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    加權(quán)殘差平方和最小的組合預(yù)測組合權(quán)重的確定

    2012-07-12 01:26:08殷春武
    統(tǒng)計與決策 2012年6期
    關(guān)鍵詞:歷史數(shù)據(jù)平方和殘差

    殷春武

    (西京學院,西安710123)

    自J.M.Bates和C.W.J.Granger在上世紀60年代證明了2種或2種以上無偏的單項預(yù)測可以組合出優(yōu)于每個單項的預(yù)測結(jié)果,即組合預(yù)測方法能克服單個預(yù)測模型的局限性,集結(jié)更多的有用信息并有效地提高預(yù)測的精度后,組合預(yù)測逐漸成為專家和學者研究中運用的主要方法【1-3】。組合預(yù)測的主要思想是將各種單一預(yù)測模型通過加權(quán)集結(jié)從而得到最終的預(yù)測結(jié)果,在組合預(yù)測模型的研究中,現(xiàn)在主要的研究方向是如何來確定各單個預(yù)測模型的權(quán)重【2】。

    關(guān)于單個預(yù)測模型的權(quán)重的研究經(jīng)過各學者的研究,已經(jīng)有了一定的研究成果,基于不同的考慮得到不同的加權(quán)系數(shù)的權(quán)重確定模型,并在實際應(yīng)用中得到了較好的運用。但是通觀現(xiàn)有組合預(yù)測研究可以發(fā)現(xiàn),在確定各單個預(yù)測模型的權(quán)重的時候并沒有考慮到歷史數(shù)據(jù)的新舊程度對建立模型的影響。即對于某一社會經(jīng)濟問題,由于受到市場環(huán)境、社會環(huán)境及國家宏觀調(diào)控政策等方面的影響,近期的數(shù)據(jù)對于最終的預(yù)測結(jié)果的影響程度肯定要比遠期的數(shù)據(jù)的影響程度要大,所以在對后期數(shù)據(jù)的預(yù)測建模過程中,應(yīng)該對于所采集的歷史數(shù)據(jù)的不同時期給與不同的權(quán)重,這樣建立的組合預(yù)測模型更符合實際情況,且預(yù)測模型的實用性和精度會進一步提高。

    本文將充分考慮新舊歷史數(shù)據(jù)對模型精度的影響程度的不同,給出一種加權(quán)殘差平方和最小的最合預(yù)測模型組合權(quán)重確定模型,并基于離散情況下,給出組合權(quán)重確定模型。

    1 基于時間權(quán)重的組合預(yù)測模型組合權(quán)重確定模型的建立

    針對某一預(yù)測問題,采集到歷史數(shù)據(jù)為X=(x(1),…,x(n))T,設(shè)預(yù)測對象存在m個單項預(yù)測方法,利用這m個單項預(yù)測方法得到的第i個單項預(yù)測方法的預(yù)測值為fi,i=1,2,…,m。組合預(yù)測的基本形式為

    其中,w1,w2,…,wm為各種預(yù)測方法的加權(quán)系數(shù)。第i個單項預(yù)測方法第t時刻的預(yù)測值為fi(t)(i=1,2,…,m)。

    1.1 組合加權(quán)系數(shù)恒大于零的不合理性分析

    在現(xiàn)有學者關(guān)于組合預(yù)測權(quán)重確定模型中,一般都事先假設(shè)加權(quán)系數(shù)滿足條件其實這是不合理的,假設(shè)第t時刻的歷史數(shù)據(jù)值為x(t),而采用m種單項預(yù)測方法后,第t時刻的模擬值為fi(t),如果每一種單項預(yù)測方法的模擬值都滿足fi(t)≥x(t),且加權(quán)系數(shù)滿足,則組合模擬值

    即f(t)≥x(t),此式表明將單一預(yù)測方法的模擬值進行加權(quán)組合后的組合預(yù)測值肯定是不小于原來的建模數(shù)據(jù),這與實際生活中要求組合預(yù)測值和建模數(shù)據(jù)相等是不符的。而要使得組合模擬值和建模數(shù)據(jù)相等,只能是要求加權(quán)系數(shù)可正可負。

    定理1組合預(yù)測模型的組合加權(quán)權(quán)重可正可負。

    1.2 時間權(quán)重的探討

    在利用歷史數(shù)據(jù)建模的過程中,一般離建模時間越近的歷史數(shù)據(jù)對后期的預(yù)測結(jié)果影響程度越大,離建模時間越遠的歷史數(shù)據(jù)對建模結(jié)果的影響程度越小,故在建模的時候應(yīng)該考慮時間的時效性,為了能反映出歷史數(shù)據(jù)的新舊程度對建模結(jié)果的影響程度,可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的時間先后順序?qū)Ω鲿r間段的歷史數(shù)據(jù)賦予一定的權(quán)重,即時間權(quán)重,下面給出其定義。

    定義1 設(shè)ρ(t)為第t時期的歷史數(shù)據(jù)對模型精度的影響程度的權(quán)重,則稱ρ(t)為時間權(quán)重。

    時間權(quán)重函數(shù)ρ(t)主要是反映第t時期的歷史數(shù)據(jù)的對預(yù)測模型精度的影響程度,則時間權(quán)重應(yīng)該是一個正數(shù)??紤]到在建模過程中,雖然新舊數(shù)據(jù)對建模結(jié)果影響程度上的差別存在,但是相鄰兩個數(shù)據(jù)的貢獻程度差別不應(yīng)該過大,即時間權(quán)重ρ(t)的增加也不能夠增加過快,應(yīng)該是一個比較平緩。其次,雖然隨著t的推移,ρ(t)是逐漸增加的。但是當t無限增大的時候,最開始的歷史數(shù)據(jù)和最后面的歷史數(shù)據(jù)的貢獻程度也不能相差太遠,否則最開始的歷史數(shù)據(jù)就可以忽略不計了,這與采集該歷史數(shù)據(jù)進行建模的原理相違背。故當t無限增大的時候ρ(t)的取值也不能過于太大,綜合考慮各方面的因素,時間權(quán)重函數(shù)ρ(t)應(yīng)該滿足條件:0<ρ(t)<1。

    同時在時間權(quán)重的確定過程中,時間權(quán)重和組合預(yù)測的權(quán)重確定是相互有聯(lián)系的,應(yīng)該組合權(quán)重同時確定。同時在確定組合預(yù)測模型的權(quán)重向量w=(w1,w2,…,wm)的過程中,考慮到最后預(yù)測的值應(yīng)該和實際采集到的數(shù)據(jù)的殘差δt=f(t)-x(t)的平方和盡可能的小,為此,在考慮歷史數(shù)據(jù)新舊程度不同對模型精度影響程度大小不同的情況下,建立如下加權(quán)殘差平方和最小的組合預(yù)測權(quán)重確定模型

    在時間權(quán)重ρ(t)給定后,通過極值的原理可以計算出組合權(quán)重的計算公式。

    2 模型的求解

    基于時間權(quán)重的加權(quán)殘差平方和最小的組合預(yù)測權(quán)重確定模型給定后,下面運用極值最小的方法來確定該組合權(quán)重。對目標函數(shù)關(guān)于變量wk,(k=1,2,…,m)求導,并令其導數(shù)等于零,則得到如公式

    為便于計算,將上面的式子寫成矩陣的形式,則有

    X=(x(1)x(2)…x(n))T,W=(w1,w2,…,wm)T

    則上面的矩陣可以表示成FPFTW=FPX從而得到最終的基于時間權(quán)重的組合加權(quán)權(quán)重計算公式為

    W=(FPFT)-1FPX

    定理2基于時間權(quán)重向量ρ(t)的殘差加權(quán)平方和組合預(yù)測加權(quán)權(quán)重為

    W=(FPFT)-1FPX

    3 結(jié)語

    在以往的組合預(yù)測建模過程中,從未考慮到新的歷史數(shù)據(jù)對預(yù)測模型的影響程度比成舊數(shù)據(jù)對預(yù)測模型的影響程度要大這個因素。本文充分考慮到時間因素對預(yù)測模型的影響,建立了帶有時間權(quán)重的組合預(yù)測加權(quán)系數(shù)確定模型,該模型充分考慮了預(yù)測模型建模過程中歷史數(shù)據(jù)的時效性。同時,確定時間權(quán)重時,在充分分析實際需求的前提下給出了時間權(quán)重函數(shù)應(yīng)該滿足的條件,并基于其所滿足的條件給出了一個時間權(quán)重函數(shù)。通過實例計算分析發(fā)現(xiàn),運用本文所給的模型所得的組合預(yù)測方法能有效提高預(yù)測精度。

    [1] Tang Xiaowo,Zhou Zongfang,Shi Y.The Error Bounds of Combined Forecasting[J].Mathematical and Computer Modelling,2002,36(9).

    [2] 陳華友.基于相關(guān)系數(shù)的優(yōu)性組合預(yù)測模型研究[J].系統(tǒng)工程學報,2006,21(4).

    [3] 陳華友,趙佳寶,劉春林.基于灰色關(guān)聯(lián)度的組合預(yù)測模型的性質(zhì)[J].東南大學學報,2004,34(1).

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