基于帝國主義競爭算法的切削參數(shù)優(yōu)化

陳志楚，李 聰，張超勇

（1. 湖北汽車工業(yè)學(xué)院 電器信息與工程學(xué)院，十堰 442001；2. 華中科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430074）

0 引言

數(shù)控加工技術(shù)是現(xiàn)代自動化、柔性化及數(shù)字化生產(chǎn)加工技術(shù)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵技術(shù)。切削參數(shù)的合理選擇與優(yōu)化，直接關(guān)系能否合理地使用刀具與機(jī)床，對提高生產(chǎn)率，提高加工精度及表面質(zhì)量，降低生產(chǎn)成本都有重要作用，是實現(xiàn)整個切削過程優(yōu)化的關(guān)鍵。隨著各種新加工材料的不斷涌現(xiàn)，以及數(shù)控加工機(jī)床、加工中心和柔性制造系統(tǒng)的廣泛運用，在傳統(tǒng)的CAD／CAM系統(tǒng)中僅依靠個人經(jīng)驗來確定切削參數(shù)己遠(yuǎn)不能適應(yīng)時代的發(fā)展。而運用現(xiàn)代切削理論、數(shù)學(xué)建模和模型分析方法尋求切削參數(shù)的最優(yōu)組合，則是切削參數(shù)優(yōu)化的一個重要發(fā)展方向，是實現(xiàn)高效數(shù)控加工技術(shù)的關(guān)鍵。

帝國主義競爭算法[15]最初是由Atashpaz-Gargari and Lucas于2007年在對基于人口數(shù)量最優(yōu)化算法的著作中提出。在算法中， 每一個個體都被定義為一個國家，同時，所有的國家被分類為兩類，即帝國主義國家和殖民地。帝國主義國家為最初時人口數(shù)量最有優(yōu)勢的國家，而剩下的國家即為殖民地。每個國家的力量被用來指明它的健康程度。在該算法的反復(fù)使用過程中，帝國之間相互競爭以獲得盡可能多的殖民地為目的。更有力量的帝國有更高的可能性去占領(lǐng)更多的殖民地，而力量薄弱的帝國將逐漸失去他們的殖民地。當(dāng)所有的殖民地都被一個帝國占有時，該算法即為結(jié)束。在連續(xù)函數(shù)優(yōu)化方面帝國主義競爭算法在效率和質(zhì)量方面超過遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法。因此，本文引入帝國主義競爭算法求解切削參數(shù)優(yōu)化問題。

1 切削參數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

切削速度、進(jìn)給量和切削深度統(tǒng)稱為切削用量三要素。由于切削深度對刀具耐磨度的影響較切削速度和進(jìn)給量要小，而且可根據(jù)工件余量和具體的加工要求來確定，這里視為已知量，不進(jìn)行優(yōu)化。因此，模型的設(shè)計變量包括切削速度v和進(jìn)給量f，在銑削加工中，考慮的是每齒進(jìn)給量fz。對于數(shù)控切削加工，因采用無級調(diào)速，所以切削參數(shù)是連續(xù)變量。切削參數(shù)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)選擇生產(chǎn)率，表現(xiàn)形式為加工工時。

由于切削加工過程中包含多種實際約束，并且是非線性的。主要有：機(jī)床、刀具、夾具等所組成的工藝系統(tǒng)的加工能力；零件加工質(zhì)量的要求；包括刀具壽命約束在內(nèi)的經(jīng)濟(jì)性約束等。所以，切削參數(shù)的數(shù)學(xué)模型是非線性、多約束的連續(xù)函數(shù)問題的優(yōu)化。下面以銑削加工為例建立優(yōu)化模型。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

引入以最大生產(chǎn)率為目標(biāo)的切削參數(shù)數(shù)學(xué)模型。進(jìn)行批量生產(chǎn)時，完成一道工序的銑削加工工時為[2～4]：

式中，Tw為完成一道銑削加工的總工時；Tm為工序的切削時間；Th為單工序銑削加工中由于刀具磨損導(dǎo)致的平均一道工序的換刀時間；Tc為工序之間的換刀時間；Tot為除換刀時間以外的其他輔助時間，包括工件的裝卸載時間、機(jī)床及刀具準(zhǔn)備時間等。

工序切削時間Tm的表達(dá)式[2～5]：

式中，D為刀具直徑；L為切削長度；v為切削速度；fz為銑刀每齒進(jìn)給量；Z為銑刀齒數(shù)。

由于刀具磨損導(dǎo)致的平均一道工序的換刀時間Th的表達(dá)式：

式中，L為切削長度；TR為刀具磨損的換刀時間；v為切削速度；fz為銑刀每齒進(jìn)給量；ae為銑削寬度；Z為銑刀齒數(shù)；ap為銑削深度；D為刀具直徑；CV、m、y、p、u、k、q為銑刀的刀具耐用度系數(shù)。

綜合式(1)～式(3)，目標(biāo)函數(shù)為：

1.2 約束條件[2～5]

實際加工中的切削參數(shù)必須滿足上面提到的各類型約束，具體如下。

1.2.1 切削速度約束

數(shù)控機(jī)床需滿足切削速度約束，表達(dá)式如下：

式中，Nmin、Nmax分別為主軸最低和最高轉(zhuǎn)速。

1.2.2 進(jìn)給量約束

對銑削加工而言，每齒進(jìn)給量滿足的約束條件如下：

式中，vfmin、vfmax分別為機(jī)床最小和最大切削進(jìn)給速度。

1.2.3 機(jī)床切削力約束

機(jī)床進(jìn)給方向切削力應(yīng)小于主軸最大進(jìn)給力，表達(dá)式如下：

式中，F(xiàn)fmax表示機(jī)床主軸的最大進(jìn)給力；N為主軸轉(zhuǎn)速，CF、xF、yF、uF、qF、wF、KFc為切削力系數(shù)。

1.2.4 切削扭矩約束

切削扭矩不能超過主軸最大扭矩。表達(dá)式如下：

式中，Mfmax為機(jī)床主軸的最大扭矩。

1.2.5 機(jī)床功率約束

切削功率應(yīng)小于規(guī)定的最大有效切削功率，表達(dá)式如下：

式中，?為機(jī)床功率有效系數(shù)；Pmax為機(jī)床最大有效切削功率。

1.2.6 粗糙度約束

零件還需滿足表面粗糙度要求，表達(dá)式如下：

式中，r～為刀具的刀尖圓弧半徑；Rmax為表面粗糙度的最大值。

2 基于帝國主義競爭算法的切削參數(shù)優(yōu)化

2.1 帝國主義競爭算法流程

帝國主義算法流程描述如下：

1）初始化帝國主義競爭算法的參數(shù)：Npop, Nimp

2）隨機(jī)生成Npop作為國家的人口數(shù)量。選擇Nimp最好的國家作為帝國并根據(jù)他們的能力規(guī)定他們的殖民地數(shù)量；

3）如果終止條件未得到滿足，則重復(fù)下列步驟；

4）內(nèi)部位置交換；

5）帝國主義競爭；

6）淘汰弱小的帝國；

7）保留最終剩余的帝國，其適應(yīng)度取值作為最優(yōu)解。

流程圖如圖1所示。

圖1 帝國主義競爭算法流程圖

2.2 帝國集團(tuán)的初始化

在一個NVAR維的最優(yōu)化問題中，一個國家即為一個1×NVAR的矩陣。該矩陣定義如下[16]：

此處，Pi為被優(yōu)化的變量。這些在國家屬性中的變量為浮點數(shù)。國家中的每個變量可以被理解為這個國家的社會政治屬性。在算法中幾時要求我們尋找到最小的成本值。每個國家的成本由變量所組成的函數(shù)f決定：

為了開始該最優(yōu)化算法，必須初始化國家數(shù)量Ncountry.我們選擇Nimp個最優(yōu)力量的國家來形成帝國集團(tuán)。剩下的Ncol個最初國家作為這些帝國集團(tuán)中的殖民地。

圖2 初始化帝國集團(tuán)：帝國擁有的殖民地越多，它所代表的五角星越大

為了形成最初的帝國集團(tuán)，殖民地依據(jù)各帝國的力量情況決定。即：一個帝國集團(tuán)最初擁有的殖民地數(shù)量應(yīng)直接與其力量所占比例相關(guān)。為了能按比例分配殖民地，每個帝國的成本被定義為：

在這里，Cn為第n個帝國的成本。計算了所有帝國的成本后，帝國的相對力量定義為：

最初的殖民地的分配依賴于其所屬的帝國集團(tuán)的力量。從而最初的殖民地分配為：

在這里，N.C.n為第n個帝國所擁有的殖民地數(shù)量。如圖2所示的初始化帝國集團(tuán)，越大的帝國集團(tuán)擁有更多的殖民地數(shù)量，同時，弱小的集團(tuán)擁有較少的殖民地。在該圖中，帝國1組成最有力量的帝國集團(tuán)，于是它擁有最多的殖民地數(shù)量。

2.3 帝國集團(tuán)內(nèi)部調(diào)整

為了實現(xiàn)吸收壯大的目的，帝國試圖去吸收它們的殖民地并使其成為帝國的一部分。更準(zhǔn)確的說，殖民地沿著坐標(biāo)軸向著帝國移動。移動過程如圖3所示?？紤]一個二維最優(yōu)化問題，殖民地在由文化和語言組成的坐標(biāo)軸中被帝國吸收。殖民地將會不斷地向帝國移動，最終將使殖民地完全被帝國吸收。

圖3 殖民地向其相關(guān)帝國的移動

在圖3中，x為一個服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)x～U(0, β×d),在這里β為比1大的數(shù)，同時?為殖民地與帝國的距離。b>1將使殖民地從兩邊都離帝國更近。帝國對殖民地的吸收并不直接導(dǎo)致殖民地向帝國的移動。即是說，殖民地并不一定依照向量所示方向向帝國移動。為了更好模型化這個事實，引入一個隨機(jī)的角度作為移動的方向。在圖中顯示了新的方向。在該圖中，參數(shù)θ服從均勻分布。θ～U（-γ，γ），在這里γ為角度范圍。然而?和?是隨機(jī)的。在大多數(shù)情況中，我們將?設(shè)置為 2，?設(shè)置為π/4（Rad）。

革命是指在力量和組織結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)方面在相對短時間內(nèi)發(fā)生變化。在ICA的術(shù)語中，革命使一個國家的社會政治特征突然產(chǎn)生變化。即是說，與帝國的吸收不同，殖民地是隨機(jī)的在社會政治坐標(biāo)軸中突然發(fā)生位置上的改變。圖3和圖4是在文化語言坐標(biāo)軸中的革命過程。這種革命增加了該算法的搜索過程同時組織了國家形成早期的局部收斂。算法中的革命率顯示的是每個殖民地隨機(jī)改變它們位置的比例。一個較高的革命率會降低算法的搜索效果并降低收斂率。在我們的應(yīng)用中，我們將革命率設(shè)定為0.3.即是指帝國集團(tuán)中有30%的殖民地會隨機(jī)改變它們的位置。

圖4 一個國家社會政治特征的突然改變

2.4 交換帝國和殖民地的位置

當(dāng)殖民地向帝國移動的過程中，殖民地可能會到達(dá)一個成本比帝國要低的點。在這種情況下，帝國和殖民地即交換它們的位置。而后，算法將由在新位置的帝國吸收新位置的殖民地過程繼續(xù)下去。如圖5所示為帝國和殖民地交換位置的過程。在改圖中，最好的殖民地由深色表示，該殖民地比其帝國的成本要小。如圖6所示為殖民地和帝國交換位置后的狀態(tài)。

圖5 交換殖民地和帝國的位置

圖6 交換位置后的帝國和殖民地的狀態(tài)

在殖民地和帝國向著目標(biāo)最小值移動的過程中，一些帝國可能會移動到相似的位置，如果兩帝國之間的位置要小于初始位置，它們將會合并為一個新的帝國集團(tuán)。原帝國集團(tuán)的殖民地將會成為新帝國集團(tuán)的殖民地，同時新帝國的位置將由原帝國中二者之一的位置所決定。圖7和圖8顯示的合并過程。

圖7 合并前的帝國集團(tuán)

圖8 兩帝國合并后的狀態(tài)

2.5 帝國集團(tuán)競爭

一個帝國集團(tuán)的總力量主要由它的帝國力量所決定?？墒侵趁竦氐牧α恳矊Φ蹏瘓F(tuán)的力量有影響。一個帝國集團(tuán)的總成本由式（16）所決定[16]：

此處，T.C.為第n個帝國集團(tuán)的總成本。ξ為一個較小的正數(shù)。ξ越大會使殖民地對帝國集團(tuán)的影響越大。在大部分的情況下ξ取0.1被認(rèn)為是最好的。

每個帝國集團(tuán)都試圖占領(lǐng)并控制其他帝國集團(tuán)的殖民地。帝國競爭過程中，強(qiáng)國將更強(qiáng)，弱國將更弱。帝國競爭一般先選出最弱帝國集團(tuán)，并使其他帝國集團(tuán)競爭去占領(lǐng)該集團(tuán)。圖9顯示帝國競爭。在這個過程中，基于各自的力量，每個集團(tuán)都有占領(lǐng)最弱集團(tuán)的可能性。從另一個方面來說，最弱國不一定確定被最強(qiáng)國家占領(lǐng)，但是越強(qiáng)的集團(tuán)占領(lǐng)弱集團(tuán)的可能性越大。為了開始這個競爭過程，首先最弱的帝國集團(tuán)的一個殖民地將被選出來，并確定每個國家占領(lǐng)的可能性。占領(lǐng)可能性Pp依據(jù)帝國集團(tuán)的總力量所決定：

圖9 帝國競爭：帝國越有力量，越有可能占領(lǐng)最弱帝國集團(tuán)的殖民地

此處，T.C.n和N.C.n為第n個帝國集團(tuán)的總成本和相對成本。依據(jù)相對成本，每個帝國的占領(lǐng)可能性由下式?jīng)Q定：

為了將在帝國集團(tuán)中將上述的殖民地分類，我們引入如下向量P：

向量R是與向量P具有相同規(guī)格的向量，其元素服從均勻分布：

向量D由向量P減去向量R所得：

向量D中元素值最大的對應(yīng)帝國集團(tuán)即會占領(lǐng)上述的殖民地。

這樣選擇帝國集團(tuán)的過程與遺傳算法中選擇母類的輪盤賭過程相似。但是這里的選擇方法比相關(guān)的輪盤賭過程要快。因為這個過程并不需要計算累積分布函數(shù)，并且選擇過程僅僅基于可能性的值。因此，帝國集團(tuán)的選擇過程可以完全替換遺傳算法中的輪盤賭，并增加執(zhí)行速度。上述步驟將會持續(xù)下去直至實現(xiàn)國家收斂并且達(dá)到成本最小的目標(biāo)。不同標(biāo)準(zhǔn)可用來結(jié)束該算法。一種思想是設(shè)定最大迭代次數(shù)?；蛘弋?dāng)僅剩一個帝國集團(tuán)時即結(jié)束該算法。

2.6 約束處理

依前所述，切削加工過程中存在各類非線性約束條件。ICA算法也是針對無約束優(yōu)化問題的隨機(jī)尋優(yōu)算法，因此，必須結(jié)合約束處理技術(shù)，才可用于解決切削參數(shù)優(yōu)化問題。目前流行的約束處理技術(shù)主要是罰函數(shù)法[17]。文獻(xiàn)中考慮了粒子的歷史約束狀態(tài)，本文結(jié)合二者進(jìn)行約束處理。針對本文數(shù)學(xué)模型，罰函數(shù)如公式(22)所示：

式中，α為罰因子。根據(jù)公式(22)來評價帝國和殖民地，如果當(dāng)前帝國沒有違反約束條件，則以目標(biāo)函數(shù)為評價標(biāo)準(zhǔn)，否則，根據(jù)罰函數(shù)來評價帝國。

3 實例分析與結(jié)果比較

3.1 模型與算法中的參數(shù)設(shè)置

3.1.1 切削參數(shù)優(yōu)化模型中相關(guān)參數(shù)設(shè)置

前面引入?yún)⒖嘉墨I(xiàn)[2～4]中的模型，這樣便于比較結(jié)果，同理，也采用相同的實例。

刀具直徑：100mm；切削長度：159mm；切削深度：2mm；切削寬度：60mm。

銑刀齒數(shù)：4；

刀具刀尖直徑：1mm；

表面粗糙度最大值：3.2 ；

刀具磨損導(dǎo)致的換刀時間：600s；

主軸最低轉(zhuǎn)速：45轉(zhuǎn)/分 ；

主軸最高轉(zhuǎn)速：6000轉(zhuǎn)/分；

最小進(jìn)給速度：3mm/s；

最大進(jìn)給速度：8000mm/s ；

機(jī)床主軸最大進(jìn)給力：8000N；

機(jī)床主軸最大扭矩：200N×m；

機(jī)床主軸最大有效功率：7.5Kw；

機(jī)床功率有效系數(shù)：0.8；

查切削用量手冊[5]得刀具耐用度系數(shù)：

Cv:1067 m:0.2 y:0.2 p:0.15 u:0.1 k:0.1 q:0.25；

切削力系數(shù)：

Cf:7900 xf:1.0 yf:0.75 uf:1.1 qf:1.3 wf:0.2 kfc:0.25。

3.1.2 ICA算法中的參數(shù)設(shè)置

ICA算法中，初始國家數(shù)量為20，其中帝國數(shù)量為5，殖民地數(shù)量為15；ξ為0.1，β設(shè)置為2，γ 設(shè)置為 π/4（Rad）；罰因子 α=1。

3.2 結(jié)果比較與分析

將ICA算法隨機(jī)測試20次，所得最好結(jié)果、平均值、最差結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果與文獻(xiàn)[4]進(jìn)行比較，如表1所示，其中PSO+LS代表采用局部搜索的PSO混合算法；PSO代表基本的PSO算法；SA代表模擬退火算法；Dynamic與Adaptive分別代表采用動態(tài)及自適應(yīng)懲罰策略的遺傳算法。從表中可以看出，ICA算法最好解、平均解和標(biāo)準(zhǔn)差的值均優(yōu)于其他算法，表明了ICA算法應(yīng)用于切削參數(shù)優(yōu)化問題的有效性和優(yōu)越性。

表1 不同算法隨機(jī)測試20次的統(tǒng)計結(jié)果

4 結(jié)論

本文在考慮機(jī)床加工和工件的實際約束的基礎(chǔ)上,建立以最大生產(chǎn)率為目標(biāo)函數(shù)的銑削參數(shù)數(shù)學(xué)模型,然后應(yīng)用帝國主義競爭算法對數(shù)控機(jī)床的銑削參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu),并進(jìn)行了實例驗證。同時，在理論研究的基礎(chǔ)上，開發(fā)出相應(yīng)的原型系統(tǒng)軟件，本文的研究內(nèi)容和成果可為帝國主義競爭算法求解其他相似類型問題提供啟發(fā)和借鑒。

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