LFMCW 激光雷達(dá)門限檢測(cè)技術(shù)

張曉永，王 勇，陳 峰

(駐焦作地區(qū)軍事代表室，焦作 454001)

1 中頻信號(hào)的噪聲頻域統(tǒng)計(jì)特性

經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的大量觀察，LFMCW 雷達(dá)混頻器輸出的噪聲是窄帶的零均值高斯噪聲(圖1 為中頻噪聲的采樣樣本)，其概率密度由式(1)給出［1］。

此處，p(ε)dε 是噪聲電壓處于ε 和ε +dε 之間的概率;σ2是噪聲方差，噪聲的均值為零。對(duì)于連續(xù)波雷達(dá)回波而言，由于采取了去調(diào)頻(兩路具有相同調(diào)頻斜率與掃頻帶寬的信號(hào)進(jìn)行混頻輸出)的處理方式，目標(biāo)的信息完全包含于其回波的頻率之中，因此，探測(cè)門限須在頻域進(jìn)行設(shè)置。

由圖1 可以看出，中頻噪聲基本服從均值為零的正態(tài)分布，為分析方便，本文采用正態(tài)分布模型來描述中頻噪聲。由于噪聲在頻域中分布也具有隨機(jī)性，即在頻域中，噪聲中的某一頻率的幅度不是恒定不變的，是具有隨機(jī)性的。這一點(diǎn)可以由以下分析得出。

不失一般性，設(shè)中頻輸出的噪聲為平穩(wěn)高斯過程［2］(樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均可用其時(shí)間平均代替)，在混頻器輸出僅有噪聲存在的情況下，對(duì)中頻信號(hào)采樣并抽取長(zhǎng)度為N1的序列。對(duì)高斯噪聲采樣序列noise(n)進(jìn)行離散傅立葉變換，變換如下［3］:

式中m=0，1，…，N1-1。

圖1 中頻噪聲的一次采樣時(shí)域圖及正態(tài)擬合曲線

顯然R(m)，I(m)為高斯序列的線性組合，因此，R(m)，I(m)仍為高斯分布的序列。因高斯分布的概率密度函數(shù)由其均值與方差決定。下面求解R(m)，I(m)的均值與方差。

R(m)與I(m)的協(xié)方差為:

對(duì)于兩個(gè)高斯分布，其相關(guān)系數(shù)為0 與這兩個(gè)高斯分布相互獨(dú)立是等價(jià)的［4］。由此可得出結(jié)論①:R(m)與I(m)為兩個(gè)相互獨(dú)立并服從同一高斯分布。即NOISE(m)(m =0，1，…，N1-1)的實(shí)部 R (m)與虛部 I (m)獨(dú)立并服從同一高斯分布

在頻域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，要對(duì)中頻采樣序列的DFT 結(jié)果取模，然后進(jìn)行過門限檢測(cè)。因此，有必要求解(或的分布(或等價(jià)分布)。

至此，中頻信號(hào)中的噪聲頻域統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)模型建立完畢。對(duì)于門限檢測(cè)，兩個(gè)比較重要的指標(biāo)是虛警概率與探測(cè)概率。對(duì)于本系統(tǒng)，其虛警概率主要由噪聲的頻域統(tǒng)計(jì)特性以及探測(cè)門限決定，下面將推導(dǎo)頻域探測(cè)門限與虛警概率之間的關(guān)系。

2 探測(cè)門限與虛警概率的關(guān)系

虛警概率Pfa是指在沒有信號(hào)僅有噪聲時(shí)，發(fā)生因噪聲引起電平超過探測(cè)門限值被誤認(rèn)為信號(hào)的事件的概率。顯然，它與噪聲的頻域統(tǒng)計(jì)特性、噪聲功率以及門限電平的大小密切相關(guān)。下面定量地分析它們之間的關(guān)系。在推導(dǎo)探測(cè)門限與虛警概率關(guān)系之前，先介紹一下正確不發(fā)現(xiàn)概率:不存在目標(biāo)判為無目標(biāo)，稱之為正確不發(fā)現(xiàn)，它的概率稱為正確不發(fā)現(xiàn)概率Pan。

設(shè)頻域探測(cè)門限為Q，由于實(shí)際處理過程中，會(huì)將信號(hào)的離散傅立葉變換結(jié)果取模，由結(jié)論②可知，對(duì)于特定的k0，正確不發(fā)現(xiàn)的概率Pan(m0)可由χ2(2)分布求得，即:Pan(m0)=P(0≤

因此，總的虛警概率為

如圖2 所示為N1=1 024 時(shí)，虛警概率隨探測(cè)門限的變化曲線?？梢钥吹剑S著探測(cè)門限的提高，虛警概率不斷的減小，當(dāng)探測(cè)門限Q ＞40σ 時(shí)，Pfa迅速下降，這種性質(zhì)是由χ2(2)分布決定的。

圖2 虛警概率隨探測(cè)門限的變化曲線

另外不難看出，當(dāng)探測(cè)門限與噪聲功率一定情況下，虛警概率隨N1的增加而增大，這是因?yàn)镹1的增加，帶來了更多可引起虛警的“機(jī)會(huì)”。

3 探測(cè)門限與發(fā)現(xiàn)概率pd 的關(guān)系

探測(cè)概率(發(fā)現(xiàn)概率)是指目標(biāo)存在時(shí)，判斷為有目標(biāo)的概率。對(duì)于調(diào)頻連續(xù)波激光雷達(dá)探測(cè)單目標(biāo)時(shí)，可以抽象為單頻正弦信號(hào)加高斯噪聲的中頻信號(hào)的發(fā)現(xiàn)概率pd。

設(shè)N1點(diǎn)的中頻信號(hào)序列為:

設(shè)x(n)，sIF(n)與noise(n)經(jīng)DFT 后得到的序列分別為X(m)，SIF(m)與NOISE(m);假設(shè)某一ms恰使得為小于N1的正整數(shù))。因此，正確發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的事件就是超過預(yù)設(shè)的探測(cè)門限Q。由于NOISE(m)經(jīng)N 點(diǎn)DFT的結(jié)果已經(jīng)分析，現(xiàn)分析SIF(ms)。

令

由1 節(jié)關(guān)于NOISE(m)的假設(shè)可有:

由式(11)并結(jié)合結(jié)論①可得出結(jié)論③:R(mS)+RS(mS)服從服從分布，并且兩者相互獨(dú)立。

正確發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率可表示為如下形式:pd= P(Q ≤

從結(jié)論④中可以得出探測(cè)概率的表達(dá)式為

由統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，分布函數(shù)ncx2cdf(x，δ)具有一條重要的性質(zhì):ncx2cdf(x，δ)隨x 的減小或δ 增大而減小。由此可得出以下四點(diǎn)結(jié)論:

第一，在噪聲方差、數(shù)據(jù)長(zhǎng)度、探測(cè)門限一定的情況下，探測(cè)概率隨中頻信號(hào)的信噪比的增加而增大，此時(shí)的探測(cè)概率完全取決于SNR。如圖3 所示為當(dāng)N1=512，Q =150σ 時(shí)，探測(cè)概率隨中頻信號(hào)的信噪比變化曲線。

圖3 探測(cè)概率隨中頻信號(hào)SNR 的變化曲線

第二，隨著N1的增大增大，因此，當(dāng)探測(cè)門限與中頻信號(hào)的信噪比不變時(shí)，探測(cè)概率將會(huì)隨著N1的增加而增大。

第三，在探測(cè)門限不變的情況下，當(dāng)中頻信號(hào)的信噪比較小時(shí)，可以通過增加N1的方法以保證雷達(dá)的探測(cè)概率。

第四，當(dāng)噪聲方差、中頻信號(hào)的信噪比、N1一定時(shí)，探測(cè)概率隨探測(cè)門限的增加而減小。

至此LFMCW 激光雷達(dá)門限檢測(cè)數(shù)學(xué)模型已經(jīng)建立完畢。

4 結(jié)束語

文章針對(duì)噪聲在時(shí)域和頻域中的統(tǒng)計(jì)特性，推導(dǎo)了噪聲功率與虛警概率的關(guān)系，同時(shí)確立了LFMCW 雷達(dá)中頻信噪比與探測(cè)概率的函數(shù)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上建立了LFMCW 雷達(dá)的頻域檢過門限檢測(cè)模型，該模型可為L(zhǎng)FMCW 雷達(dá)產(chǎn)品定型提供理論參考。

［1］丁鷺飛，耿富錄.雷達(dá)原理［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2006.

［2］劉次華.隨機(jī)過程［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2001.

［3］胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007.

［4］盛聚，謝式千，潘承毅.［M］.北京:高等教育出版社，1997.

［5］李立眾.幾個(gè)具有非中心參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的分布［J］.安徽機(jī)電學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，14(3):54 -58.

［6］陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計(jì)引論［M］.北京:科學(xué)出版社，1981.