疏散星團M67成員星的兩點相關(guān)分析*

郭文瀚 羅智堅 束成鋼

(1上海包玉剛實驗學(xué)校上海201620)

(2上海市星系與宇宙學(xué)半解析研究重點實驗室上海200234)

(3上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院上海200234)

1 引言

隨著觀測資料的不斷擴大,現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計方法在天文研究中扮演了越來越重要的角色,如兩點相關(guān)函數(shù)、最近鄰分析、滲流、功率譜分析、BA(Binning Analysis)和KS(Kolmogorov-Smirnov)檢驗、團分析和多重性函數(shù)等[1–11].其中,兩點相關(guān)函數(shù)和滲流的應(yīng)用較廣泛[1–2,12–13].兩點相關(guān)函數(shù)是研究星團中恒星空間分布情況的一種重要方法,它可以描述星團內(nèi)恒星的空間分布與均勻隨機分布之間的差別,對團星的成團性做出判定.滲流則主要用于探測樣本中鏈狀和網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的分布,對于樣本的成團性并不敏感.本文的主要目的是探討M67疏散星團中恒星的空間分布情況和成員星的成團性,故采用兩點相關(guān)函數(shù)來進行統(tǒng)計研究.

與球狀星團相比,疏散星團是一種中心聚度相對較低的恒星集團,由數(shù)十顆至數(shù)千顆恒星組成,外形較不規(guī)則;部分老年疏散星團呈近球形,中心聚度相對較好.一般來說,疏散星團的成員星有共同的起源,他們有相似的年齡和化學(xué)組成,由于疏散星團距離較近,許多基本天體物理參量的測量更為準(zhǔn)確,它們的年齡、距離、金屬豐度、自行等相對來說也更方便測定,有助于人們對恒星和銀河系的結(jié)構(gòu)及演化進行深入了解.疏散星團中成員星的確定方法已經(jīng)相當(dāng)成熟[14],許多疏散星團中也有足夠數(shù)量的成員星,這為成員星的兩點相關(guān)函數(shù)分析打下了良好的基礎(chǔ).本文將從最新公布的WEBDA(the Web version of Base Donn′ees Amas)數(shù)據(jù)庫中收集疏散星團M67的觀測資料進行兩點相關(guān)函數(shù)分析,討論其恒星的空間分布和動力學(xué)演化情況.

2 樣本

WEBDA疏散星團表[15]是研究疏散星團十分重要的資料,由奧地利維也納大學(xué)天文研究所編制而成,其中包括了許多疏散星團的測光和測譜數(shù)據(jù).M67(NGC2682,α2000=8h51m18s,δ2000=11°48′.0)是其中被研究得最多的老年疏散星團之一,位于巨蟹座,年齡約為3.2×109–5×109yr[16],距離地球約800–900 pc[17],與銀盤面的傾角約為15°[15].M67的成員星較為豐富(～1000顆[18]),距離也近,因而被廣泛用于開展疏散星團結(jié)構(gòu)與演化的研究.

由于投影效應(yīng)的影響,星團觀測的天區(qū)通常混有不同程度的場星污染.如何準(zhǔn)確判定星團的成員星是所有星團研究工作的基礎(chǔ).通常人們利用觀測天區(qū)中恒星的運動學(xué)資料(自行和視向速度)來去除場星的污染,從而相對準(zhǔn)確地判定星團的成員.Sanders[19]根據(jù)恒星較高精度的自行速度資料,利用最大似然法最早完成了對M67所在天區(qū)B波段星等亮于17等的1866顆恒星的成員判定,并通過分析恒星的相對自行分布得出了1571顆成員星的成員概率,被收錄到了WEBDA星團表中.此后,Girard等[20]、Zhao等[14]和趙君亮等[21–22]在Sanders[19]方法的基礎(chǔ)上對成員星判定方法作了一定的改進,并對M67星團成員星重新進行了判斷.但Girard等人只對M67天區(qū)中較亮的663顆恒星的成員概率進行了判別[20],而Zhao等[14]和趙君亮等[21–22]也只對M67區(qū)域內(nèi)1067顆恒星進行了判別[14,21–22],數(shù)量較Sanders[19]少,且成員星的判定結(jié)果與Sanders[19]基本一致.近年來,隨著Gaia巡天數(shù)據(jù)的陸續(xù)釋放,基于Gaia空間高分辨率數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的疏散星團成員星判定工作也取得了很大進展,如基于DR1和DR2數(shù)據(jù)的Cantat-Gaudin等[23–24]的工作及文獻[25–26]等.但對于視差及自行測量,由于觀測的歷元差相對較短,Gaia僅對G波段星等亮于15等的亮端恒星具有高精度的觀測.此外,利用Gaia數(shù)據(jù)對疏散星團成員星的判定大多是基于機器學(xué)習(xí)的聚類算法,如UPMASK(Unsupervised Photometric Membership Assignment in Stellar Clusters)[26]和RF(Random Forest)[24]等方法,與經(jīng)典的、相對成熟可靠的Sanders方法具有較大不同.因此,本文采用WEBDA M67星表中Sanders[19]給出的1571顆恒星的成員概率,選取成員概率大于0.6的恒星作為M67的成員星進行研究,總共有451顆.這451顆恒星的成員概率之和為409,因而統(tǒng)計上可能混入團星的場星數(shù)為42顆,約占團星總數(shù)的9%.

3 兩點相關(guān)函數(shù)的定義

如Schneider[27]和Mo等[28]所指出的,兩點相關(guān)函數(shù)是用來描述天體分布狀況的一個重要方法.空間兩點相關(guān)函數(shù)P的定義為:在距離為r的兩個體積元δV1和δV2中,同時發(fā)現(xiàn)兩個天體的概率:

一般來說,兩點相關(guān)函數(shù)有兩種,一種為角相關(guān)形式,描述天體在天球上投影的分布,稱為角兩點相關(guān)函數(shù);另一種表征天體在空間中的分布,稱為空間兩點相關(guān)函數(shù).本文所討論的兩點相關(guān)函數(shù)指的是角兩點相關(guān)函數(shù),其計算公式為[1]:

其中,DD(θ)為樣本中恒星間角距離在θ→θ+δθ的數(shù)目,RR(θ)為在同一區(qū)域內(nèi)均勻隨機分布的樣本中,數(shù)據(jù)點間角距離在θ→θ+δθ的數(shù)目,〈RR(θ)〉表示對多次隨機取樣進行平均(本文隨機取樣1000次).我們用Shimazaki和Shinomoto[29]的方法計算了最佳的Bin-size取值,并根據(jù)兩點相關(guān)函數(shù)的邊緣效應(yīng)[30–31],對δθ作了對數(shù)修正.根據(jù)計算出的ξ(θ),可以得出樣本中天體分布相對于均勻隨機分布的偏離程度與偏離狀態(tài).若ξ(θ)>0,樣本為正相關(guān),出現(xiàn)成團現(xiàn)象;反之,若ξ(θ)<0,樣本呈負相關(guān),出現(xiàn)空洞現(xiàn)象[27];ξ(θ)=0表示樣本為均勻隨機分布.對于ξ(θ)估計,我們可以很好地采用泊松誤差[28]

來估計兩點相關(guān)函數(shù)ξ(θ)的誤差.在本文中,兩點相關(guān)函數(shù)的角相關(guān)形式中所有的角度單位取′.

4 自相關(guān)分析

自相關(guān)分析用于檢驗一個樣本是否在空間上成團.通常,樣本的兩點相關(guān)函數(shù)可以表示為θ的函數(shù),并滿足冪律分布[1]:

其中,A為相關(guān)強度,θ0為相關(guān)尺度,α為相關(guān)指數(shù),A、θ0和α可以通過對上式取對數(shù)后進行線性回歸擬合得到.

表1和圖1(a)是M67中451顆成員星的兩點自相關(guān)函數(shù)的計算結(jié)果.由于星團核區(qū)動力學(xué)演化以及兩個恒星間距離不能太近因素的影響,在θ很小時(～3′)兩點相關(guān)函數(shù)會產(chǎn)生偏離.本文仍然將最小θ值的數(shù)據(jù)點顯示在圖上,以“×”表示,但在進行線性回歸擬合時將該數(shù)據(jù)點舍去.擬合時所用數(shù)據(jù)點用“°”表示,我們已根據(jù)誤差考慮了每個數(shù)據(jù)點的權(quán)重(下同),擬合結(jié)果用虛線表示.

表1 M67樣本成員星、場星的自相關(guān)分析Table 1 Self-correlation analysis of M67 member stars and field stars

圖中可以看出,M67的自相關(guān)性非常好,相關(guān)強度為23.13±3.60(′)α,相關(guān)尺度為(24.30±6.71)′,置信水平大于99%.圖1(b)是M67天區(qū)內(nèi),除去451顆成員概率大于0.6的成員星后的1118顆場星的兩點相關(guān)函數(shù).從圖中可以看出,場星的自相關(guān)性非常低,相關(guān)強度為0.56±0.17(′)α,相關(guān)尺度為(0.28±0.10)′.對于均勻分布的場星,ξ(θ)理論上應(yīng)該在0附近振蕩,本文中ξ(θ)不為0的原因主要由銀河系自身其他結(jié)構(gòu)特征引起,場星自身成團信號較團星低一個量級以上,故本文的自相關(guān)分析是可信的.

圖1 (a)M67全部成員星的自相關(guān)分析擬合;(b)場星的自相關(guān)分析擬合.Fig.1(a)Self-correlation analysis and fitting of M67 member stars;(b)Self-correlation analysis and fitting of field stars.

在星團形成和動力學(xué)演化過程中,團星間的動能均分會導(dǎo)致成員星之間出現(xiàn)能量(動能)交換.小質(zhì)量成員星的運動速度將逐漸增大,大質(zhì)量成員星的運動速度則逐漸減小.經(jīng)過充分的動力學(xué)演化,在達到維里平衡后,星團將表現(xiàn)出空間質(zhì)量分層效應(yīng)和速度質(zhì)量分層效應(yīng)[32].McNamara和Sekiguchi[33]對疏散星團的空間質(zhì)量分層有過詳細的介紹.疏散星團的空間質(zhì)量分層意味著不同質(zhì)量區(qū)間的成員星會出現(xiàn)不同的徑向分布密度輪廓,大質(zhì)量成員星相對于小質(zhì)量成員星有更大的中心聚度.

為了研究M67的質(zhì)量分層效應(yīng),我們利用BATC(Beijing-Arizona-Taipei-Connecticut)大視場多色巡天3890?A波段的測光數(shù)據(jù)[34],將M67的團星分為了3個不同光度范圍的子樣本,并分別計算了每個子樣本的自相關(guān)函數(shù).其中,子樣本A有131顆恒星,星等范圍mA≤13.3;子樣本B有156顆恒星,星等范圍mB∈(13.3,14.3],子樣本C有107顆恒星,星等范圍mC∈(14.3,15.3].表2和圖2是各個子樣本的自相關(guān)情況.

表2 M67中不同光度子樣本的自相關(guān)分析Table 2 Self-correlation analysis of M67 member stars based on magnitude

從表2和圖2(a)–(c)可以看出,M67不同光度范圍的3個子樣本均具有強自相關(guān)性,兩點相關(guān)函數(shù)都能用冪律形式較好地擬合.其中,子樣本A的自相關(guān)性最強,相關(guān)強度大于20(′)α,子樣本B和C的相關(guān)強度值則相對較小,均小于10(′)α.從表2和圖2中還可以看出,隨著光度的減小,從子樣本A到子樣本C,兩點自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)強度和相關(guān)指數(shù)亦逐漸減小,說明M67的亮星與暗星具有明顯的分維,成員星呈現(xiàn)出明顯的空間質(zhì)量分層效應(yīng),亮星較暗星具有更強的中心聚度.

圖2 M67不同光度子樣本的自相關(guān)分析擬合.(a)子樣本A;(b)子樣本B;(c)子樣本C.Fig.2 Self-correlation analysis and fitting of M67 member stars based on magnitude.(a)subsample A;(b)subsample B;(c)subsample C.

團星的空間質(zhì)量分層現(xiàn)象是星團經(jīng)歷長時間動力學(xué)演化的結(jié)果.Bica和Bonatto[35]定義了一個演化參數(shù):

來衡量星團的動力學(xué)演化程度,其中,tc為星團的年齡,tr為星團的弛豫時標(biāo),即星團達到維里平衡所需要的時間.τ值越大,星團的動力學(xué)演化越充分.根據(jù)Chandrasekhar[36]對弛豫時標(biāo)計算的公式:

其中,N為星團中恒星的個數(shù),ˉm為團星的平均恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量的比值,為星團的半光度半徑,單位為秒差距[37],我們可以算出,M67的弛豫時標(biāo)約為3×107yr[38].由于M67的年齡約為4×109yr,故演化參數(shù)τ?1.這表明M67已經(jīng)經(jīng)歷了長期的動力學(xué)演化,出現(xiàn)空間質(zhì)量分層現(xiàn)象是合理的.

5 交叉相關(guān)分析

兩點交叉相關(guān)函數(shù)常用于分析幾組樣本相互之間的關(guān)系.通過交叉相關(guān)分析能更深入地了解樣本的空間成團性.一般地,兩點交叉相關(guān)函數(shù)可通過下式計算:

其中,DD12(θ)是任意兩組樣本中,恒星間角距離為θ→θ+δθ的點對數(shù)目.

與兩點自相關(guān)函數(shù)類似,兩點交叉相關(guān)函數(shù)ξN12(θ)一般也滿足冪律分布[1]:

式中,A、θ0和α3個參數(shù)也可以通過對上式取對數(shù)后進行線性回歸擬合得到.

M67中3個子樣本A、B和C之間的兩點交叉相關(guān)分析的計算和擬合結(jié)果見表3和圖3.圖3(a)、(b)和(c)中的虛線分別代表對子樣本A–B、A–C和B–C的交叉相關(guān)分析的冪律擬合.

表3 M67各個子樣本的兩點交叉相關(guān)分析Table 3 Cross-correlation analysis of M67 member stars based on magnitude

圖3 M67成員星子樣本的交叉相關(guān)分析擬合.(a)子樣本A–B;(b)子樣本A–C;(c)子樣本B–C.Fig.3 Cross-correlation analysis and fitting of M67 member stars.(a)subsample A–B;(b)subsample A–C;(c)subsample B–C.

由表3和圖3可知,M67中各個子樣本之間存在明顯的交叉相關(guān)性,說明M67中不同光度的成員星即使有不同的自相關(guān)強度和指數(shù),但他們沒有表現(xiàn)出絕對的空間質(zhì)量分層,不同光度的成員星之間相互交織、相互滲透.同時,從表3和圖3還可以看出,各個樣本之間的兩點交叉相關(guān)函數(shù)存在一定的差異.子樣本A與子樣本B之間的交叉相關(guān)強度和相關(guān)指數(shù)最大,分別為19.88±2.28(′)α和0.98±0.05,而較暗的子樣本B和C之間的交叉相關(guān)強度和相關(guān)指數(shù)相對最弱,分別為6.92±1.26(′)α和0.71±0.08,說明隨著星等的變小,M67子樣本間的交叉相關(guān)強度逐漸減弱,相關(guān)指數(shù)也逐漸變小,這從另一角度說明了亮星相對于暗星具有更強的成團性,M67中存在空間質(zhì)量分層現(xiàn)象.

6 總結(jié)與討論

本文利用WEBDA數(shù)據(jù)庫中歸檔的老年疏散星團M67的觀測資料,對M67成員星進行了兩點相關(guān)函數(shù)分析,討論了團星的空間分布情況.在研究中,對M67的成員星判定采用了Sanders[19]的研究結(jié)果,并取用了成員概率p≥0.6作為團星的選擇標(biāo)準(zhǔn).同時,本文還利用Burstein等人給出的BATC大視場多色巡天3890?A波段的測光數(shù)據(jù)[34],將M67的團星分成了3個不同星等(質(zhì)量)范圍的子樣本,并對各個子樣本自相關(guān)函數(shù)的差異和子樣本間的交叉相關(guān)性進行了分析,探討了M67團星的空間質(zhì)量分層效應(yīng)與動力學(xué)演化規(guī)律.

我們的研究結(jié)果表明,M67全體成員星的兩點自相關(guān)函數(shù)能很好地用冪律形式來描述,其成員星的空間分布具有強成團性和自相似性.此外,按光度區(qū)間劃分的3個子樣本的兩點自相關(guān)函數(shù)也能很好地用冪律形式來描述,但不同光度子樣本的兩點自相關(guān)函數(shù)之間存在明顯的差異,亮星子樣本比暗星子樣本有更強的自相關(guān)強度和更大的自相關(guān)指數(shù).這說明M67中大質(zhì)量的成員星(亮星)具有更強的成團性及中心聚度,該星團在空間分布上已經(jīng)出現(xiàn)了明顯的質(zhì)量分層現(xiàn)象.通過計算M67的弛豫時標(biāo)并和年齡進行對比發(fā)現(xiàn),M67的演化參數(shù)[35]τ?1,表明在其演化過程中已經(jīng)經(jīng)歷了充分的動力學(xué)演化,M67在兩點相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計分析上表現(xiàn)的空間質(zhì)量分層現(xiàn)象從物理上來說是合理的.

本文進一步的研究還表明,M67中不同光度范圍的子樣本間的兩點交叉相關(guān)函數(shù)也可以很好地用冪律形式來描述,表明不同光度區(qū)間的恒星之間沒有表現(xiàn)出絕對的空間質(zhì)量分層,亮星和暗星相互交織、相互滲透.此外,各子樣本之間不僅存在明顯的交叉相關(guān)性,且隨著光度的減弱,交叉相關(guān)強度及相關(guān)指數(shù)也逐漸減弱,再次從另一方面證實了空間質(zhì)量分層效應(yīng)的存在.