一個(gè)新的三角擬合四階預(yù)估校正方法①

鄭 娟

(棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東棗莊277160)

0 引言

下面形式的一階微分方程初值問(wèn)題

在天體力學(xué)、化學(xué)物理學(xué)、電子學(xué)等不同的領(lǐng)域內(nèi)廣泛出現(xiàn)，很多情況下其解具有一定的周期性．如果能對(duì)解的主導(dǎo)頻率有較準(zhǔn)確的估計(jì)，常采用變系數(shù)方法求這類問(wèn)題的數(shù)值解，三角擬合[1]是其中常用的方法．Vanden Berghe及Simos[2，3]等人對(duì)三角擬合Runge－kutta方法作了深入的研究．本文在線性多步法中預(yù)估校正方法基礎(chǔ)上，利用三角擬合技術(shù)，得出了一個(gè)新的三角擬合預(yù)估校正方法，數(shù)值試驗(yàn)表明，新方法在求解周期初值問(wèn)題時(shí)具有明顯的高效性．

1 三角擬合預(yù)估校正方法

對(duì)于的數(shù)值求解，考慮下面的預(yù)估校正格式[4]

令式(2)的預(yù)估格式精確積分{1，x，cos(ωx)，sin(ωx)}的線性組合，得如下方程組

令式(2)中校正格式精確積分{1，x，x2，cos(ωx)，sin(ωx)}的線性組合，得

分別解線性方程組(3)與(4)可求得b0，b1，b2與c0，c1，c2，c3．當(dāng) u 較小時(shí)，應(yīng)使用它們的泰勒展開(kāi)式

由式(5)確定的三角擬合預(yù)估校正格式(2)記為ADM4PCF1N，由式(5)，當(dāng) ω→ 0時(shí)，新方法ADM4PCF1N將變?yōu)樵嫉念A(yù)估校正方法[4]．

圖1 原始四階預(yù)估校正方法的穩(wěn)定性區(qū)域

圖2 三角擬合四階預(yù)估校正方法分別當(dāng)u=1，u=8時(shí)的穩(wěn)定性區(qū)域

計(jì)算y(xn+1)－yn+1可得局部截?cái)嗾`差

故其代數(shù)階為 4．由式(6)，當(dāng) y為{cos(ωx)，sin(ωx)}的線性組合時(shí)，局部截?cái)嗾`差將消減為0，這也說(shuō)明新方法ADM4PCF1N可對(duì){cos(ωx)，sin(ωx)}的線性組合精確積分．

2 穩(wěn)定性分析

將預(yù)估校正格式(2)應(yīng)用到試驗(yàn)方程:

得差分方程

其中H=λh

式(8)的特征方程為

圖3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)3．1

圖4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)3．2

圖5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)3．3

解關(guān)于H的方程(9)，用邊界軌跡法[5]畫出θ∈[0，2π]時(shí)的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域．圖1與圖2分別給出原始四階預(yù)估校正方法與三角擬合四階預(yù)估校正方法分別當(dāng)u=1，u=8時(shí)的穩(wěn)定性區(qū)域．由圖2看出，隨著頻率取值增大，三角擬合四階預(yù)估校正方法的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域也隨之變大．這使得新方法較其它只有較小穩(wěn)定性區(qū)域的方法有很大的優(yōu)勢(shì)．

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

選用下列三個(gè)方法予以比較

四階預(yù)估校正方法[4]，用ADM4PC表示．

四階預(yù)估校正方法[4]，用ADM5PC表示．

三角擬合四階預(yù)估校正方法，即本文得到的新方法，用ADM4PCF1N表示．

評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)是比較三個(gè)方法的全局誤差及計(jì)算所用的函數(shù)的個(gè)數(shù)．

3．1 問(wèn)題1

考慮如下的二體問(wèn)題:

在計(jì)算中，選擇區(qū)間 0≤ x≤ 100，對(duì)方法ADM4PCF1N估計(jì)頻率，數(shù)值運(yùn)算結(jié)果由圖3給出．

3．2 問(wèn)題2

考慮下面初值問(wèn)題:

其精確解為:

y(x)=cos(10x)+sin(10x)+sin(x)

在計(jì)算中，選擇區(qū)間 0≤ x≤ 100，對(duì)方法ADM4PCF1N估計(jì)頻率ω=10，數(shù)值運(yùn)算結(jié)果由圖4給出．

3．3 問(wèn)題3

考慮下面初值問(wèn)題:

在計(jì)算中，選擇區(qū)間 0≤ x≤ 100，對(duì)方法ADM4PCF1N估計(jì)頻率ω=13，數(shù)值運(yùn)算結(jié)果由圖5給出．

4 結(jié)論

構(gòu)造了一個(gè)處理振蕩問(wèn)題的新的三角擬合四階預(yù)估校正方法，它可以精確積分{cos(ωx)，sin(ωx)}的線性組合．?dāng)?shù)值試驗(yàn)表明新方法?應(yīng)用于求解周期性初值問(wèn)題時(shí)，其性能遠(yuǎn)好于原始的四階及五階預(yù)估校正方法．

[1] Ixaru L G，Berghe G V．Exponential fitting[M]．Kluwer Academic Publishers，Dordrecht，2004．

[2] Simos T E．An Exponentially－fitted Runge－Kutta Method for the Numerical Integration of Initial－value Problems with Periodic or Oscillating Solutions[J]．Computer Physics Communications，1998，(115):1－8．

[3] Vanden Berghe G，De Meyer H，Van Daele M，Van Hecke T．Exponentially － fitted Explicit Runge–Kutta Methods[J]．Computer Physics Communications，1999，(123):7 －15．

[4] Hairer E，Norsett S P，Wanner G．Solving Ordinary Differential Equations:Nonstiff Problems[M]．Springer Verlag，Berlin Heidelberg，1993．

[5] Lambert J D．Numerical Methods for Ordinary Differential Systems:the Initial Value Problem[M]．John Wiley ＆ Sons，Inc．，New York，1991．