一種基于彈道系數(shù)的外彈道擬合方法＊

安景新 徐 林 劉 忠 張國(guó)棟

（海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院指揮自動(dòng)化系 武漢 430033）

1 引言

一種新型炮彈在列裝艦艇之前，一項(xiàng)重要的工作便是為火控計(jì)算機(jī)裝訂其射表。各種火炮及其配屬的每種彈丸均有各自的專用射表。編制射表的標(biāo)準(zhǔn)條件是在建立和求解彈道微分方程組時(shí)對(duì)初始條件及其有關(guān)參數(shù)規(guī)定的一組標(biāo)準(zhǔn)值。射表編擬的基本原理是理論與試驗(yàn)相結(jié)合，即用實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)理論彈道進(jìn)行修正，使修正后的彈道與實(shí)際彈道相一致，而后以修正后的理論彈道為依據(jù)編擬計(jì)算射表［1］。

外彈道理論給出了描述彈丸運(yùn)動(dòng)規(guī)律的彈道數(shù)學(xué)模型。但是所用不同形式的模型都是在一定假設(shè)條件下推導(dǎo)出來(lái)的，都不同程度地與實(shí)際存在差別。要較準(zhǔn)確測(cè)定這些起始擾動(dòng)非常困難，目前還沒(méi)有理想的辦法；彈丸在運(yùn)動(dòng)中不可避免地存在受干擾問(wèn)題，而許多干擾因素是很難用理論來(lái)描述的。正是由于這諸多原因使得用理論模型計(jì)算出來(lái)的彈道和實(shí)際彈道有較大差別，因此必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)理論彈道進(jìn)行修正，從而使修正后的理論彈道與實(shí)際彈道相一致［2～4］。由于火炮要在允許的各種仰角下進(jìn)行射擊，而不同仰角的修正因子（或符合系數(shù)）又是隨仰角而變化的，因此，在射表編擬中，要進(jìn)行較多射角的射擊試驗(yàn)。即便是同一射角，由于實(shí)驗(yàn)誤差的存在，也要進(jìn)行較多發(fā)數(shù)或組數(shù)的試驗(yàn)［5～8］。

當(dāng)炮彈的質(zhì)量和質(zhì)心變化后，炮彈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等因素會(huì)發(fā)生變化，從而使其外彈道發(fā)生變化。這一變化如果通過(guò)六自由度的剛體彈道微分方程組進(jìn)行求解的話，需要確定比較多的方程系數(shù)，這在工程實(shí)踐中存在不少困難。本文針對(duì)這種情況，采用二自由度的質(zhì)點(diǎn)彈道微分方程組，確定其彈道系數(shù)，并利用解算彈道與實(shí)測(cè)彈道之間的擬合偏差對(duì)彈道系數(shù)進(jìn)行修正，最終所得解算結(jié)果可以很好地符合實(shí)測(cè)彈道。

2 彈道擬合模型

2.1 質(zhì)點(diǎn)彈道微分方程組

假設(shè)彈丸的外形和質(zhì)量分布都是軸對(duì)稱體且攻角恒為零，氣象條件是標(biāo)準(zhǔn)的，無(wú)風(fēng)雨。由于外形對(duì)稱、攻角為零，空氣阻力向量必然與彈軸重合。又由于質(zhì)量分布對(duì)稱，故質(zhì)心必在彈軸上。因此，空氣阻力必定通過(guò)質(zhì)心。而重力總是通過(guò)質(zhì)心的，這樣作用在彈丸上的力都過(guò)質(zhì)心，彈丸便可作質(zhì)點(diǎn)處理。此時(shí)，彈丸的運(yùn)動(dòng)是個(gè)平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，彈道成為平面曲線。質(zhì)點(diǎn)彈道是實(shí)際彈道最簡(jiǎn)單的模型，一般作為研究實(shí)際彈道的基準(zhǔn)［9～10］。

在上述的假設(shè)條件下，將空氣阻力和重力對(duì)彈丸運(yùn)動(dòng)的影響，用空氣阻力加速度和重力加速度來(lái)表示時(shí)，以初速度v0和射角θ0發(fā)射的彈丸，在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖1所示。圖中（x，y）為彈丸的質(zhì)心坐標(biāo)，v為彈丸速度，θ為彈道傾角，ax為空氣阻力加速度，g為重力加速度。

圖1 直角坐標(biāo)系彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)圖

圖2 基于彈道系數(shù)的外彈道擬合算法流程圖

則以t為自變量的直角坐標(biāo)系彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組為

其中，Hτ（y）和G（vτ）均已編制成表或有標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，如G（v）＝4.737×10－4vCxon。

解算時(shí)可采用四階龍格－庫(kù)塔法，積分的起始條件為t＝0時(shí)

2.2 利用彈道系數(shù)的擬合模型

由式（1）可以看出，除彈道系數(shù)需要根據(jù)彈形、彈重進(jìn)行確定以外，空氣密度函數(shù)Hτ（y）只隨高度變化，而空氣阻力函數(shù)G（vτ）只隨彈丸速度變化，且 Hτ（y）和G（vτ）均有相應(yīng)的擬合函數(shù)［2］，因此可以通過(guò)對(duì)彈形系數(shù)的求解來(lái)進(jìn)行彈道符合計(jì)算。

由于

其中，c為彈道系數(shù)，i為彈形系數(shù)，d為彈丸直徑，G為彈丸重量，cx0（M）為阻力系數(shù)，cx0n（M）為標(biāo)準(zhǔn)阻力系數(shù)。關(guān)于各種形狀彈丸的阻力系數(shù)，并不是很準(zhǔn)確地遵守上式，尤其是當(dāng)彈形與標(biāo)準(zhǔn)彈形相差較大時(shí)更是如此。彈丸在整個(gè)飛行過(guò)程中，由于馬赫數(shù)M的不斷變化，因而彈形系數(shù)也在不斷地略有變化。當(dāng)彈形與標(biāo)準(zhǔn)彈相差愈大，則在整個(gè)飛行過(guò)程中彈形系數(shù)的變化也就愈大。在需要準(zhǔn)確地計(jì)算彈道諸元時(shí)，就應(yīng)該將彈形系數(shù)i如實(shí)地看作為M的函數(shù)：

因此，知道彈丸的直徑、重量以及阻力系數(shù)后，聯(lián)合（1）、（2）兩式，便可進(jìn)行彈道的理論計(jì)算。

以（1）、（2）兩式所計(jì)算的理論彈道與實(shí)測(cè)彈道必然存在一定偏差，記x軸方向偏差為det x，y軸方向偏差為dety。為了將解算偏差體現(xiàn)在彈道系數(shù)中，采取以下方法：

Step1：用式（2）的彈道系數(shù)c求解彈道方程組，求得det x、dety；

Step2：將det x、dety擬合成隨射角、彈丸飛行時(shí)間變化的函數(shù)f（x）、f（y）；

Step3：利用蟻群算法搜索每一時(shí)刻對(duì)應(yīng)于f（x）、f（y）的最優(yōu)彈道系數(shù)c′；

Step4：將最優(yōu)彈道系數(shù)c′帶入式（1）進(jìn)行解算，得到滿意解。

算法流程圖如圖2所示。

3 實(shí)際應(yīng)用

3.1 應(yīng)用背景

某型定時(shí)引信彈丸，直徑0.1m，彈重15.8kg，炮口初速900m／s，射序1射角3～75mil，射序2～6射角3～33mil。彈丸阻力系數(shù)已知。由于彈丸屬空炸彈丸，故炮瞄雷達(dá)只抓取了上升段數(shù)據(jù)，示意圖如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)彈道示意圖

3.2 算法應(yīng)用及分析

利用式（2）求解射序1～6的彈形系數(shù)，可得如圖4之示意圖。

圖4 6條彈道的彈道系數(shù)

圖5 射序1的實(shí)測(cè)彈道與解算彈道對(duì)比

圖6 解算彈道與實(shí)測(cè)彈道的偏差

圖7 理論彈道、修正彈道、實(shí)測(cè)彈道對(duì)比圖

利用上述所求出的彈道系數(shù)解理論彈道，所得結(jié)果如圖5、圖6所示。

利用蟻群算法搜索最優(yōu)彈道系數(shù)后所求解的彈道與實(shí)測(cè)彈道示意圖如圖7所示。

由結(jié)果看出，通過(guò)原有的彈道系數(shù)求解出的彈道與真實(shí)彈道之間仍存在較大差別，初步認(rèn)為這是由于原始數(shù)據(jù)中彈丸的阻力系數(shù)測(cè)定不準(zhǔn)確造成的。將該不準(zhǔn)確性在彈道系數(shù)的擬合計(jì)算中進(jìn)行彌補(bǔ)，從而使解算的修正理論彈道能較準(zhǔn)確地符合實(shí)測(cè)彈道。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種以彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程組為模型，采用估算彈道系數(shù)與誤差擬合修正相結(jié)合的彈道擬合方法，解決了擬合系數(shù)法難以保證全彈道一致精度的難題。該方法具有精度穩(wěn)定性好，編程算法簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，實(shí)際應(yīng)用效果好，可對(duì)任意射角、初速的彈丸進(jìn)行任意時(shí)刻的彈道擬合。通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)該方法的檢驗(yàn)，表明該方法具有一定工程應(yīng)用價(jià)值。

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