函數(shù)的加權(quán)積分平均不等式①

李俊峰

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北 235000)

0 引言及預(yù)備知識(shí)

本文給出了加權(quán)積分平均空間上H¨older不等式和Minkowski不等式，這兩個(gè)不等式在分析學(xué)中具有重要意義.

定義1 設(shè)E為L可測(cè)集，f(x)是(X，μ)上的可測(cè)函數(shù)，1 ≤p＜∞ ，令Np，ω(f)=，其中 ω(E)=∫Eω(x)dμ，ω(x)＞0，a.e.于x∈E.我們稱Np，ω(f)為f(x)關(guān)于E和p的加權(quán)平均值[1].

注:記Np，ω(f)＜∞ 的f全體所構(gòu)成的集合為Np，ω，并稱它為加權(quán)積分平均空間.

引理1[2]設(shè)1 ≤p，q≤ ∞=1，則對(duì)任意的a，b∈R，有

1 主要結(jié)果及證明

定理1(加權(quán)積分平均H¨older不等式)設(shè)1≤p＜∞=1，又設(shè)f∈Np，ω，g∈Nq，ω，則fg∈N1，ω，并且N1，ω(fg)≤Np，ω(f)Nq，ω(g).

證明: 首先設(shè)Np，ω(f)=Nq，ω(g)=1(否則f，g可分別用代換)，由上面的引理 1，可令a=f(x)，b=g(x)，則

兩邊乘以ω(x)＞0，a.e.并且在E上積分后同乘以可以得到

由假定f∈Np，ω，g∈Nq，ω，可知Np，ω(f)，Nq，ω(g)∈[0，∞)，由上面可以推知fg∈N1，ω.故定理得證.

定理2 (加權(quán)積分平均Minkowski不等式)設(shè)f，g∈Np，ω，對(duì)1 ≤p＜∞ ，則有f+g∈Np，ω，且Np，ω(f+g)≤Np，ω(f)+Np，ω(g).

證明: 若p=1或f+g=0a.e.于E，則不等式顯然成立;若1＜p＜∞ ，設(shè)f，g∈Np，ω，h=|f+g|，則

然后兩邊同乘以ω(x)＞0，a.e.并在E上積分后同乘以得到

注意到1＜p＜∞ 時(shí)，y=xp是(0，∞)上的凸函數(shù).于是有

于是從上式可以推斷f+g∈Np，ω.

又由p=(p－1)q和加權(quán)積分平均H¨older不等式得

定理得證.

[1]匡繼昌.常用不等式(第三版)[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

[2]DiBenedetto，E.Real Analysis[M].Beijing:Higher Education Press，2007.