病毒最大有效接觸率的近似計(jì)算

李軍紅 崔 寧 李香玲

（河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系，河北 張家口075024）

1 引 言

傳染病是由病原微生物（病毒、立克次體、細(xì)菌、螺旋體等）和寄生蟲（原蟲和蠕蟲）感染人體后產(chǎn)生的有傳染性的疾?。?］.一直以來(lái)傳染病就是人類健康的一個(gè)長(zhǎng)期而嚴(yán)峻的威脅，特別是近年來(lái)一些新型傳染病毒（如SARS和H1N1）的爆發(fā)，并表現(xiàn)出明顯的全球擴(kuò)散的趨勢(shì)，針對(duì)這種大尺度傳染病所建立的數(shù)學(xué)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果往往與事實(shí)不符［2］.然而，一種病毒能夠給人類帶來(lái)生存威脅和重大損失，它應(yīng)具有一定的接觸率、致死率、傳播途徑和傳播能力，這就需要全面考慮病毒攜帶者（種子病人）的數(shù)量及其在健康人群中的分布，被傳染者的數(shù)量，傳播形式及病毒本身的傳播能力，而病毒的有效接觸率是影響傳播途徑和傳播能力的主要因素，也是疫情控制的重點(diǎn).

一般地，把接觸率看作總?cè)丝跀?shù)N的函數(shù)C（N）［3］，它反映了染病者的活動(dòng)能力、環(huán)境條件等因素，在染病者和易感者的的一次接觸中，如染病者能將疾病傳給易感者，那么稱這樣的一次接觸為一個(gè)有效接觸.接觸率與傳染概率β的乘積為單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)染病者的平均有效接觸數(shù)，稱其為有效接觸率.在流行病模型中，常用的接觸率一般有兩種：雙線性傳染率和標(biāo)準(zhǔn)傳染率［4］.文中針對(duì)新發(fā)傳染病的流行病學(xué)特點(diǎn)［5］，結(jié)合Logistic模型研究疫情初期的有效接觸率，稱之為最大有效接觸率.基于雙線性傳染率模式給出一種近似計(jì)算方法來(lái)反映有效接觸率，從而，為更好地了解突發(fā)疫情和制定控制措施力度提供理論依據(jù).

2 最大有效接觸率計(jì)算

假設(shè)mS、mE、mI分別為初始時(shí)刻易感者、潛伏者和傳染者人數(shù)，r0和d0分別為此時(shí)刻病毒攜帶者的相對(duì)增長(zhǎng)率和死亡率.在疫情初期，病毒攜帶者的增加大致符合具密度制約的Logistic增長(zhǎng)模型，通過考察Logistic增長(zhǎng)曲線［6］可知，在接近病毒傳播的初始時(shí)刻的時(shí)間段內(nèi)密度制約對(duì)病毒攜帶者的增長(zhǎng)影響很小，可近似認(rèn)為病毒攜帶者的增加符合Malthusian方程，另外，易感者由于受傳染病的影響，其人數(shù)隨時(shí)間變化的變化率與當(dāng)時(shí)易感者的人數(shù)和當(dāng)時(shí)染病者的人數(shù)之積成正比［7］，同時(shí)假定所研究的較短的時(shí)間內(nèi)沒有人口的自然出生與死亡，那么在不考慮人的自我保護(hù)意識(shí)等其它干擾因素下，應(yīng)該有單位時(shí)間上易感人數(shù)的減少量等于單位時(shí)間上病毒攜帶者的增加與死亡人數(shù)之差，即

整理得

由（2.1）可知，潛伏者的增加將會(huì)使傳染者增加和易感者減少.

然而在實(shí)際中，初始時(shí)刻的相關(guān)數(shù)據(jù)我們很難掌握，出現(xiàn)疫情就會(huì)有人的自我防護(hù)意識(shí)和各項(xiàng)應(yīng)急措施的介入等等，這會(huì)使病毒攜帶者的相對(duì)增長(zhǎng)率的值受較大影響，除非在實(shí)驗(yàn)室中才能得到較精確值，為避免這一誤差，我們將（2.1）變形為：

如果測(cè)得接近初始時(shí)刻的相鄰兩組值mS0，mE0，mI0，d0，mS1，mE1，mI1，d1，由

以及在足夠小的時(shí)間段內(nèi)r0≈r1，可得

因此，可求得傳染概率的實(shí)際計(jì)算公式

所以可得最大有效接觸率為

從而可以近似計(jì)算病毒在標(biāo)準(zhǔn)傳染率和雙線性傳染率機(jī)制下最大有效接觸律的近似值.

在實(shí)際中，單位時(shí)間上的潛伏者人數(shù)、感染者人數(shù)和易感者人數(shù)，可分別由單位時(shí)間上的疑似病人數(shù)、顯癥病人數(shù)、健康人數(shù)來(lái)代替；死亡率用死亡人數(shù)與感染人數(shù)的比例來(lái)近似表示.由于測(cè)量、判斷失誤等原因，我們只能近似的認(rèn)為剛發(fā)現(xiàn)疫情的時(shí)刻為初始時(shí)刻，因此計(jì)算所得的數(shù)值比實(shí)際的要小，但這并不影響控制措施的制定.

潛伏者的隔離不僅是困難的，而且對(duì)疫情的控制具有舉足輕重的作用，反映到實(shí)際中是對(duì)疑似病例的隔離.實(shí)際中由于潛伏者具有隱蔽性，所以，如果我們測(cè)得某一時(shí)段的傳染者人數(shù)和死亡率，結(jié)合上一時(shí)段的潛伏者、傳染者人數(shù)和死亡率利用公式就能得出此時(shí)段的潛伏者人數(shù)，如果所得潛伏者人數(shù)與實(shí)際相差較大，就說明病毒在此期間已經(jīng)發(fā)生了變異，控制措施就要相應(yīng)的發(fā)生改動(dòng)，還可以考察每時(shí)刻的βtmS值是否發(fā)生改變，以此來(lái)衡量病毒是否發(fā)生了變異，其中βt為此時(shí)病毒的傳染概率.

3 實(shí)例驗(yàn)證

本文以SARS為例，結(jié)合文［8］的數(shù)據(jù)，來(lái)說明最大有效接觸率近似求法的可行性.北京市的人口數(shù)量為13820000，將4月20日作為初始時(shí)刻，結(jié)合4月21日數(shù)據(jù)，可得：

由（2.3）可得SARS病毒傳染概率大致為：β＝2.0385×10－7，如果以每天為單位，疫情在雙線性傳播模式下和無(wú)防范傳染的情況下，病毒的最大有效接觸率，13820000β＝2.806628，因此，每個(gè)傳染者每天大致可傳染2.8個(gè)人，也就是說，一個(gè)傳染者可造成約2.8的指數(shù)次增長(zhǎng)，此結(jié)果與文［9］的3.15相差0.3，但由于參照數(shù)據(jù)有治愈率的影響，以及距離初始時(shí)刻有一段時(shí)間，因此，計(jì)算所得的數(shù)值比實(shí)際的要小.對(duì)北京市來(lái)說，從4月20日到6月23日動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中每天的三類人群數(shù)的具體數(shù)據(jù)是很難精確掌握的，不過我們通過近似計(jì)算βtmS的值都大致等于2.8，與初始時(shí)刻值幾乎吻合，可以說，在此期間SARS病毒沒有發(fā)生變異.4月20日到4月21日疑似病例增加了208例，若以天為單位，則北京市此時(shí)應(yīng)有至少8例傳染者和24例潛伏者需要隔離，由于測(cè)量值與實(shí)際值有浮動(dòng)，不過針對(duì)突發(fā)疫情，需要在盡可能大的范圍內(nèi)加以控制，所給計(jì)算方法所的結(jié)果較能真實(shí)地反映實(shí)際疫情的傳播，可用于預(yù)測(cè)疫情的傳播和病毒的變異，為突發(fā)疫情控制措施的制定提供了理論依據(jù).

［1］彭文偉.傳染病學(xué).北京：人民衛(wèi)生出版社，2001

［2］Meyers L A，Pourbohloul B，Newman M E J，etc.Network theory and SARS：Predicting outbreak diversity.232（1）：2005 J.Theor.Biol.71～81

［3］Horst R.Thieme and C.Castillo-Chavez，On the Role of Variable Infectivity in the Dynamics of the Human Immunodeficiency Virus Epidemic In：C.Castillo-Chavez（Eds.），Mathematical and statistical Approaches to AIDS Epidemiology.Lect.Notes Biomath.Vol.83.Berlin Heidelberg New york，Springer-Verlag，1989，157～177

［4］J.Mena-Lorca，H.W.Hethcote，Dynamic models of infectious diseases as regulators of population sizes.J.Math.Biol.，30（1992）：693～716

［5］李錚，陳曦等.SARS流行病傳染動(dòng)力學(xué)研究.生物化學(xué)與生物物理進(jìn)展.2004，31（2）：167～171

［6］馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究.合肥：安徽教育出版社，1996，13～14

［7］楊光，張慶靈.對(duì)傳染病數(shù)學(xué)模型（Kermack-Mckendrick模型）施加控制的閾值分析.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，19（2）：180～184

［8］http：／／www.beijing.gov.cn／Resource／Detail.asp？ResourceID＝66070

［9］黃德生，關(guān)鵬，周寶森.SIR模型對(duì)北京市SARS疫情流行規(guī)律的擬合研究.疾病控制雜志，2004，5（8）：398～401