二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的逐級(jí)模糊實(shí)時(shí)控制

高 強(qiáng)， 李 毅， 陳莎莎

（1.天津理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院 天津市復(fù)雜控制理論與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.南開(kāi)大學(xué) 信息技術(shù)科學(xué)學(xué)院，天津 300071）

二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的逐級(jí)模糊實(shí)時(shí)控制

高 強(qiáng)1， 李 毅2， 陳莎莎1

（1.天津理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院 天津市復(fù)雜控制理論與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.南開(kāi)大學(xué) 信息技術(shù)科學(xué)學(xué)院，天津 300071）

文章根據(jù)柯尼希定理，應(yīng)用拉格朗日方程，建立了二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，并計(jì)算出系統(tǒng)一般形式的狀態(tài)方程組；應(yīng)用基于T－S模糊模型，設(shè)計(jì)了按照上擺桿、下擺桿和旋轉(zhuǎn)臂分級(jí)優(yōu)先順序的逐級(jí)模糊控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制?？刂平Y(jié)果表明，逐級(jí)模糊控制可滿足實(shí)時(shí)控制要求，具有控制精度高、穩(wěn)定性好的特點(diǎn)。

二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺；T－S模型；逐級(jí)建?？刂疲豢履嵯６ɡ?/p>

倒立擺系統(tǒng)的控制問(wèn)題是控制領(lǐng)域的經(jīng)典問(wèn)題。倒立擺系統(tǒng)的研究始于20世紀(jì)50年代，由于其具有高階次、多變量、非線性、強(qiáng)耦合和不穩(wěn)定的特性，研究人員一直將它視為典型的研究對(duì)象，并不斷從中探索新的控制理論和控制方法。雖然我國(guó)對(duì)倒立擺的研究起步比較晚，但是值得一提的是，2010年6月18日，李洪興教授的課題組在世界上首次實(shí)現(xiàn)了空間四級(jí)倒立擺實(shí)物控制。

本文提出使用柯尼希定理對(duì)擺桿能量進(jìn)行分析計(jì)算，相比于傳統(tǒng)方法［1］，大大減少了計(jì)算量，進(jìn)而可以推導(dǎo)出精確的二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的數(shù)學(xué)模型；根據(jù)模型設(shè)計(jì)控制器，采用所設(shè)計(jì)的逐級(jí)模糊控制器實(shí)時(shí)控制二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)。實(shí)時(shí)控制的難度在于，在控制過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)許多控制干擾因素，同時(shí)，控制算法還需要滿足控制的實(shí)時(shí)性要求。實(shí)時(shí)控制環(huán)境能更加接近復(fù)雜的、惡劣的現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境，更能驗(yàn)證算法的實(shí)際可行性，這是仿真中不能體現(xiàn)的。因此，實(shí)時(shí)控制倒立擺在對(duì)控制算法的實(shí)踐檢驗(yàn)上，具有重要的意義。

1 二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)研究

基于動(dòng)力學(xué)分析，建立旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，這是實(shí)現(xiàn)倒立擺控制的基礎(chǔ)。旋轉(zhuǎn)倒立擺的模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。忽略各種摩擦力和阻力，旋轉(zhuǎn)臂、下擺桿和上擺桿可以抽象為均勻質(zhì)桿，編碼器抽象為質(zhì)點(diǎn)，其中旋臂長(zhǎng)度為R，其與OXYZ坐標(biāo)系中的Y軸的夾角為α；下擺桿的質(zhì)量為m1，長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，其與O1X1Y1Z1坐標(biāo)系中的Z1軸的夾角為β，質(zhì)心位置為擺桿的中點(diǎn)；上擺桿的質(zhì)量為m2，長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，其與O2X2Y2Z2坐標(biāo)系中的Z2軸夾角為θ，質(zhì)心位置為擺桿的中點(diǎn)；編碼器的質(zhì)量為mE，所在位置為下擺桿與上擺桿連接處（圖1中O2處）。相應(yīng)地，˙α為旋臂角速度，為下擺桿角速度為上擺桿角速度。Jeq為旋轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。旋轉(zhuǎn)臂在平面XOY內(nèi)運(yùn)行，下擺桿在平面X1O1Z1內(nèi)運(yùn)行，上擺桿在平面X2O2Z2內(nèi)運(yùn)行。

圖1 二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 旋轉(zhuǎn)臂的動(dòng)能和勢(shì)能

動(dòng)能為Ek旋臂＝（Jeq）／2，勢(shì)能以旋臂所在平面為零勢(shì)能面，即Ep旋臂＝0。

1.2 下擺桿的動(dòng)能和勢(shì)能

根據(jù)柯尼希定理可知下擺桿的動(dòng)能為：

利用坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣［2］（1）式，可寫出下擺桿質(zhì)心在OXYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示，即（2）式。設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系o－uvw初始位置與定坐標(biāo)系OXYZ重合，相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系o－uvw進(jìn)行變換，根據(jù)右手定則以及對(duì)α角的定義，o－uvw→O1X1Y1Z1可以看做是動(dòng)坐標(biāo)系o－uvw先平移到點(diǎn)［Rsinα，Rcosα，0］，再對(duì)w軸旋轉(zhuǎn)（－α）的疊加，即

于是有：

整理可以得到速度表達(dá)式為：

由于：

下擺桿相對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：

下擺桿的勢(shì)能為：

1.3 編碼器的動(dòng)能和勢(shì)能

由于：

可以得知編碼器的速度為：

編碼器的動(dòng)能為：

編碼器的勢(shì)能為：

1.4 上擺桿的動(dòng)能和勢(shì)能

根據(jù)柯尼希定理可知上擺桿的動(dòng)能為：

利用坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣（9）式，可寫出上擺桿質(zhì)心在OXYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示，即（10）式。o－uvw→O1X1Y1Z1→O2X2Y2Z2相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系o－uvw進(jìn)行變換，可以看做是在O的基礎(chǔ)上，再平移到點(diǎn)［L1sinβ，0，L1cosβ］。

于是有：

整理可以得到速度表達(dá)式：

所以：

上擺桿相對(duì)其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：

上擺桿的勢(shì)能為：

1.5 Lagrange方程

Lagrange函數(shù)為：

忽略各種摩擦力和阻力，所以二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的Lagrange方程為：

進(jìn)而可以得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

其中

本文推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用柯尼希定理，可以使研究者對(duì)倒立擺的物理特性更加明了清晰。

2 基于T－S模型的逐級(jí)模糊控制

通過(guò)對(duì)實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)的觀察，系統(tǒng)各部分穩(wěn)定的重要性分級(jí)為上擺桿為高級(jí)，下擺桿為中級(jí)，旋轉(zhuǎn)臂為低級(jí)。按照分級(jí)優(yōu)先順序，設(shè)計(jì)基于TS 模糊模型［3－4］的逐級(jí)模糊控制器［4－5］。

逐級(jí)控制采用全局狀態(tài)變量作為模糊控制器［6－7］的輸入。論域設(shè)定為：theta∈［－8／180＊pi，＋8／180＊pi］，beta∈［－12／180＊pi，＋12／180＊pi］，alpha∈［－0.3，＋0.3］；theta－dot∈［－1，＋1］，beta－dot∈［－1，＋1］，alpha－dot∈［－2，＋2］。theta變量用3個(gè)模糊子集｛－8 0 8｝來(lái)描述，beta變量用3個(gè)模糊子集｛－12 0 12｝來(lái)描述，均采用高斯型，全交疊、均勻分布隸屬度函數(shù)。theta－dot變量用3個(gè)模糊子集｛－1 0 1｝來(lái)描述，beta－dot變量用3個(gè)模糊子集｛－1 0 1｝來(lái)描述，alpha變量用3個(gè)模糊子集｛－0.3 0 0.3｝來(lái)描述，alpha－dot變量用3個(gè)模糊子集｛－2 0 2｝來(lái)描述，均采用高斯型，全交疊、均勻分布隸屬度函數(shù)。

按照分級(jí)控制的思想，對(duì)（16）式進(jìn)行局部線性化，可求得如下的模糊模型。

（1）若theta是8°，theta－dot是1，或theta是－8°，theta－dot是－1，則˙x＝A1x＋B1u。

（2）若theta是8°，theta－dot是－1，或theta是－8°，theta－dot是1，則˙x＝A2x＋B2u。

（3）若theta是8°，theta－dot是0，或theta是－8°，theta－dot是0，則˙x＝A3x＋B3u。

（4）若theta是0°，theta－dot是1，或theta是0°，theta－dot是－1，則˙x＝A4x＋B4u。

（5）若theta 是 0°，theta－dot是 0，beta 是－12°，beta－dot是－1，或theta是0°，theta－dot是0，beta是12°，beta－dot是1，則˙x＝A5x＋B5u。

（6）若theta 是 0°，theta－dot是 0，beta 是－12°，beta－dot是 1，或theta是 0°，theta－dot是0，beta是12°，beta－dot是－1，則˙x＝A6x＋B6u。

（7）若theta 是 0°，theta－dot是 0，beta 是－12°，beta－dot是 0，或theta是 0°，theta－dot是0，beta是12°，beta－dot是0，則˙x＝A7x＋B7u。

（8）若theta是 0°，theta－dot是 0，beta是0°，beta－dot是－1，或theta是0°，theta－dot是0，beta是0°，beta－dot是1，則˙x＝A8x＋B8u。

（9）若theta是 0°，theta－dot是 0，beta是0°，beta－dot是0，alpha是 ｛－0.3°，0°，0.3°｝中的任意一個(gè)，alpha－dot是 ｛－2，0，2｝中的任意一個(gè)，則＝A9x＋B9u。

考慮對(duì)每一個(gè)線性子系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)局部的線性狀態(tài)反饋控制器。對(duì)每個(gè)局部模型的期望閉環(huán)極點(diǎn)都選為：－96.677 9，－9.430 7＋3.373 4i，－9.430 7－3.373 4i，－4.276 6＋1.572 5i，－4.276 6－1.572 5i，－1.002 2。可以求得對(duì)應(yīng)每個(gè)子系統(tǒng)的局部反饋增益矩陣為：

輸出變量Toutput用9個(gè)模糊子集｛1 2 3 4 5 6 7 8 9｝來(lái)描述。其中，具體控制規(guī)則見(jiàn)表1所列。

表1 逐級(jí)模糊控制規(guī)則表

模糊規(guī)則L1～L25的后件如下所示：

其中，tau1～tau9即為輸出變量Toutput對(duì)應(yīng)的9個(gè)級(jí)別。解模糊采用加權(quán)平均法（weighted average）。

該實(shí)時(shí)控制的實(shí)驗(yàn)是基于加拿大Quanser公司的SRV－02旋轉(zhuǎn)倒立擺平臺(tái)，實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)為Quarc，可以與Simulink無(wú)縫編譯連接，如圖2所示。在圖2中，“T－S every”為基于 T－S模型的逐級(jí)模糊控制模塊。取穩(wěn)定控制過(guò)程中的20s數(shù)據(jù)，實(shí)時(shí)控制結(jié)果如圖3所示。

圖2 基于T－S模型逐級(jí)模糊控制的實(shí)時(shí)控制結(jié)構(gòu)圖

圖3 基于T－S模型逐級(jí)模糊控制的實(shí)時(shí)控制結(jié)果

實(shí)時(shí)控制結(jié)果表明，基于T－S模型的逐級(jí)模糊控制可使二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)“倒立”。控制器在使倒立擺穩(wěn)定的情況下，使角alpha在設(shè)定值10°附近運(yùn)動(dòng)，基本控制在［5°，15°］，使角beta基本控制在［－3°，＋3°］，使角theta基本控制在［－2°，＋2°］，以及使alpha－dot、beta－dot和theta－dot均在可控制范圍內(nèi)，因此基于T－S模型的逐級(jí)模糊控制器完全滿足設(shè)計(jì)要求。角theta的控制精度得到了明顯提高，其運(yùn)行區(qū)間更加對(duì)稱，表明了系統(tǒng)更加穩(wěn)定，充分說(shuō)明了逐級(jí)控制方法的正確性、優(yōu)異性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文詳細(xì)推導(dǎo)了二級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，提出使用柯尼希定理解決擺桿能量的問(wèn)題，使得建模過(guò)程中的計(jì)算量減少，避免了大計(jì)算量帶來(lái)的實(shí)時(shí)控制實(shí)現(xiàn)困難，提高了建模的精度，實(shí)現(xiàn)了基于T－S模型的逐級(jí)模糊控制器，克服了實(shí)時(shí)控制中的各種不確定的干擾，提高了控制精度，也增強(qiáng)了控制的穩(wěn)定性。該算法還可進(jìn)一步使用遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等，尋找最優(yōu)閉環(huán)極點(diǎn)，進(jìn)而設(shè)計(jì)出控制精度更高的控制器。

［1］但遠(yuǎn)宏，賴紅霞.環(huán)形二級(jí)倒立擺的建模與能觀性和能控性分析［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，21（11）：7－16.

［2］韓建海.工業(yè)機(jī)器人［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2009，50－56.

［3］Shi Xiaoxia，Zhong Qiuhai.The mathematic model for the double inverted pendulum based on state feedback and T－S model［C］／／SICE Annual Conference，2003：1457－1460.

［4］陳澤望.二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模糊控制研究［D］.沈陽(yáng)：東北大學(xué)，2008.

［5］朱學(xué)峰，周文彬，陳華艷.二級(jí)倒立擺的T－S型逐級(jí)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，33（2）：43－47.

［6］諸 靜.模糊控制理論與系統(tǒng)原理［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005，393－399.

［7］Zadeh L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965，8：338－353.

Real－time control of rotary double inverted pendulum system by using gradual fuzzy algorithm

GAO Qiang1， LI Yi2， CHEN Sha－sha1
（1.Tianjin Key Laboratory for Control Theory and Applications in Complicated System，School of Automation，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China；2.School of Information Technical Science，Nankai University，Tianjin 300071，China）

The dynamics equation of a rotary double inverted pendulum system is deduced by applying Konig theorem and Lagrange method，and the state equation set of the system in general form is calculated.A gradual fuzzy controller is designed by means of the T－S fuzzy model.For the real－time control of the system，the upper pendulum has a high priority，the lower pendulum has a middle priority and the rotary arm has a low priority.The results of the real－time experiment prove that the gradual fuzzy algorithm based on T－S model can satisfy the requirement of real－time control and has better control precision and stability.

rotary double inverted pendulum；T－S model；gradual fuzzy control；Konig theorem

TP20

A

1003－5060（2012）11－1474－07

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.11.009

2012－04－27；

2012－06－30

高 強(qiáng)（1962－），男，天津市人，天津理工大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 張 镅）