非線性系統(tǒng)相平面法教學(xué)中的新方法

王 冰

(河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院，南京 江蘇 211100)

“自動(dòng)控制原理”課程是工科電氣信息類各專業(yè)一門重要的技術(shù)基礎(chǔ)課。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本原理和分析方法，建立校正概念。其中，非線性系統(tǒng)分析是經(jīng)典控制理論關(guān)于非線性系統(tǒng)的重要的章節(jié)，主要講述了兩種非線性系統(tǒng)分析方法:相平面法和描述函數(shù)法，一些論文對(duì)這部分的教學(xué)作了有益的探討[1，2]。

在非線性系統(tǒng)分析這一章的教學(xué)中，相平面法是其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。多數(shù)教材在這一部分?jǐn)⑹鲋卸及ㄒ韵虏糠?相平面的基本概念、相軌跡的繪制方法、線性系統(tǒng)的相平面分析、非線性系統(tǒng)的相平面分析[3，4]。其中，既涉及到大量的理論概念也包括多種實(shí)際應(yīng)用的操作方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往顧此失彼，面對(duì)習(xí)題也無(wú)從下手。

在長(zhǎng)期教學(xué)的基礎(chǔ)上，我們將該部分內(nèi)容用點(diǎn)、線、面加以歸納總結(jié)，便于學(xué)生掌握，并運(yùn)用于具體習(xí)題的求解中?，F(xiàn)在，我們從點(diǎn)、線、面三個(gè)方面來(lái)解析這部分的內(nèi)容，將其中的主要理論和方法串接起來(lái)討論。

1 相平面中的點(diǎn)

首先看看相軌跡上的點(diǎn)，具體來(lái)說(shuō)包括兩類:起點(diǎn)和奇點(diǎn)。所謂起點(diǎn)，即相軌跡的起始點(diǎn)。在繪制相軌跡中，根據(jù)相平面選取的坐標(biāo)，通過(guò)已知的初始條件可以推得相關(guān)的信息。

奇點(diǎn)也稱為平衡點(diǎn)，具體定義如下:二階系統(tǒng)微分方程的一般形式為

所以相軌跡上每一點(diǎn)切線的斜率為

2 相平面中的線

在對(duì)相軌跡的點(diǎn)進(jìn)行分析后，我們運(yùn)用線的功能對(duì)相軌跡進(jìn)行完善和準(zhǔn)確定位。這里的線也包括兩類:等傾線和漸近線。

先來(lái)看看等傾線的概念，由式(2)可以在相平面上畫出一條線，這條線上的各點(diǎn)具有相同的切線斜率，均為α。相軌跡上具有等斜率點(diǎn)的連線稱為等傾斜。理論上，如令α為不同的常數(shù)α1、α2…，根據(jù)等傾線方程可在相平面上繪制若干條等傾線。當(dāng)?shù)葍A線足夠密集時(shí)，在等傾向上的短線方向作一小線段，與第二條等傾線相交;再由這個(gè)交點(diǎn)按照第二條等傾線上的短線方向作一小線段，與第三條等傾線相交;依次連接作下去，可得到一條從起點(diǎn)出發(fā)的完整的相軌跡。這種等傾線法是一種應(yīng)用性較強(qiáng)的繪制相軌跡的工程方法，但是在課堂教學(xué)中可操作性較差。我們更希望采用等傾斜線作為對(duì)點(diǎn)的補(bǔ)充，在相軌跡繪制中為一些關(guān)鍵點(diǎn)(如軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))提供斜率信息，以便將由起點(diǎn)至終點(diǎn)(一般就是奇點(diǎn))的中間部分軌跡較為準(zhǔn)確、平滑地連接起來(lái)，從而提高相軌跡繪制的可靠性和準(zhǔn)確性。

還有一類線是漸近線，它是指斜率較為特殊的等傾線，如與橫坐標(biāo)軸平行(α=0)。并非每條相軌跡繪制都會(huì)用到漸近線，但在很多情況下，漸近線對(duì)我們繪制非線性系統(tǒng)相軌跡是有幫助的，尤其是在不同區(qū)域過(guò)渡時(shí)，可以作為繪制相軌跡的參照線。

至此，我們已經(jīng)分析了兩點(diǎn)(起點(diǎn)和奇點(diǎn))和兩線(等傾線和漸近線)的使用方法，對(duì)于一般線性系統(tǒng)的相軌跡繪制，運(yùn)用以上方法已經(jīng)可以得到比較準(zhǔn)確的相平面圖。但對(duì)于非線性系統(tǒng)的相軌跡繪制，還需要運(yùn)用面的功能。

3 相平面中的面

相平面法就繪制一個(gè)面，而對(duì)于非線性系統(tǒng)的相軌跡，則需要根據(jù)非線性環(huán)節(jié)的特性，對(duì)這個(gè)面進(jìn)行分區(qū)。而后在每個(gè)區(qū)內(nèi)對(duì)應(yīng)一個(gè)線性系統(tǒng)，繪制相應(yīng)的相軌跡。我們所說(shuō)的面就是指:運(yùn)用非線性特性對(duì)相平面進(jìn)行分區(qū)，并得到每個(gè)分區(qū)所對(duì)應(yīng)的微分方程的過(guò)程。這一過(guò)程是非線性系統(tǒng)相平面分析的必要過(guò)程，也是線性系統(tǒng)分析轉(zhuǎn)化為非線性系統(tǒng)分析的關(guān)鍵步驟。但多數(shù)教材并沒有對(duì)這一過(guò)程做專門論述，使得學(xué)生只能通過(guò)例題掌握這部分的內(nèi)容。具體說(shuō)來(lái)，包括以下內(nèi)容:①選擇合適的變量和坐標(biāo)系;②運(yùn)用非線性環(huán)節(jié)提供的開關(guān)線，對(duì)相平面進(jìn)行分區(qū);③在各個(gè)分區(qū)內(nèi)，分段列寫線性微分方程;④在每個(gè)分區(qū)運(yùn)用點(diǎn)和線的方法，分段繪制相軌跡，并連接為一條完整的相平面圖。

上述內(nèi)容通過(guò)點(diǎn)、線和面總結(jié)了相平面法學(xué)習(xí)要點(diǎn)，從新的視角解析如何掌握這種較為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分析方法，能幫助學(xué)生更加系統(tǒng)和有條理地掌握這一控制理論中的經(jīng)典分析方法。具體過(guò)程可參文獻(xiàn)[3]中的例題，以作為對(duì)本方法的實(shí)例。

4 結(jié)語(yǔ)

筆者在“自動(dòng)控制原理”課程的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)相平面法部分由于內(nèi)容分散和線索不清等問題，給教學(xué)都帶來(lái)的困難。本文提出了一種點(diǎn)、線和面的講授方法，分別通過(guò)點(diǎn)、線和面三方面將這部分主要的知識(shí)點(diǎn)串接起來(lái)，形成較為清晰的邏輯線索，便于教師分塊講述，讓學(xué)生系統(tǒng)掌握這部分主要內(nèi)容。新方法的特點(diǎn)在于:①內(nèi)容全面，幾乎覆蓋了相平面法中所有的知識(shí)點(diǎn);②思路清晰，逐層深入:由點(diǎn)的分析確定相軌跡的起點(diǎn)終點(diǎn)和大致形狀，由線的分析細(xì)化相軌跡的過(guò)渡和連接，由面的分析將線性系統(tǒng)分析轉(zhuǎn)為非線性系統(tǒng)分析;③聯(lián)系實(shí)例，與相平面法部分的經(jīng)典習(xí)題結(jié)合學(xué)習(xí)，能夠取得更好的效果。

[1]李世華，田玉平.自動(dòng)控制原理課程非線性控制部分的教學(xué)探討[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2007，29(2):95-98

[2]田麗，曹安照.“自動(dòng)控制理論”中非線性部分教學(xué)改革與研究[J].重慶:自動(dòng)化與儀器儀表，2003，(3):7-8

[3]胡壽松.自動(dòng)控制原理(第三版)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1994

[4]謝克明，王柏林.自動(dòng)控制原理[M].北京:電子工業(yè)出版社.，2007