基于桿式彈性易損部件的非線性系統(tǒng)跌落沖擊研究

高 德，盧富德

(1.浙江大學(xué) 寧波理工學(xué)院，寧波 315100;2.浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院，杭州 310027)

在多自由度緩沖包裝設(shè)計中，主要有剛性物品包裝的緩沖設(shè)計和剛性－彈性體物品包裝的緩沖設(shè)計［1］。對于單自由度剛性物品包裝緩沖設(shè)計，Newton［2］利用振動理論基礎(chǔ)，主要研究了單自由度物品包裝;外激勵情況下的跌落沖擊;包裝材料的力與變形關(guān)系，涵蓋了三類典型緩沖特性:線性、硬特性(立方硬特性、正切)、軟特性(立方軟特性、雙曲正切);求解響應(yīng)規(guī)律、響應(yīng)最大位移、響應(yīng)最大加速度、放大因子，引入了物品允許加速度概念。該文開創(chuàng)并奠定了包裝動力學(xué)，打開了緩沖包裝設(shè)計的大門。對于多自由度剛性物品的緩沖設(shè)計，鄭志銀［3］以國內(nèi)普遍使用的一種平板玻璃集裝箱為基礎(chǔ)，考慮了兩個平動與一個轉(zhuǎn)動的耦合，建立了三自由度力學(xué)模型，討論了影響結(jié)構(gòu)緩沖效果的物理參數(shù)，提出了集裝箱緩沖結(jié)構(gòu)合理性設(shè)計的原則與參數(shù)選取。后來，高德等［4－5］針對實際情況的緩沖包裝結(jié)構(gòu)，即在包裝物與外包裝箱內(nèi)部采用棱角或側(cè)面襯墊，研究了各參數(shù)平動與轉(zhuǎn)動的耦合規(guī)律。此外，高德等［6］還研究了聚乙烯緩沖材料多自由度跌落包裝系統(tǒng)并進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。對于剛性－彈性體物品包裝的緩沖設(shè)計，奚德昌等［7］研究了具有簡支梁彈性部件工藝品包裝的防震。研究者將易損件簡化為簡支梁式結(jié)構(gòu)，分析并研究了與產(chǎn)品主體相連接的包裝材料參數(shù)、與易損部件相連接的緩沖材料參數(shù)對包裝系統(tǒng)的影響。對于產(chǎn)品的彈性易損件為桿式結(jié)構(gòu)的形式，屬于多自由度剛性－彈性體物品包裝的緩沖設(shè)計，該模型較為復(fù)雜，研究較少，只有在文［1］的專著中，討論了建立模型、運動微分方程和回彈后的運動的基本情況。

本文擬采用電子產(chǎn)品內(nèi)部桿式彈性易損零件為研究對象，通過將產(chǎn)品主體假設(shè)為剛性，建立剛性－彈性體的耦合模型及運動微分方程，提出解決此類問題的算法，為剛性－彈性體緩沖包裝設(shè)計提供參考依據(jù)。

1 建立桿式耦合包裝系統(tǒng)模型

電子產(chǎn)品內(nèi)部大量存在桿式結(jié)構(gòu)零件，這部分相對于物品主體，其特點是質(zhì)量和彈性模量都很小，很難把這部分簡化成集中質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)，本文把桿式結(jié)構(gòu)處理成均勻分布的彈性體結(jié)構(gòu)，將物品主體簡化為剛性，考慮此部分與物品主體的耦合作用，建立的耦合模型如圖1所示，物品主體m與包裝箱之間用低密度發(fā)泡聚乙烯緩沖包裝材料，y1為產(chǎn)品主體的位移，f1(y1，)為發(fā)泡聚乙烯材料的恢復(fù)力函數(shù)，H為物體的跌落高度。

圖1 具有桿式易損部件的跌落包裝系統(tǒng)Fig.1 Packaging system with bar type critical component

在桿結(jié)構(gòu)上建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為桿與產(chǎn)品主體連接的部位，桿的軸向坐標(biāo)為x，桿的橫截面位移為y2，如圖2(a)所示。在桿上x處取長為dx的微元段，在任意瞬時t，此微元段的軸向位移用y2(x，t)表示;E為彈性模量，I為截面慣性矩，ρ桿的密度，A0為截面面積。

圖2 微元dx的受力圖Fig.2 Force diagram of Infinitesimal section

取微段dx，如圖2(b)所示，其質(zhì)量 dm=ρA0dx，上下兩邊的位移分別為y和，所以微段的應(yīng)2變?yōu)?

由牛頓定律，得運動微分方程:

將式(2)和dm的表達(dá)式代入上式得:

式中:α為桿的縱波傳播速度。

式(5)的初始條件為:

式(5)的邊界條件為:

式(7)中y1為產(chǎn)品主體的位移，主體的振動方程為:

式中:A為緩沖材料的面積，h為緩沖材料的厚度;a1，a2，a3是基于實驗識別的參數(shù)。

式(9)的初始條件為:

式中:g為重力加速度，取值為9.8 m/s2。

綜合以上，得產(chǎn)品主體與桿式易損件的耦合動力學(xué)方程為:

2 耦合動力學(xué)模型算法設(shè)計

式(11)為微分與偏微分混合方程組，運用差分方法，即可解上述方程組。本文所涉及的桿式易損件質(zhì)量小、彈性模量小，不考慮易損件對產(chǎn)品主體的作用。

由差分公式得:

令 x=iΔx;t=jΔt.j=1，2，…，n1(n1是時間點數(shù));i=1，2，…，n2(桿的段數(shù))。

把式(12)代入(11)式，得:

式中:r=α2Δt2/Δx2;α2=E/ρ

y2(2，j)，y2(n，j)由式(11)的邊界條件得到。運用公式(12)與(13)即可求解動力學(xué)方程(11)。

3 數(shù)值算例

某電子產(chǎn)品，質(zhì)量m=3kg，內(nèi)部有桿式易損部件，密度 ρ=0.5 g/cm3，彈性模量 E=10 MPa，長度 l=0.03 m，桿的比例極限 σp=1.2 MPa，桿的橫截面積 A0=5mm2，電子產(chǎn)品主體與外界連接用的緩沖材料力學(xué)性能如式(9)所示。由跌落試驗得到的發(fā)泡聚乙烯緩沖材料參數(shù)為 a1=280 Pa·s，a2=0.0894 MPa，a3=1.91，面積 A=0.01 m2，厚度 h=0.035 m;在跌落高度 H=0.5 m下跌落，分析并校核緩沖材料是否合理。

圖3給出易損件在跌落沖擊下的響應(yīng)，圖3(a)為易損件的絕對運動y2，圖3(b)為易損件相對產(chǎn)品主體的位移。主要結(jié)論是:易損件的自由端相對位移達(dá)到最大值4×10－4m，方向向下，易損件的絕對運動隨長度變化不明顯。主要原因是易損件的相對位移遠(yuǎn)小于緩沖材料的變形，即產(chǎn)品主體的位移。

圖4給出易損件的絕對加速度和相對加速度，主要結(jié)論是:絕對加速度隨長度的變化而變化顯著，當(dāng)時間t為0.0065，x為0時，易損件絕對加速度最大值為180 g;當(dāng)時間 t為0.0071，x為0.03 時，易損件的自由端的絕對加速度最大值為248 g，如圖4(a)所示。為了直觀顯示易損件沿長度變化情況，圖4(b)給出易損件與產(chǎn)品主體的相對加速度。

圖3 易損件的絕對運動及相對運動Fig.3 The absolute displacement and relative displacement of the critical component

圖4 易損件的絕對加速度、相對加速度Fig.4 The distribution of relative acceleration and absolute acceleration

圖5給出了易損件的應(yīng)力分布，圖4(a)、(b)所示易損件的自由端加速度為最大值時，桿的端部應(yīng)力為0;雖然圖4(a)、(b)在x=0端的最大加速度小于自由端的最大加速度，但應(yīng)力達(dá)到最大值，為0.374 MPa。在質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)中，集中質(zhì)量最大加速度值是求解的一個關(guān)鍵量，因為它是決定產(chǎn)品破壞與否的重要參考，由于不能對均勻分布的彈性部件建立質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)，所以加速度值已不能作為衡量多自由度剛性－彈性體緩沖包裝產(chǎn)品破損與否的判據(jù)。需要將其按照連續(xù)體處理，計算最大應(yīng)力值是否超過彈性部件的比例極限，若超過比例極限，意味著彈性部件會出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性變形，從而可能導(dǎo)致喪失產(chǎn)品整體功能。本文所研究選用的緩沖材料的最大應(yīng)力小于桿的比例極限，在彈性變形之內(nèi)，包裝產(chǎn)品未發(fā)生塑性變形。因此，所選用的緩沖材料滿足要求。

圖5 應(yīng)力沿桿的分布Fig.5 the stress of the bar critical component

4 結(jié)論

本文對產(chǎn)品的彈性易損件為桿式結(jié)構(gòu)的多自由度剛性－彈性體物品包裝的緩沖設(shè)計進(jìn)行了系統(tǒng)研究，通過將產(chǎn)品主體假設(shè)為剛性，建立了剛性－彈性體的耦合模型及運動微分方程，提出了解決此類問題的算法，并運用差分方法，得到電子產(chǎn)品桿式易損零件非線性包裝系統(tǒng)的數(shù)值解，主要結(jié)論如下:

(1)由于桿式易損件的相對位移遠(yuǎn)小于緩沖材料的變形，即產(chǎn)品主體的位移，易損件的絕對運動隨長度變化不明顯。其中電子產(chǎn)品桿式易損件的自由端最大相對位移為4×10－4m，方向向下;

(2)絕對加速度隨桿式易損件長度變化而變化顯著。易損件最大加速度出現(xiàn)在自由端，最小加速度出現(xiàn)在桿與主體連接的位置，即桿的根部;

(3)桿式易損件加速度最大處，應(yīng)力最小，加速度最小處，應(yīng)力卻最大。若最大應(yīng)力未超過彈性桿的比例極限，桿的變形即可恢復(fù)，如果超過比例極限，彈性桿會產(chǎn)生塑性變形而喪失產(chǎn)品功能。

［1］奚德昌，陳慶華，王振林，等編著.包裝結(jié)構(gòu)設(shè)計［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社，1994.

［2］Newton R E.Fragility assessment theory and practice［R］.Monterey Research Laboratory，Inc.Monterey，Califonia，1968.

［3］鄭志銀，奚德昌.一種平板玻璃集裝箱緩沖系統(tǒng)在半正弦型沖擊激勵下的響應(yīng)［J］.云南工學(xué)院學(xué)報，1990，6(1－2):233－239.

［4］高 德，盧富德.具有轉(zhuǎn)動包裝系統(tǒng)的正切非線性模型沖擊響應(yīng)研究［J］.振動與沖擊，2010，29(10):131 －136，210.

［5］高 德，盧富德.考慮轉(zhuǎn)動的雙曲正切與正切組合模型綬沖系統(tǒng)沖擊響應(yīng)研究［J］.振動工程學(xué)報，2012，25(1):6－11.

［6］高 德，盧富德.聚乙烯緩沖材料多自由度跌落包裝系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計［J］.振動與沖擊，2012，31(3):69 －72.

［7］奚德昌，彭南陵.具有簡支梁彈性部件包裝物品的防震［J］.包裝工程，1989，10(1):43 －48.