考慮區(qū)域性的復(fù)雜電力網(wǎng)絡(luò)演化模型

楊 蕾，黃小慶，曹麗華，譚玉東，劉 玙

（湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410082）

電力系統(tǒng)大停電事故頻繁發(fā)生，后果日益嚴(yán)重，逐漸引起了人們對(duì)電網(wǎng)連鎖故障傳播機(jī)理和電力系統(tǒng)脆弱性的關(guān)注［1～14］。將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論應(yīng)用于對(duì)電力網(wǎng)絡(luò)的脆弱性、魯棒性以及連鎖故障的研究成為一大熱點(diǎn)課題［4～11］。把大電網(wǎng)中的發(fā)電廠和變電站等同于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，各輸電線路等同于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的連邊，建立相應(yīng)的大電網(wǎng)簡(jiǎn)化模型，是利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究大電網(wǎng)連鎖故障的基礎(chǔ)［8～10］。同時(shí)，電網(wǎng)本身的結(jié)構(gòu)及演化規(guī)律具有內(nèi)在、本質(zhì)的特性，一旦確定下來(lái)，必然對(duì)電網(wǎng)的性能產(chǎn)生深刻的影響［6，7］。因此，研究電力網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)特性及其演化模型具有重要意義。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種新的網(wǎng)絡(luò)模型，并對(duì)這些模型所生成網(wǎng)絡(luò)的特性進(jìn)行了研究［2，3，15～16］。小世界模型和無(wú)標(biāo)度模型的提出以及其特性的發(fā)現(xiàn)是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域里最重要的研究成果［2，3］。小世界網(wǎng)絡(luò)介于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)之間，通過(guò)很小的概率切斷規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中原始的邊，并隨機(jī)選擇新的節(jié)點(diǎn)重新連接，它同時(shí)具有較大的聚類系數(shù)和較小的特征路徑長(zhǎng)度［2］。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布在整體上服從冪律分布［3］。小世界特性使得電力網(wǎng)絡(luò)中存在少量的節(jié)點(diǎn)擁有遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他節(jié)點(diǎn)的介數(shù)，這些節(jié)點(diǎn)的缺失會(huì)導(dǎo)致大量最短路徑的重新分布，進(jìn)而引起系統(tǒng)連鎖故障［9］。無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)源于其非同質(zhì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對(duì)隨機(jī)故障有驚人的魯棒性，但對(duì)蓄意攻擊則呈現(xiàn)出固有的脆弱性［14］。

當(dāng)前經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型與實(shí)際電力網(wǎng)絡(luò)存在較大差異［21］。文獻(xiàn)［15］證實(shí)了電力網(wǎng)絡(luò)不是隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，也不是完全的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)［6］指出，部分電力網(wǎng)絡(luò)不具有小世界特性，而部分電力網(wǎng)絡(luò)的度分布不服從冪率分布也不服從指數(shù)分布。文獻(xiàn)［22］提出了冪指數(shù)在1至3之間變化的網(wǎng)絡(luò)模型，文獻(xiàn)［23］提出了冪指數(shù)在1至3和2至3之間變化的網(wǎng)絡(luò)模型，但文獻(xiàn)［3］指出多數(shù)度分布為冪律分布的電力網(wǎng)絡(luò)，其冪指數(shù)大于3。

本文從電力網(wǎng)絡(luò)本身的演化機(jī)理入手，結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域最新的研究成果，提出一種改進(jìn)的復(fù)雜電網(wǎng)鄰域演化模型。通過(guò)理論分析給出了改進(jìn)模型的度分布規(guī)律，通過(guò)對(duì)美國(guó)西部電網(wǎng)和中國(guó)華東電網(wǎng)的仿真以及與鄰域演化網(wǎng)絡(luò)、BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的對(duì)比，驗(yàn)證了該模型可以更好地?cái)M合電力網(wǎng)絡(luò)的演化。該模型的提出對(duì)于電力系統(tǒng)復(fù)雜性研究具有重要意義。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型及其特征參數(shù)

1.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型簡(jiǎn)介

現(xiàn)實(shí)世界中的大多數(shù)復(fù)雜系統(tǒng)可以用網(wǎng)絡(luò)的形式來(lái)描述。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型研究即研究網(wǎng)絡(luò)生成機(jī)制及演化模型。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的生成機(jī)制指的是網(wǎng)絡(luò)的形成方式與形成過(guò)程，根據(jù)生成機(jī)制建立的模型稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化模型。

針對(duì)現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中普遍存在的局域世界現(xiàn)象，文獻(xiàn)［18］提出了局域世界演化模型，該模型在選取局域世界時(shí)使用了隨機(jī)策略。而文獻(xiàn)［20］建立的鄰域演化模型，雖是隨機(jī)選擇鄰域中心點(diǎn)，但以深度定義“鄰域”，將局域世界的概念更加具體化。本文提出的模型在鄰域演化模型的基礎(chǔ)上考慮節(jié)點(diǎn)間距離的影響，重新定義“鄰域”以及新節(jié)點(diǎn)接入網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)選方式?；镜泥徲蜓莼Ｐ偷摹班徲颉倍x為：假定在一個(gè)無(wú)權(quán)無(wú)向網(wǎng)絡(luò)G中，標(biāo)號(hào)為i和j的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離dij定義為連接這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的最短路徑上的邊數(shù)，即從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j所需要經(jīng)過(guò)的最少的邊數(shù)。節(jié)點(diǎn)i的深度為p的鄰域記為Np（i），則

對(duì)于圖1給出的網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)式1可得：N1（1）＝ ｛2，3｝，N2（1）＝ ｛2，3，4，7｝，圖1（b）與圖1（c）分別是節(jié)點(diǎn)1的深度為1、2的鄰域示意圖。

圖1 “鄰域”示意圖Fig.1 Neighborhood schematic diagram

1.2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特征參數(shù)

從統(tǒng)計(jì)意義上講，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣鲄?shù)包括度分布、特征路徑長(zhǎng)度、聚類系數(shù)等，其中最能反映網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮卣鞯氖嵌确植迹?］。

節(jié)點(diǎn)i的度ki定義為與該節(jié)點(diǎn)連接的其他節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度越大就意味著這個(gè)節(jié)點(diǎn)在某種意義上越“重要”。網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)i的度ki的平均值稱為網(wǎng)絡(luò)的平均度，記為＜k＞。度分布p（k）為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)為k的概率。

2 改進(jìn)的電力網(wǎng)絡(luò)演化模型

2.1 電力網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Ｔ瓌t和特征

電力網(wǎng)絡(luò)可以抽象成為一個(gè)具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)和E條線路的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)包括發(fā)電廠和變電站，而輸電線、變壓器支路是電網(wǎng)拓?fù)渲械倪叀?/p>

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和電力需求的增加，不斷有新的發(fā)電廠和變電站的投入，本模型使用節(jié)點(diǎn)和連接的增加模擬電網(wǎng)的生長(zhǎng)。在電力網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展過(guò)程中，輸電距離很大程度地影響了電網(wǎng)建設(shè)的經(jīng)濟(jì)成本。因此，新建發(fā)電廠和變電站一般從鄰近的變電站輸入電力，與以其位置為中心的一定地理范圍內(nèi)的周邊變電站相連，電網(wǎng)的生長(zhǎng)表現(xiàn)出一定的鄰域演化特性。在優(yōu)選連接方面，為達(dá)到一定的經(jīng)濟(jì)效益，新建廠站會(huì)與靠近自身的變電站相連，同時(shí)，為維持電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行（N－1原則、暫態(tài)穩(wěn)定等），新建廠站還需要與系統(tǒng)中承擔(dān)“重要”輸電作用的變電站相連，這些變電站往往具有較高的容量，與其他廠站的連接也較多。因此，電力網(wǎng)絡(luò)的演化模型應(yīng)該以一定的地理區(qū)域作為“鄰域”范圍，在新節(jié)點(diǎn)接入“鄰域”時(shí)，定義概率q與距離近的節(jié)點(diǎn)相連，（1－q）與“鄰域”內(nèi)度數(shù)高的節(jié)點(diǎn)相連，達(dá)到經(jīng)濟(jì)與穩(wěn)定運(yùn)行的持平。

2.2 改進(jìn)模型的構(gòu)造算法

改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)演化模型按照如下算法構(gòu)造。

1）增長(zhǎng)：開(kāi)始于較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)（n0）和連接數(shù)（m0），每次新加入一個(gè)節(jié)點(diǎn)從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇節(jié)點(diǎn)位置New＿Pos，在二維空間中，New＿Pos可用復(fù)數(shù)表示。

2）確定鄰域世界：鄰域世界的范圍選取為New＿Pos與網(wǎng)絡(luò)中原有nI個(gè)節(jié)點(diǎn)Init＿Pos之間距離的平均值，其表達(dá)式為

式中：Pos（i）為鄰域內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)；‖Init＿Pos－New＿Pos×‖I為原有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和新節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量差值的1－范數(shù)。圖2給出N＝200時(shí)的鄰域示意圖。

3）連接：新節(jié)點(diǎn)連接到m個(gè)已存在節(jié)點(diǎn)上，即產(chǎn)生m條連邊，給定概率q，新加入的節(jié)點(diǎn)以q的概率與鄰域中度數(shù)較高的節(jié)點(diǎn)相連，以（1－q）的概率與鄰域中距離較近的節(jié)點(diǎn)相連。這樣，鄰域中節(jié)點(diǎn)i的優(yōu)選因子?i。

ki是節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)，Di是節(jié)點(diǎn)i與新節(jié)點(diǎn)間的距離。經(jīng)過(guò)t步，該模型產(chǎn)生一個(gè)具有N＝t＋n0個(gè)節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)。

圖2 新“鄰域”示意圖Fig.2 New Neighborhood schematic diagram

2.3 改進(jìn)模型的度分布分析

使用平均場(chǎng)方法［24］分析電力網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)演化模型的度分布規(guī)律。新節(jié)點(diǎn)連接到節(jié)點(diǎn)i的概率Π（ki）為

式中，Nneighbor為鄰域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

利用微元法，當(dāng)t很大時(shí)，均勻分布相鄰節(jié)點(diǎn)間的距離d為

由式（6）得出：

近似求得：

進(jìn)一步，使用平均度數(shù)假設(shè)式（9）成立

結(jié)合式（4）、（8）、（9）可得新節(jié)點(diǎn)連接到節(jié)點(diǎn)i的概率為

假設(shè)k是連續(xù)的，則概率Π（ki）可以看作ki的連續(xù)變化率，于是對(duì)于節(jié)點(diǎn)i有式（11）：

1）q≠0

采用文獻(xiàn)［15］的計(jì)算方法，可得到度分布p（k）的表達(dá)式為

圖3 改進(jìn)模型的度冪律分布Fig.3 Power－law degree distribution of the new model

此時(shí)，式（12）變?yōu)?/p>

同理可得p（k）的表達(dá)式為

由式（15）可知，此時(shí)的度分布為指數(shù)分布。圖4給出了N＝5000，m＝2時(shí)改進(jìn)模型的度分布。

圖4 改進(jìn)模型的度指數(shù)分布Fig.4 Exponential degree distribution of the improved model

3 實(shí)例驗(yàn)證

下面給出中美兩大電網(wǎng)的仿真結(jié)果以及與幾種典型網(wǎng)絡(luò)模型的對(duì)比數(shù)據(jù)。美國(guó)西部電網(wǎng)擁有4941個(gè)節(jié)點(diǎn)和6594條邊。中國(guó)華東電網(wǎng)主要由上海、江蘇、浙江、安徽、福建幾省的電網(wǎng)組成，擁有769個(gè)節(jié)點(diǎn)，1029條邊。改進(jìn)模型仿真參數(shù)為m＝2，仿真結(jié)果采用100次運(yùn)行的平均值。

圖5給出了美國(guó)西部電網(wǎng)與不同模型的度分布比較。由圖5（a）可見(jiàn)，美國(guó)西部電網(wǎng)的度分布曲線接近于冪律分布，最佳冪律擬合函數(shù)為：p（k）＝19×k－3.6，相關(guān)系數(shù)為0.9234，冪律指數(shù)r＝3.6，介于3～∞。

當(dāng)q＝0，新節(jié)點(diǎn)接入電網(wǎng)時(shí)，只考慮輸電距離影響，與靠近自身的節(jié)點(diǎn)相連（規(guī)則網(wǎng)絡(luò)）［21］；當(dāng)q＝1，新節(jié)點(diǎn)接入電網(wǎng)時(shí)，只考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性因素，與網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)高的節(jié)點(diǎn)相連（鄰域演化網(wǎng)絡(luò)）［20］；圖5（b）、（c）表明，二者生成的網(wǎng)絡(luò)都不能很好地?cái)M合美國(guó)西部電網(wǎng)的度分布，說(shuō)明美國(guó)西部電網(wǎng)并非單純的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)或鄰域演化網(wǎng)絡(luò)，兩種演化方式都不能很好反映電力網(wǎng)絡(luò)的演化規(guī)律。從圖5（a）可看出，當(dāng)q＝0.8時(shí)，改進(jìn)模型的度分布曲線與美國(guó)西部電網(wǎng)的實(shí)際度分布曲線最相符，證明了改進(jìn)模型的有效性。同時(shí)，這表明電力網(wǎng)絡(luò)的演化發(fā)展具有自身的特征，新節(jié)點(diǎn)接入原系統(tǒng)的方式與度、距離都有關(guān)，即新建廠站接入電力網(wǎng)絡(luò)需要綜合考慮輸電距離以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性，改進(jìn)模型能夠很好地反映電力網(wǎng)絡(luò)的演化規(guī)律。結(jié)合圖5（a）、（d）可知，改進(jìn)模型比BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)更接近實(shí)際網(wǎng)絡(luò)。BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)1取參數(shù)m＝2；BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)2取m＝1。

圖5 美國(guó)西部電網(wǎng)與不同模型的度分布比較Fig.5 Degree distribution comparisons between West American power grid and different network models

由圖6（a）可見(jiàn)，中國(guó)華東電網(wǎng)的最佳冪律擬合函數(shù)為：p（k）＝87×k－4.2，相關(guān)系數(shù)為0.9017，冪律指數(shù)r＝4.2，同樣介于3～∞之間。仿真結(jié)果表明，當(dāng)q＝0.7時(shí)，改進(jìn)模型可以很好地?cái)M合中國(guó)華東電網(wǎng)的度分布曲線，華東電網(wǎng)的無(wú)標(biāo)度性小于美國(guó)西部電網(wǎng)（q＝0.8），在新節(jié)點(diǎn)接入電網(wǎng)時(shí)，美國(guó)西部電網(wǎng)以更高的概率與系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)高的節(jié)點(diǎn)相連，“富者更富”，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)差異大，網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出更強(qiáng)的非同質(zhì)性，當(dāng)發(fā)生隨機(jī)故障時(shí)，無(wú)標(biāo)度性強(qiáng)的電網(wǎng)通過(guò)小規(guī)模的線路連鎖開(kāi)斷，釋放系統(tǒng)壓力，能夠減少大停電概率；對(duì)于蓄意攻擊，一旦無(wú)標(biāo)度性強(qiáng)的電網(wǎng)中度數(shù)高的節(jié)點(diǎn)受損，則很可能導(dǎo)致大面積的停電。因此，中國(guó)華東電網(wǎng)承受隨機(jī)故障的能力較弱，小規(guī)模的停電事故較多，但抵御蓄意故障的能力強(qiáng)，大規(guī)模事故的可能性少。圖6（b）、（c）同樣說(shuō)明了華東電網(wǎng)并非單純的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)（q＝0）或鄰域演化網(wǎng)絡(luò)（q＝1）。圖6（a）、（d）表明改進(jìn)模型比BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（m＝2）更好地反映中國(guó)華東電網(wǎng)的演化規(guī)律。

圖6 中國(guó)華東電網(wǎng)不同模型的度分布比較Fig.6 Degree distribution comparisons between East China power grid and different network models

4 結(jié)語(yǔ)

本文在鄰域演化模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合電力網(wǎng)絡(luò)本身的發(fā)展機(jī)理，提出并研究了一種改進(jìn)的電力網(wǎng)絡(luò)演化模型，利用平均場(chǎng)理論分析了該模型演化為大電網(wǎng)時(shí)的度分布，并以中國(guó)華東電網(wǎng)和美國(guó)西部電網(wǎng)的仿真為例，說(shuō)明了改進(jìn)模型的度分布與實(shí)際電網(wǎng)的度分布更相符。進(jìn)一步，通過(guò)把該模型與鄰域演化網(wǎng)絡(luò)、規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的對(duì)比，驗(yàn)證了實(shí)際電網(wǎng)既不是鄰域演化網(wǎng)絡(luò)，也不是完全的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，而改進(jìn)模型更能反映電力網(wǎng)絡(luò)的演化規(guī)律。同時(shí)，仿真結(jié)果表明，中國(guó)華東電網(wǎng)的無(wú)標(biāo)度性（q＝0.7）低于美國(guó)西部電網(wǎng)（q＝0.8），這意味著中國(guó)電網(wǎng)耐受蓄意襲擊的能力強(qiáng)，大規(guī)模事故發(fā)生的可能性小，但抵御小規(guī)模事故的能力弱于美國(guó)電網(wǎng)。該模型的提出對(duì)于進(jìn)一步復(fù)雜電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)特性研究具有重要意義。

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