高 準(zhǔn)，屈孝池，張?zhí)煨?，楊朋軍，?靖

(中國(guó)航天科技集團(tuán)公司 第十六研究所，西安 710100)

慣性平臺(tái)是集機(jī)、電、光為一體的復(fù)雜精密導(dǎo)航設(shè)備［1］。慣性平臺(tái)失穩(wěn)倒臺(tái)是各種類型慣性平臺(tái)的常見故障。當(dāng)慣性平臺(tái)穩(wěn)定回路的某一環(huán)節(jié)發(fā)生故障時(shí)，會(huì)使慣性平臺(tái)不能穩(wěn)定在慣性空間，即平臺(tái)失穩(wěn)，引起倒臺(tái)。失穩(wěn)倒臺(tái)發(fā)生后，會(huì)使平臺(tái)失效，飛行任務(wù)失敗。

本文基于Hertz接觸力模型建立慣性內(nèi)框架組件倒臺(tái)時(shí)的數(shù)學(xué)動(dòng)力學(xué)模型。之后使用Ansys Workbench仿真軟件，計(jì)算出在倒臺(tái)過(guò)程中擋塊的應(yīng)力分布云圖。將Ansys Workbench仿真結(jié)果與所建立的數(shù)學(xué)模型相比較，證明了所建立的動(dòng)力學(xué)模型以及各項(xiàng)分析的正確性［2］。

1 Hertz接觸力模型

1.1 內(nèi)框架運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

圖1 內(nèi)框示架組件受力示意圖Fig.1 Sketch map of the force about inner gimbal component

內(nèi)框架組件與橡膠擋塊的碰撞受力如圖1所示:其中Fx(t)，F(xiàn)y(t)為外框架施加給內(nèi)框架轉(zhuǎn)軸的力，F(xiàn)為內(nèi)框架與橡膠擋塊碰撞產(chǎn)生的力。假設(shè)一開始內(nèi)框架為豎直，由所建立的模型可知內(nèi)框架逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)45°后與安裝在外框架的橡膠擋塊發(fā)生碰撞。該型號(hào)內(nèi)框架組件繞其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz=2.55×105g·cm2，內(nèi)框架組件失穩(wěn)倒臺(tái)時(shí)力矩電機(jī)施加的力矩為M=0.9 N·m，可以計(jì)算出內(nèi)框架組件倒臺(tái)后與橡膠擋塊碰撞前一瞬間內(nèi)框架的角速度為:

在對(duì)內(nèi)框架倒臺(tái)進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)，根據(jù)Hertz接觸模型，可以假設(shè)內(nèi)框架擋塊的材料即橡膠擋塊性質(zhì)符合圖2中的彈簧－阻尼器力學(xué)模型。其剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別記為k和c［3，5］。記t=0為碰撞開始時(shí)刻。

圖2 橡膠擋塊等效為彈簧－阻尼器模型Fig.2 View rubber obstructive block as spring-damp model

碰撞時(shí)內(nèi)框架組件逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，F(xiàn)1為彈力，F(xiàn)2為阻尼力，方向如圖2所示。可得:F=F1+F2。在碰撞發(fā)生前一時(shí)刻，內(nèi)框架的轉(zhuǎn)速為ω(0)，在碰撞發(fā)生t時(shí)刻后設(shè)內(nèi)框架的轉(zhuǎn)速為ω(t)，簡(jiǎn)記為ω。所以在該瞬時(shí)，由Hertz彈性接觸理論得到內(nèi)框架所受的碰撞力F=k δ+c。其中 δ為橡膠擋塊的變形量，為橡膠擋塊的變形速度，則根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)系及所建立的模型有:

式中:0.035為內(nèi)框架轉(zhuǎn)軸與碰撞點(diǎn)的距離，如圖1所示。

式中:常數(shù)k稱為Hertz剛度系數(shù)，它與接觸面的材料性質(zhì)、接觸面的曲率半徑有關(guān);c為阻尼系數(shù)，完整的表達(dá)式為c=c(δ)，是關(guān)于橡膠形變量δ的變量。為了分析內(nèi)框架角速度的變化，需要分別討論這兩項(xiàng)系數(shù)。

1.2 剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)

查閱相關(guān)手冊(cè)［6］可得 Hertz剛度系數(shù)其中R，R為兩碰撞物接觸12處的曲率半徑;為材料參數(shù)，定義為，式中μi為泊松比、Ei為彈性模量。最后根據(jù)該型號(hào)慣性平臺(tái)的實(shí)際情況，將兩碰撞物的材料代入剛度系數(shù)k的表達(dá)式，得內(nèi)框架組件與擋塊的接觸剛度系數(shù)k=1.2425×107N/m。

阻尼系數(shù)c(δ)=λδ，其中λ稱為滯后阻尼系數(shù)，em為碰撞恢復(fù)系數(shù)，則根據(jù)能量損失和經(jīng)驗(yàn)公式［7］可得:

可以看到阻尼系數(shù) c(δ)為隨著形變?chǔ)母淖兊牧?。考慮到形變?chǔ)牡闹递^小及后續(xù)求解的簡(jiǎn)便性，可以近似認(rèn)為阻尼系數(shù)c(δ)不變，且為減少誤差可令其中δm為壓縮階段彈簧－阻尼力學(xué)模型的最大壓縮量。根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系，可以計(jì)算出δm=ω(0)·ω(0)，，k均為已知量，則可知。通過(guò)使用仿真工具Ansys Workbench的計(jì)算，得到的平均碰撞恢復(fù)系數(shù)是 em=0.57，最終可得阻尼系數(shù) c(δ)=4071.6。

1.3 角速度與碰撞力

在內(nèi)框架組件與橡膠擋塊發(fā)生碰撞的前一瞬間，內(nèi)框架組件的角速度ω(0)=7.44 rad/s;此時(shí)開始產(chǎn)生碰撞力，而且碰撞力是由彈簧－阻尼器力學(xué)模型中的阻尼器施加給內(nèi)框架組件的，該阻尼力只與橡膠擋塊的形變速度有關(guān)，即ω(0)Iz=－0.0352c ω(0)。以上兩個(gè)條件作為式(2)的邊界條件。而剛度系數(shù)k，阻尼系數(shù)c為常數(shù)，代入內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz的值，令，因此式(2)為二階常系數(shù)奇數(shù)線性微分方程組。所以列寫微分方程的特征方程，并且設(shè)r為特征方程的根得:

得內(nèi)框架組件的角速度表達(dá)式為:

還可得在任意時(shí)刻的碰撞力為:

根據(jù)式(5)、式(6)計(jì)算出內(nèi)框架的角速度、碰撞力變化情況，結(jié)果如圖3所示:

可以看到，一開始碰撞力隨著時(shí)間的延長(zhǎng)而增大，這是因?yàn)樵谙鹉z壓縮階段，橡膠的形變量越大，彈力越大，在0.001604 s時(shí)，橡膠的彈力達(dá)到最大值為3522 N。而過(guò)了碰撞力最大值后，碰撞力逐漸變小，這是因?yàn)橄鹉z的形變減小，使得碰撞力變小。大約在0.00376 s時(shí)，碰撞力最小，可以預(yù)見此時(shí)內(nèi)框架組件與橡膠檔釘不再接觸。

圖3 內(nèi)框架組件碰撞力變化過(guò)程Fig.3 The change process of inner gimbal component force because of impact

圖4 內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)速與時(shí)間段關(guān)系Fig.4 The change process of inner gimbal component rotate speed because of impact

圖4為內(nèi)框架組件的角速度變化曲線。在碰撞發(fā)生的一瞬間，內(nèi)框架組件的角速度通過(guò)理論計(jì)算為:ω(0)=7.44 rad/s(在此規(guī)定角速度與力矩逆時(shí)針為正)。所以從圖可知，一開始內(nèi)框架組件逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，碰撞之后速度開始變小，直至變?yōu)榱?。在碰撞力的最大處，?nèi)框架組件的角速度最小。由于還存在碰撞力，且碰撞力產(chǎn)生的力矩為順時(shí)針，所以內(nèi)框架組件的角速度開始為負(fù)，并順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。外框架組件最終的轉(zhuǎn)速為ω末=5.14 rad/s，這是因?yàn)闆](méi)有發(fā)生完全彈性碰撞，在碰撞點(diǎn)有能量的損失，所以最終的角速度小于發(fā)生碰撞一瞬間時(shí)的角速度。角速度最小的時(shí)間是0.00373 s，碰撞力的最小時(shí)間是0.00376 s，誤差為0.5%。

2 內(nèi)框架結(jié)構(gòu)建模及仿真

2.1 結(jié)構(gòu)及其有限元簡(jiǎn)圖

本文利用Pro/ENGINEER軟件構(gòu)造出慣性平臺(tái)外框架與內(nèi)框架組件的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)。通過(guò)軟件的測(cè)量功能來(lái)得到簡(jiǎn)化的內(nèi)框架組件的質(zhì)量和繞內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，通過(guò)調(diào)節(jié)內(nèi)框架組件的密度保證最終得到的簡(jiǎn)化與實(shí)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同。圖5為系統(tǒng)的內(nèi)框架組件簡(jiǎn)圖和有限元模型。

根據(jù)該型號(hào)慣性平臺(tái)的實(shí)際情況，內(nèi)框架組件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:Iz=2.55×105g·cm2，根據(jù)三維建模軟件，令簡(jiǎn)化的內(nèi)框架組件密度為 ρ=2.933×104kg/cm3。在Ansys Workbench里，輸入三個(gè)零件的材料參數(shù)。根據(jù)實(shí)際倒臺(tái)時(shí)的情況，施加約束條件和力矩，進(jìn)行仿真計(jì)算。

圖5 內(nèi)框架組件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖及其有限元模型Fig.5 Structure and FEM of inner gimbal component

2.2 碰撞力仿真結(jié)果

設(shè)置好上述材料、載荷等參數(shù)之后進(jìn)行計(jì)算，橡膠擋塊的碰撞應(yīng)力變化以及應(yīng)力云圖分布如圖6所示。

圖6 有限元分析碰撞力的變化及云圖分布Fig.6 The distributing of inner gimbal component force by FEM

從圖中可以看出:在t=0.21784 s時(shí)，碰撞開始;在t=0.2195 s時(shí)，碰撞應(yīng)力達(dá)到最大，為32.06 MPa;在t=0.2218 s時(shí)，碰撞結(jié)束?？偟呐鲎矔r(shí)間為:t=0.004。與所建立模型相比，時(shí)間誤差為8%。滿足工程中小于10%的要求。

由圖還可以看出:碰撞面最大應(yīng)力為32.06 MPa，根據(jù)仿真情況，劃分單元格時(shí)的長(zhǎng)度為5mm，所以根據(jù)圖6(b)可估算出，碰撞面積約為100mm2，碰撞力為:

模型的碰撞力為3522 N，兩者的誤差為9%，符合工程中小于10%的要求。

3 結(jié)論

本文基于Hertz接觸力模型，建立內(nèi)框架組件倒臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，全面分析了內(nèi)框架倒臺(tái)時(shí)候的碰撞力和角速度變化過(guò)程。并通過(guò)仿真軟件，輸入倒臺(tái)時(shí)內(nèi)框架的各項(xiàng)物理參數(shù)、邊界條件以及所受的外部載荷。通過(guò)仿真，證明了使用Hertz接觸力模型是可以求取內(nèi)框架倒臺(tái)時(shí)候的碰撞力，并且誤差滿足工程要求，為后續(xù)的平臺(tái)設(shè)計(jì)提供了重要的參考。

［1］鐘萬(wàn)登.液浮慣性器件［M］.北京:宇航出版社，1994:220－222.

［2］楊朋軍，王 卿，王佳民，等.慣性平臺(tái)臺(tái)體組件動(dòng)態(tài)分析及臺(tái)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈控制技術(shù)，2005，(1):54－58.YANG Peng-jun，WANG Qing，WANG Jia-min，et al.Inertial platform component dynamic analysis and platform structure optimal design［J］.Control Tecnology of Tactical Missile，2005(1):54－58.

［3］金東平，胡海巖.碰撞振動(dòng)與控制［M］.北京:科學(xué)出版社，2005:29－40.

［4］孫德偉，張廣玉.橡膠隔振器遲滯阻尼特性識(shí)別的新方法［J］.振動(dòng)與沖擊，2010，29(4):164 －168.SUN De-wei，ZHANG Guang-yu.A new approach to identify hysteretic damping of a rubber isolator［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(4):164 －168.

［5］韓德寶，宋希庚.橡膠隔振器剛度和阻尼本構(gòu)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(1):156 －157.HAN De-bao，SONG Xi-geng. Experimentalstudy on constitutive model for damping and stiffness of a rubber isolator［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(1):156 －157.

［6］徐 灝.機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1991:275－285.

［7］和興鎖.理論力學(xué)－高等動(dòng)力學(xué)［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2001:7－9.