周曉峰，楊世錫，甘春標

(浙江大學 機械系＆液壓傳動及控制國家重點實驗室，杭州 310027)

獨立分量分析(Independent component analysis，ICA)是近年來快速發(fā)展的一種新的統(tǒng)計信號處理方法。它在源信號和傳播特性都未知的情況下，將多個觀測信號按照統(tǒng)計獨立原則通過優(yōu)化算法分解為若干盡可能獨立的成分，以獲得對源信號和分離矩陣的估計。基于獨立分量分析的盲源分離方法，在機械設備狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷領域已廣受關注［1－7］。源信號滿足統(tǒng)計獨立性的假設條件是準確分離源信號的前提之一。在機械振源的盲源分離應用中，一般將不同機器［7］或不同部件［6］的激勵響應視為源信號，而不同激勵對于同一部件的響應可能因為存在交叉的頻率成分而不滿足源信號的統(tǒng)計獨立性假設，因而用標準的ICA方法往往無法準確分離源信號。

在相關振源信號的部分子帶滿足統(tǒng)計獨立的假設前提下，本文提出了一種基于小波包分解的相關機械振源的盲源分離方法。該方法首先將觀測信號用小波包分解成子帶信號;分別計算各個子帶內(nèi)信號的互信息，選擇互信息較小的幾個子帶信號重構成新的觀測信號;用獨立分量分析方法估計新觀測信號的分離矩陣;最后用該矩陣分離原始觀測信號，實現(xiàn)相關機械振源信號的分離。

1 信號模型

設 s=［s1，s2，…，sp］T是一組相互獨立的源信號，x=［x1，x2，…，xq］T為一組觀測信號，x 中的各分量由 s中的源信號線性組合而成，用矩陣表示為:

式中，H為一個的列滿秩q×p矩陣，b為維加性測量噪聲信號。

獨立分量分析方法從已知的觀測x出發(fā)，根據(jù)獨立性測度函數(shù)，尋求線性變換 W=［w1，w2，…，wq］?H－1，使得變換后的信號盡可能的獨立［8］:

相關源信號不滿足統(tǒng)計獨立假設因而無法用標準的ICA準確地分離出源信號。觀測信號可以表示為其子帶分量的組合，不考慮噪聲且觀測信號的個數(shù)和源信號的個數(shù)相等時，式(1)可以改寫為［9］:

假設源信號s在通帶內(nèi)是相關的，但是存在若干個相互獨立的子帶。不妨假設在第j個子帶上是獨立，則可在該子帶內(nèi)用標準的ICA方法估計分離矩陣W。

2 源相關性的影響

Hyvarinen［10］提出的基于負熵極大化判據(jù)和固定點迭代的快速算法(FastICA)是一種數(shù)值穩(wěn)定、收斂速度較快、魯棒的經(jīng)典ICA方法。但是該方法分離相關源信號時，源信號的相關程度嚴重影響其分離效果。相關源仿真信號為:

式中，a是實常數(shù)。

源s1和s2的相關系數(shù)為:

相關系數(shù)是實常數(shù)α的函數(shù)，α分別取不同值時的源信號用相同混合矩陣混合，得到一系列觀測信號，用FastICA算法直接對觀測信號進行分離。ICA方法的分離效果采用 Amari［11］提出性能指標(Perfomance Index，PI)來衡量。

式中 pij=［WH］ij，0≤PI≤2，PI等于 0 時源信號完全分離，PI值越大分離效果越差。

仿真信號的分離性能和源信號相關系數(shù)的關系如圖1所示。從圖中可以看出分離性能PI隨著相關系數(shù)r的增加而下降，a=0.35，源 s1和 s2的相關系數(shù)r為0.1081，F(xiàn)astlCA算法分離結果的 PI為0.3028。

圖1 分離性能和相關系數(shù)的關系曲線Fig.1 Curve of Perfomance Index vs correlation coefficient

圖2為a=0.35時源信號(s1和s2)和分離的源信號(y1和y2)的幅值譜。從圖中虛線橢圓所標記處，可以看出分離的源信號間依然存在較明顯的混疊。一般來說，當PI小于0.1時，ICA方法的分離效果較好;0.1＜PI＜0.2時，分離結果勉強可以接受;而 PI大于0.2時，可以認為分離失敗。

圖2 a=0.35時源信號和分離源信號的幅值譜Fig.2 Magnitude spectra of rve of souces signals and separated sources signals when a=0.35

3 基于小波包分解的相關振源分離方法

ICA中的信號模型是線性的，因此在ICA方法中，常用線性濾波來降噪或提高源信號的獨立性。觀測信號經(jīng)過線性濾波器Fj后，可以表示為:

式(8)表明，對于相關源的混合信號，其混合矩陣H或分離矩陣W可以由獨立子帶的觀測信號用ICA方法估計得到。

4 小波包分解

假定共軛濾波器h(n)滿足，Σ h(n－2k)(n－2l)=δkl;令 g(k)=(－1)kh－k+1，定義一列遞歸函數(shù){μk}，(k=0，1，2，…):

式中:μ0(t)定義為尺度函數(shù)φ(t);μ1(t)為小波基函數(shù)φ(t)，稱 μn(t)(n=2l或 n=2l+1，l=0，1，2，…)為正交尺度函數(shù) φ(t)的小波包［12］。

小波包分解能夠根據(jù)被分析信號的特征，通過一組累接的共軛正交濾波器將頻帶進行多層次劃分，自適應地選擇相應頻帶，使之與信號頻譜相匹配。

觀測信號的n層小波包分解后可以表示為:

相應的源信號可以表示為:

則式(3)可以表示為:

5 獨立子帶的選擇和重構觀測信號

互信息是一組隨機變量是否統(tǒng)計獨立的主要測度之一?；バ畔⑹欠秦摰?，只有當互信息為零時，一組隨機變量才是統(tǒng)計獨立的。文獻［13］中證明了子帶觀測信號xj的互信息最小表示子帶源信號的互信息最小，即統(tǒng)計獨立。

Cardoso在文獻［14］中給出了互信息近似計算公式:

式中，cum(* ，*)、cum(* ，* ，*)和 cum(* ，* ，* ，*)分別是xj的二階、三階和四階互累積量。

選擇歸一化互信息小于閾值的k個子帶重構觀測信號 xrec，則:

式中，srec為重構的獨立源信號。

6 分離矩陣估計和源信號分離

對重構的觀測信號xrec，用FastICA算法估計分離矩陣W。用分離矩陣W乘以原始觀測信號x就可以實現(xiàn)相關源信號的分離。

7 仿真研究

引發(fā)旋轉機械設備異常振動的故障源都會產(chǎn)生一定頻率成分的振動，可能是單頻的，也可能是一組頻率或某個頻帶。一般來說不對中不但影響基頻振動，還可能引發(fā)2倍頻及其他高頻振動;滑動軸承油膜渦動的振動頻率為基頻的(0.42～0.48)倍;轉子組件的松動振動頻率以基頻為主，可能伴有倍頻或1/2倍頻、1/3倍［15］。假設一臺旋轉機械的基頻f0=50Hz，構造其不對中、油膜渦動和組件松動的故障振動仿真源信號s1，s2和s3，以及高斯噪聲源信號s4。

其中s1和s2是相關源。

混合矩陣

仿真信號的采樣頻率為1000Hz，采樣時間1 s。圖3為源信號0～0.25 s的時域波形，其中圖3(a)～圖3(d)分別是源信號s1，s2，s3和s4的時域波形。

混合信號直接用FastICA算法分離性能指標PI=0.2462。分離的源信號時域波形如圖4，其中圖4(a)～圖4(d)分別是FastICA分離的源信號y1，y2，y3和y4的時域波形。

由于相關源信號s1和s2存在，F(xiàn)astICA分離的源信號y1和y2仍然是源信號s1和s2混合信號，如圖4(a)和圖4(b)。

比較圖3和圖4中還可以發(fā)現(xiàn)，對于既有相關源又有獨立源的觀測信號，F(xiàn)astICA還是能夠較好地分離出獨立的源信號。噪聲源一般和機械振動源是獨立的，如果能準確估計源(包括相關源和獨立源)的數(shù)目，選擇同數(shù)量的觀測信號，直接用ICA方法就能分離噪聲源;如果機械振動源都是相關的，只需兩路觀測信號，ICA方法就能實現(xiàn)降噪。

新方法中選用Daubechies小波函數(shù)的db8函數(shù)共軛正交濾波器組對觀測信號進行正交小波包分解，小波包分解的層數(shù)n=4?；バ畔⑹请S機變量之間依賴性的自然量度。它總是非負的，當且僅當變量之間統(tǒng)計獨立時為零，新方法中子帶互信息的閾值取文獻［13］建議的0.05。新方法分離的源信號的時域波形如圖5，其中圖5(a)～圖5(d)分別是新方法分離的源信號和的時域波形。從圖3和圖5可以看出較好地分離出源信號;和分別對應于源信號s4，s2，s3和s1，其中的次序不一致和反相是由ICA方法內(nèi)在的不確定性產(chǎn)生的。新方法的分離性能指標PI=0.0392，這也說明幾乎實現(xiàn)了源信號的完全分離。

圖3 源信號的時域波形Fig.3 Timewave of sources signal

圖4 FastICA分離的源信號時域波形Fig.4 Timewave of sources signals separated byFastICA

圖5 新方法分離的源信號時域波形Fig.5 Timewave of sources signals separated by new method

8 結論

機械系統(tǒng)中，相關源和不相關源往往以相互混合的方式同時存在傳感觀測中。傳統(tǒng)盲源分離在機械振源的分離中略顯不足。本文提出了一種基于小波包分解的相關機械源盲源分離方法。該方法首先按照互信息標準重構相關性較小的若干小波包分解子帶局部觀測信號;然后利用該局部觀測信號估計分離矩陣;最后用該矩陣分離矩陣作用于原始觀測信號實現(xiàn)相關機械振源信號的分離。旋轉機械中的相關振動源故障的仿真信號振源信號驗證了該方法在相關機械振源分離中的有效性。新方法對于相關振源，特別是具有因果關系的故障振源的分離具有一定的應用前景。

波包分解的層數(shù)是新方法性能的關鍵參數(shù)之一。分解的層數(shù)過小重構的局部子帶信號中仍然是相關信號的混合，從而分離效果欠佳;分解的層數(shù)過大會導致算法性能退化。實際應用中需要源信號的先驗知識;或改進方法使其能根據(jù)小波包分解的節(jié)點處的互信息自適應的確定分解層數(shù)。

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