的速度－時(shí)間圖像如圖7所示，進(jìn)而非常容易地判斷出電子是否在做往返運(yùn)動.（A）、（B）、（D）選項(xiàng)中的電壓變化規(guī)律雖不同，但都是在1個(gè)周期內(nèi)先加速再減速，然后反向加速，最后再反向減速即1個(gè)周期內(nèi)又回到原出發(fā)點(diǎn)，做往返運(yùn)動.而（C）選項(xiàng)的1周期內(nèi)，前內(nèi)做變加速運(yùn)動，后內(nèi)做同向的變減速運(yùn)動，速度變?yōu)?，然后又繼續(xù)向前，不會做往返運(yùn)動，故（C）選項(xiàng)正確.

圖7

拓展：定積分法 對于運(yùn)動某一時(shí)刻的速度的獲得是由于電壓作用引起的，因此有而即電壓 －時(shí)間圖像下所圍成的面積.因此只有（C）選項(xiàng)中圖像面積始終非負(fù)值，即不是往返運(yùn)動.

發(fā)散1：若已知兩平行金屬板M、N相距為d，在板間加一正弦交流電如上題（C）選項(xiàng)所示.在t＝0時(shí)刻，質(zhì)量為m、電荷量為e的電子由板中央釋放，經(jīng)過半個(gè)周期，恰好到達(dá)A板，求此時(shí)電子的速度大??？

簡析1：半個(gè)周期中，

發(fā)散2：若已知兩平行金屬板 M、N相距為d，在板間加電壓如上題（D）選項(xiàng)所示，求經(jīng)過個(gè)周期T時(shí)電子速度大??？

簡析2：由圖像得u＝－U0＋kt，其中加速度經(jīng)過個(gè)周期T時(shí)，解得即線性變化可取算術(shù)平均值.

發(fā)散3：若已知兩平行金屬板M、N相距為d，在板間加電壓如上題（A）選項(xiàng)所示，求離開出發(fā)點(diǎn)最大的距離？

簡析3：因?yàn)槲灰萍此俣龋瓡r(shí)間圖像.下圖線所圍成的面積，因此本問就需要作出對應(yīng)的速度－時(shí)間圖像.由電壓圖像可知電子運(yùn)動的加速度規(guī)律為由于t＝0，v＝0，則C＝0.電子運(yùn)動的速度規(guī)律為，如圖8所示.電子離開出發(fā)點(diǎn)的最大距離，即前半周期圖像面積.

圖8

小結(jié)：在交變電壓作用下帶電粒子的運(yùn)動分析常規(guī)方法即做速度－時(shí)間圖像，但本題為一選擇題，作圖較費(fèi)時(shí)而且較難，因?yàn)樾枰獓?yán)格控制好圖線的斜率，（A）選項(xiàng)速度－時(shí)間圖像為一正弦函數(shù)，（D）選項(xiàng)速度時(shí)間圖像應(yīng)為兩段拋物線相連.而使用全新的積分法只需要觀察圖像的面積累加的正負(fù)情況就行.由題目所發(fā)散的3個(gè)問題更是解決了變加速直線運(yùn)動難題，值得學(xué)生思考與總結(jié).

當(dāng)然，定積分在高中物理中的應(yīng)用有它的局限性，一是江蘇從2010年開始高考數(shù)學(xué)考試中定積分不再做要求，二是在數(shù)理結(jié)合時(shí)學(xué)生關(guān)鍵還不能夠熟練寫出所求量的微元，無法建立合理的數(shù)學(xué)定積分模型.但是在高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)中開展定積分的教學(xué)，是將重要數(shù)學(xué)方法在中學(xué)階段的有機(jī)地滲透，它必將加大學(xué)生的思維力度，拓展學(xué)生的思維空間，也為他日進(jìn)入高校學(xué)習(xí)做好方法上的準(zhǔn)備.當(dāng)然，在實(shí)際教學(xué)中要注意在講授定積分時(shí)不應(yīng)過多的注重?cái)?shù)學(xué)上的推理與論證，應(yīng)該突出應(yīng)用定積分的物理思想，同時(shí)讓學(xué)生積極參與進(jìn)來，自主地使用定積分進(jìn)行應(yīng)用分析，逐步內(nèi)化成學(xué)生自身的一種解題方法.