集中荷載下碳納米管的彎曲及其分子動力學模擬*

梁穎晶 韓強

(華南理工大學土木與交通學院，廣東廣州510640)

自1991年被 Ijima［1］發(fā)現(xiàn)以來，碳納米管以其優(yōu)異、獨特的機械、力學、電學、化學和光學性能引起了人們的廣泛關注，它的結構完美，尺度小，密度低、強度和硬度高，因此可望在納米復合材料、傳感器和納米電子等領域獲得廣泛應用［2-3］.碳納米管力學性能的研究是其應用的重要理論基礎，集中力作用下懸臂納米梁的彎曲問題是納米力學的基本問題，由于常規(guī)實驗手段難以對這么小的碳納米管進行直接測量，且分子動力學模擬難以模擬較大規(guī)?；蜉^長時間跨度的問題，使得連續(xù)介質力學在該問題的研究上得到充分發(fā)展.Govindjee等［4］用 Benoulli-Euler梁理論對懸臂碳納米管的彎曲問題進行了研究，接著Wang等［5］分別用 Benoulli-Euler梁和 Timoshenko梁模型對懸臂碳納米管承受切向力的情況進行研究，隨后Ansari等［6］用Reddy梁模型和Levisnson梁模型分別研究了納米管的彎曲問題.在碳納米管中應用的連續(xù)介質力學靜力彎曲一般集中在采用Benoulli-Euler 梁［4］、Timoshenko 梁［5，7］模型或者考慮高階剪切變形的梁模型［6，8-9］研究不同邊界條件下納米梁的受彎問題，采用殼體理論研究懸臂納米梁彎曲問題及其研究的文獻較少.

有鑒于此，文中利用圓柱殼半無矩理論研究了懸臂碳納米管集中力作用下的彎曲問題，得到了碳納米管彎曲的內(nèi)力解和位移解，并通過分子動力學模擬驗證該模型.

1 碳納米管彎曲問題的半無矩彈性殼理論

圖1是一半徑為R，長為l，厚度為h的懸臂碳納米管，左端固支，右端受一集中力F作用，x和θ分別是其縱向坐標和周向坐標，z為其徑向坐標.

圖1 集中力作用下的懸臂碳納米管Fig.1 Cantilever carbon nanotube with concentrated load

采用半無矩理論［10-11］，假定碳納米管中只有5個內(nèi)力 Nx、Nxθ、Nθ、Qθ、Mθ，其余內(nèi)力分量為 0.應變分量εxθ=εθ=0.可得無體力作用下的平衡方程

物理方程為

式中:u、v、w 分別為軸向、環(huán)向和豎向的位移;εx，εθ和εxθ分別為x方向、θ方向的正應變與剪應變;θ為θ方向的曲率變化量.

碳納米管彎曲問題的本構方程為

式中:E、μ分別為碳納米管的彈性模量、泊松比;D為彎曲剛度x為x方向的曲率變化量.

根據(jù)半無矩理論中應變分量 εxθ=εθ=0的假設，可得

方程組(4)即半無矩理論的圓柱殼的基本方程.

應力邊界條件為

位移邊界條件，即固支邊界條件如下:

根據(jù)集中力作用下碳納米管的受力及變形特點，考慮周期性條件和其對稱于平面θ=/2，利用上述各式，可得懸臂碳納米管在集中力作用下彎曲問題的內(nèi)力分量和位移分量:

2 分子動力學模擬

下面采用分子動力學模擬計算集中荷載作用下懸臂碳納米管的變形情況.文中采用AIREBO勢函數(shù)進行計算，采用Velocity-Verlet算法.計算程序采用Nose-Hoover方法進行等溫調(diào)節(jié)，以保證系統(tǒng)在變形過程中始終保持恒溫.溫度控制在0.01K，以避免熱激活的復雜影響.

進行分子動力學模擬時，首先對原始構型進行無約束弛豫，使得系統(tǒng)能量降低，達到穩(wěn)定的初始狀態(tài).弛豫后固定一端的四圈原子保持不動以模擬固支邊界條件;對另外一端的原子逐步施加豎向力，每一步弛豫充分時間，以使系統(tǒng)達到平衡狀態(tài).讀取懸臂端每個原子的位置信息，每個模型施加20個荷載增量步，其他原子邊界條件為自由(無約束)邊界，以保證整個過程保持準靜態(tài)加載.對結果進行分析可以得到碳納米管懸臂端上邊緣在每一荷載步下的撓度值，將分子動力學模擬結果與理論解進行比較.

文中選取直徑d為0.3～1.1nm的鋸齒形和扶手椅型碳納米管各5組進行分析，每組長度L分別為3、5、8、10nm，共計模型 40 個，如表1 所示.

表1 計算模型Table 1 Computational models

取碳納米管的彎曲剛度D=1.36×10-19J，面內(nèi)彎曲剛度為360 J/m2，泊松比 μ=0.19，壁厚 h=0.066nm［12］，根據(jù)式(14)得到理論解，將分子動力學模擬結果與理論結果進行比較，得到圖2和3.

圖2 (12，0)鋸齒型碳納米管分子動力學模擬結果與理論解的比較Fig.2 Comparison of results obtained from theory and MD simulation of(12，0)zigzag CNTs

圖2、圖3分別給出直徑約為0.94nm的鋸齒型和扶手椅型碳納米管懸臂端上邊緣原子撓度隨荷載變化的分子動力學模擬與理論結果的比較，從圖中可知，撓度隨著荷載增加而線性增加，這說明該加載過程處于線性階段，在相同半徑不同管長的幾組碳納米管中，當管長較小時，分子動力學模擬的撓度曲線與理論計算的撓度曲線相差較大，隨著管長的增加，分子動力學模擬的結果與理論解越趨接近.如圖2所示的鋸齒型碳納米管，到管長達到10nm時，理論和分子動力學模擬結果曲線接近重合.由此可見分子動力學模擬結果與理論解的差值隨著模型尺寸變化而變化.令

圖3 (7，7)扶手椅型碳納米管分子動力學模擬結果與理論解的比較Fig.3 Comparison of results obtained from theory and MD simulation of(7，7)armchair CNTs

式中:wMD為分子動力學模擬的碳納米管懸臂端上邊緣原子的豎向位移;wtheory為理論計算的碳納米管懸臂端上邊緣原子的豎向位移.通過對40個模型的分析比較可得，對同一個模型δ值基本不隨荷載變化，但隨碳納米管長徑比而變化，如圖2和圖3中鋸齒型和扶手椅型碳納米管的四個長徑比中，當長徑比較小時，理論解與分子動力學模擬結果相差較大，δ的值也較大.給出40個模型的δ值隨碳納米管長徑比變化如圖4所示.

圖4 δ值隨碳納米管長徑比變化圖Fig.4 Variation of δ with respect to the length-to-radius ratio

從圖4中可以看到，當長徑比較小或較大時，δ值都較大，只有在δ＜10%時，分子動力學模擬結果和理論解才較為吻合，此時鋸齒型碳納米管長徑比為5.2 ～12.0，扶手椅型碳納米管長徑比為 5.5 ～18.0.大于該范圍應該用彈性梁理來求解，而小于該范圍的長徑比，即粗短的碳納米管，因不適用于薄殼理論，且其邊界條件對計算結果的影響也不能忽略，故理論解與分子動力學模擬結果會相差較大.

3 結論

應用半無矩彈性殼體理論，得到了集中荷載作用下懸臂碳納米管的彎曲問題的內(nèi)力解和位移解的解析表達式，并通過分子動力學模擬驗證了理論解的適用性.對不同長徑比的多組鋸齒型和扶手椅型碳納米管分子動力學模擬的研究結果表明，鋸齒型碳納米管長徑比為5.2～12.0，扶手椅型碳納米管長徑比為5.5～18.0時，理論解與分子動力學模擬結果較為吻合.大于該范圍應該應用彈性梁理論求解，而小于該范圍的長徑比，即粗短的碳納米管，因不適用于薄殼理論，且其邊界條件對計算結果的影響也不能忽略，故理論解與分子動力學模擬結果會相差較大.

［1］Ijima S.Helical microtubes of graphite carbon ［J］.Nature，1991，354:56-58.

［2］Lau K T.Interfacial bonding characteristics of nanotube/polymer composites［J］.Chem Phys Lett，2003，370(3/4):399-405.

［3］林偉，黃世震，陳文哲.新型碳納米管復合薄膜材料的氣敏性能［J］.華南理工大學學報:自然科學版，2010，38(9):102-107.Lin Wei，Huang Shi-zhen，Chen Wen-zhe.Gas-sensing properties of novel composite film doped with carbon nanotubes［J］.Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2010，38(9):102-107.

［4］Govindjee S，Sackman J L.On the use of continuum mechanics to estimate the properties of nanotubes［J］.Solid State Communications，1999，110(4):227-230.

［5］Wang Q，Liew K M.Application of nonlocal continuum mechanics to static analysis of micro-and nano-structures［J］.Physics Letters A，2007，363(3):236-242.

［6］Ansari R，Sahmani S.Bending behavior and buckling of nanobeams including surface stress effects corresponding to different beam theories［J］.International Journal of Engineering Science，2011，49(11):1244-1255.

［7］Arash B，Wang Q.A review on the application of nonlocal elastic models in modeling of carbonnanotubes and graphenes［J］.Computational Materials Science，2012，51(1):303-313.

［8］Aydogdu M.A general nonlocal beam theory:its application to nanobeam bending，buckling and vibration ［J］.Physica E:Low-Dimensional Systems and Nanostructures，2009，41(9):1651-1655.

［9］Reddy J N.Nonlocal theories for bending，buckling and vibration of beams［J］.International Journal of Engineering Science，2007，45(2-8):288-307.

［10］Vlasov V Z，General shell theory and its application in engineering［M］.Gostekhizdat:Moscow-Leningrad，1949.

［11］薛大為.板殼理論［M］.北京:北京工業(yè)學院出版社，1988.

［12］Yakobson B I，Brabec C J，Bernholc J.Nanomechanics of carbon tubes:instabilities beyond linear response［J］.Phys Rev Lett，1996，76(14):2511-2514.