基于結(jié)構(gòu)構(gòu)形易損性理論的桁架結(jié)構(gòu)分析

蘇冠興，張志強(qiáng)，葉繼紅

(1.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 210096;2.江蘇省蘇科建設(shè)技術(shù)發(fā)展有限公司，南京 210008;3.東南大學(xué) 混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，南京 210096)

如果一個結(jié)構(gòu)在某種局部破壞作用下所產(chǎn)生的后果是整個結(jié)構(gòu)大范圍的破壞，則稱該結(jié)構(gòu)就是易損的;反之，如果一個結(jié)構(gòu)在一定程度上能夠承受任意的局部破壞作用，則稱該結(jié)構(gòu)就是不易損的或是魯棒的(強(qiáng)健的)?？梢哉J(rèn)為，結(jié)構(gòu)的局部破壞引起的整體破壞范圍越大，結(jié)構(gòu)的易損性就越大。越來越多的專家認(rèn)為:為了保證結(jié)構(gòu)的安全，設(shè)計中必須考慮結(jié)構(gòu)的易損性問題。在建立結(jié)構(gòu)易損性和魯棒性理論方面各國學(xué)者提出了不同的概念和方法，Lind［1］提出了基于概率的易損性和容許損傷的定義義，易損性定義為損傷系統(tǒng)的失效概率與未損傷系統(tǒng)的失效概率的比值，而容許損傷定義為易損性的倒數(shù)。Ziha［2］通過引入不確定測度的概念，提出了基于不確定性信息熵的事件系統(tǒng)魯棒性理論，指出提高系統(tǒng)的魯棒性要求有效模式和失效模式的概率分布盡量一致均勻。Beedy［3］提出了基于能量吸收思想的魯棒性概念和單位體積允許損傷能量的概念，結(jié)構(gòu)魯棒性的要求就是指能夠吸收由意外事故造成的損傷而不發(fā)生倒塌。柳承茂等［4］也對易損性問題進(jìn)行了研究，提出了基于剛度的構(gòu)件冗余關(guān)聯(lián)度的概念，并在勢能最小原理的基礎(chǔ)上對構(gòu)件冗余關(guān)聯(lián)度與結(jié)構(gòu)靜不定次數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了證明。Blockley等［5－13］提出基于結(jié)構(gòu)形式的易損性概念，通過研究結(jié)構(gòu)構(gòu)件組合的方式和結(jié)構(gòu)可能發(fā)生的失效情況，研究結(jié)構(gòu)中的薄弱部位，提出了系統(tǒng)的理論。本文正是基于這種理論研究桁架結(jié)構(gòu)的易損性并與荷載作用相聯(lián)系［14－15］。

1 基于結(jié)構(gòu)構(gòu)形的易損性理論

1991年英國布里斯托大學(xué)的 Blockley等［5－13］提出了基于結(jié)構(gòu)構(gòu)形的易損性理論，將易損性定義為部分的損壞引起整個結(jié)構(gòu)不成比例的破壞。它主要研究的是結(jié)構(gòu)形成過程、桿件可能的損害路徑和結(jié)構(gòu)的各種破壞模式。定義結(jié)構(gòu)環(huán)或結(jié)構(gòu)球為結(jié)構(gòu)最基本的受力單元，結(jié)構(gòu)由結(jié)構(gòu)環(huán)(結(jié)構(gòu)球)連接組合而成。首先選取連接能力最大的結(jié)構(gòu)環(huán)為基簇，按照連接能力增大的原則，根據(jù)集簇規(guī)則集成其他桿件，最終與參考簇(大地)相連集成整個結(jié)構(gòu)。集簇規(guī)則有最小損壞需求、節(jié)點連接度、與參考簇的距離。在集簇過程中結(jié)構(gòu)連接能力是重要的參數(shù)，表征了結(jié)構(gòu)承受各種作用的能力。

解簇過程是集簇的逆序，它不是無序進(jìn)行的，有嚴(yán)格的規(guī)則，主要包括是不是參考簇和結(jié)構(gòu)連接能力等。解簇過程中產(chǎn)生了結(jié)構(gòu)分離度、相對損壞需求和易損性指數(shù)等重要參數(shù)。它們是區(qū)別結(jié)構(gòu)失效模式的重要指標(biāo)。每次解簇得到一個失效事件，直到結(jié)構(gòu)成為機(jī)構(gòu)，所有的失效事件構(gòu)成一種失效模式。結(jié)構(gòu)共有五種主要的設(shè)計者所關(guān)心的失效模式:整體倒塌失效模式、最大失效模式、最易發(fā)生失效模式、最小失效模式和特定失效模式。其中，整體倒塌失效模式結(jié)構(gòu)破壞最大、損壞需求最小、易損性指數(shù)最大，是一種最易損的失效模式，其所包含的桿件也是設(shè)計者著重關(guān)心的。

在這種理論中主要提出了以下的基本概念:

(1)圖模型:一系列被看作對象的結(jié)構(gòu)單元和節(jié)點組成的集合。每個單元至少連接兩個節(jié)點。

(2)結(jié)構(gòu)簇:圖模型的子集，能夠形成結(jié)構(gòu)環(huán)，處于結(jié)構(gòu)簇中的對象更緊密地連接在一起。整個結(jié)構(gòu)稱為完整簇，結(jié)構(gòu)集簇過程中形成的稱為子簇。

(3)結(jié)構(gòu)環(huán):二維結(jié)構(gòu)的基本組成部分，可以抵抗任意方向荷載，如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)環(huán)示意圖Fig.1 Structural ring

(4)連接能力:衡量結(jié)構(gòu)的一個指標(biāo)，它與結(jié)構(gòu)類型、連接節(jié)點的桿件剛度、結(jié)構(gòu)中桿件連接狀態(tài)等有關(guān)，它分單個節(jié)點連接能力、結(jié)構(gòu)環(huán)的連接能力和結(jié)構(gòu)簇的連接能力。結(jié)構(gòu)環(huán)和結(jié)構(gòu)簇的連接能力等于其中所有節(jié)點連接能力的平均值。

其中:Kii:為節(jié)點i的所有桿件剛度矩陣，qi為第i個節(jié)點的連接能力。

結(jié)構(gòu)簇的連接能力等于該簇中所有節(jié)點連接能力的平均值。Q為結(jié)構(gòu)簇的連接能力，n為結(jié)構(gòu)簇中節(jié)點數(shù)。

(5)節(jié)點連接度:與某結(jié)構(gòu)簇的節(jié)點相連的所有桿件數(shù)，表征了結(jié)構(gòu)簇與其它簇相連形成新的結(jié)構(gòu)環(huán)的潛在能力。

(6)失效事件:由作用引起的結(jié)構(gòu)抵抗某個方向作用能力的喪失，如結(jié)構(gòu)桿件的破壞，節(jié)點約束的減小。

(7)損壞需求:每次失效事件對應(yīng)一定的損壞需求，以衡量引起結(jié)構(gòu)失效作用的大小。失效事件的損壞需求與結(jié)構(gòu)的主軸剛度系數(shù)成正比，可以定量的表示如下:

(8)相對損壞需求:一種失效模式的相對損壞需求是其損壞需求與結(jié)構(gòu)最大損壞需求之比。

其中:D表示損害需求;

Dmax表示所有桿件的最大損害需求。

(9)分離度:衡量結(jié)構(gòu)損壞的程度，它是損傷結(jié)構(gòu)連接能力的損失與原結(jié)構(gòu)連接能力之比。當(dāng)結(jié)構(gòu)成為機(jī)構(gòu)而倒塌時，其分離度等于1。

其中:Q(S)表示完整結(jié)構(gòu)的連接能力指標(biāo)

Q(S’)表示結(jié)構(gòu)損壞后的連接能力指標(biāo)。

(10)易損性指數(shù):衡量結(jié)構(gòu)的易損性，對一種失效模式它是分離度與相對損壞需求之比，表征了結(jié)構(gòu)分離度與損壞需求不成比例。

其中:Dr表示相對損壞需求;r表示分離度。

(11)整體倒塌失效模式:結(jié)構(gòu)成為機(jī)構(gòu)而倒塌，在所有可能的失效模式中，它的分離度等于1，并且易損性指數(shù)最大。

(12)最大失效模式:結(jié)構(gòu)遭受最大范圍的損壞但未倒塌，其中，其易損性指數(shù)最大。

(13)最小失效模式:結(jié)構(gòu)中具有最小連接能力的簇破壞

(14)最易發(fā)生失效模式:所有可能失效模式中，需要最小的損壞需求，所以是結(jié)構(gòu)中最易發(fā)生的失效模式。

(15)集簇過程:集簇是基于結(jié)構(gòu)本身構(gòu)形易損性理論分析的重要過程，它是解簇的基礎(chǔ)，其最終所形成的結(jié)構(gòu)層級模型為我們提供了直觀的結(jié)構(gòu)形成過程。結(jié)構(gòu)由最基本的節(jié)點和桿件組成，由節(jié)點和桿件連接成為能抵抗任意方向荷載的結(jié)構(gòu)環(huán)(結(jié)構(gòu)球)。這些結(jié)構(gòu)環(huán)按照一定規(guī)則連接成簇，最終形成整個結(jié)構(gòu)。其中共有五種規(guī)則:

① Q:首先也是最重要的規(guī)則是連接能力;②Dmin:最小損壞需求;③ N:節(jié)點連接度;④ Dis:與參考簇的距離;⑤ FC:當(dāng)以上四種規(guī)則都無效時自由選擇。

(16)解簇過程:在集簇過程中，介紹了結(jié)構(gòu)環(huán)的退化等級模型及損壞需求的計算。對于集簇后的結(jié)構(gòu)來說，也是一種結(jié)構(gòu)環(huán)?？梢酝ㄟ^一定的方法找到結(jié)構(gòu)的退化等級和失效桿件，也就是解簇過程。解簇過程以集簇過程為基礎(chǔ)，是集簇過程的逆序分析。它使用結(jié)構(gòu)簇的層次等級模型，尋找各失效桿件及各種失效模式。從最高等級的結(jié)構(gòu)簇開始同時分析各結(jié)構(gòu)環(huán)，找到失效桿件，稱為第一次失效事件。對于破壞后的結(jié)構(gòu)再次集簇和解簇，找到更多的失效事件，直到整個結(jié)構(gòu)或者其中一部分成為機(jī)構(gòu)。

集簇過程從最高等級的結(jié)構(gòu)簇開始依次按下列準(zhǔn)則進(jìn)行:

① 不是參考簇;② 與參考簇形成結(jié)構(gòu)環(huán);③與參考簇直接相連(但是不與其形成結(jié)構(gòu)環(huán));④ 是原始簇而不是中間簇;⑤ 有最小的連接能力;⑥ 有最小的損壞需求;⑦ 最后集成;⑧ 自由選擇。

基于結(jié)構(gòu)構(gòu)形的易損性理論只關(guān)注結(jié)構(gòu)本身拓?fù)潢P(guān)系而與可能承受的荷載無關(guān)，最終得到各種可能的失效模式和易損的桿件也不是在特定荷載作用下得到的，它只與結(jié)構(gòu)本身有關(guān)，具有普遍性。這種失效模式及易損桿件，可能會在各種特定荷載作用下得到驗證。

易損性不同于可靠性，易損性不考慮荷載作用，而可靠性是針對特定荷載作用下結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的安全程度，它與荷載作用密切相關(guān)。結(jié)構(gòu)易損性分析用一種簡單但有邏輯的方法找到結(jié)構(gòu)中潛在的易損桿件，它與引起結(jié)構(gòu)破壞的各種荷載作用相分離，然而找到結(jié)構(gòu)失效模式之后，設(shè)計者就可以評估結(jié)構(gòu)在特定荷載下結(jié)構(gòu)可能的破壞模式，如果這種危險不能承受，就可以采取有效的措施避免。這樣的理論補(bǔ)充了安全性和可靠性及風(fēng)險評估的現(xiàn)有理論。

2 桁架結(jié)構(gòu)易損性分析

由于桁架結(jié)構(gòu)力學(xué)簡單明了、受力性能良好、自重較輕，被廣泛應(yīng)用于橋梁、屋架、起重機(jī)以及大跨屋蓋等結(jié)構(gòu)中。本文從國家建筑標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計圖集(05G515)中選取標(biāo)準(zhǔn)平面桁架對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)易損性分析［14－15］。

2.1 桁架－集簇解簇過程

選取15 m跨桁架，其示意圖見圖2，節(jié)點編號見圖3，桿件截面見表1，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行易損性分析。

表1 桁架一桿件截面Tab.1 Members section of truss structural 1

按照易損性分析理論，首先計算結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)環(huán)及節(jié)點的連接能力、桿件損壞需求等參數(shù)，為集簇解簇過程做準(zhǔn)備，計算得到整個結(jié)構(gòu)的連接能力:

按照結(jié)構(gòu)集簇過程的五種原則，對結(jié)構(gòu)集簇。集成過程及結(jié)果如圖4所示。對于此結(jié)構(gòu)，連接能力最大結(jié)構(gòu)環(huán)是(2、3、4)選取此環(huán)為基本簇35，按照連接能力增大的原則逐步集成桿件1、5、6、7等形成結(jié)構(gòu)簇45。此時，如果集成桿件24、25結(jié)構(gòu)連接能力值減小。所以，從剩余桿件中選取結(jié)構(gòu)環(huán)連接能力最大(30、31、32)形成簇46，再次按連接能力增大的原則集成形成簇49。此時對桿件24、簇45、簇49集成形成簇50，結(jié)構(gòu)的連接能力值達(dá)到390.59。簇50和參考簇34相連，最終形成穩(wěn)定的簇51。結(jié)構(gòu)集簇完畢。

以簇51為例解簇過程如下:

按解簇的原則對結(jié)構(gòu)解簇，對于簇51解簇過程如圖5所示，從簇51開始，簇34是參考簇，所以選取簇50，其由簇49、45、24組成，三個簇都不與參考簇形成結(jié)構(gòu)環(huán)，而簇49、簇45與參考簇直接相連，其中簇49有較小的連接能力，選取簇49。下面按照與參考簇直接連連的原則依次選取簇48、47。簇47由簇46、33、29組成，按照選取葉簇的原則，最終確定桿件33首先損壞，稱為一個失效事件。此時結(jié)構(gòu)沒有形成機(jī)構(gòu)，所以對桿件33損壞后的結(jié)構(gòu)重新集簇解簇，找到桿件32損壞，此時結(jié)構(gòu)稱為機(jī)構(gòu)，解簇過程終止。在此種失效模式中包含桿件33、32損壞兩個失效事件。

計算結(jié)構(gòu)簇的最大損壞需求如下表。

對簇51解簇最終得到失效事件33、32。計算結(jié)構(gòu)的相對損壞需求，易損性指數(shù)如下:

損壞需求:

相對損壞需求:

分離度:

易損性指數(shù):

同理，對各簇按照相同的原則集簇解簇，最終找到各種失效模式如表2所示。

以上分析了結(jié)構(gòu)的解簇集簇過程，得到了結(jié)構(gòu)各種失效模式，其中，重要的四種如表3所示。

最易發(fā)生失效模式:桿件10、24、33、1的損壞需求最小;最小失效模式:集簇過程中24號(10號)桿最后集成，其破壞后結(jié)構(gòu)仍然為不變體系，分離度不為1;最大失效模式:桿件3、30破壞后，易損性指數(shù)最大;整體倒塌失效模式:易損性指數(shù)最大，同時分離度為1，失效事件與最大失效模式相同。

表2 桁架一解簇結(jié)果Tab.2 Unzipping results of truss structural 1

表3 四種失效模式Tab.3 Four different failure scenario

2.2 桁架結(jié)構(gòu)易損性分析結(jié)果

從國家建筑標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計圖集(05G515)中再選取四種標(biāo)準(zhǔn)平面桁架對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)易損性分析。其中桁架一、二、三跨度相同，桿件截面不同;桁架四、五跨度不同，桿件截面相同。經(jīng)過集簇解簇過程求的各桁架的連接能力、損壞需求、分離度和易損性指數(shù)等特征參數(shù)。最終得到各種失效模式，有五種是最主要的，其中整體倒塌失效模式是設(shè)計者重點關(guān)注的。表4列出了各桁架的易損性分析結(jié)果。

3 失效桿件對比驗證

在使用中，桁架主要承受屋面恒載、活載、雪荷載和風(fēng)荷載等作用。設(shè)計中考慮各種荷載組合的影響，取最大值設(shè)計桿件截面。本文通過計算桁架桿件內(nèi)力，求得其應(yīng)力比。對于應(yīng)力比較大的桿件其安全儲備低，可靠度系數(shù)小。對比結(jié)構(gòu)易損性分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)二者有對應(yīng)關(guān)系。結(jié)構(gòu)應(yīng)力比計算結(jié)果如表5所示。由于結(jié)構(gòu)對稱及篇幅所限，表5只列出部分桿件的應(yīng)力比，對稱的桿件應(yīng)力比大小相同。

表4 桁架易損性分析結(jié)果Tab.4 Vulnerability analysis results of truss

表5 桁架桿件應(yīng)力分析Tab.5 Stress analysis of truss members

由表5可知，結(jié)構(gòu)易損性分析結(jié)果得到的失效桿件(關(guān)鍵桿件)應(yīng)力同樣比較大。例如，對于桁架一整體失效模式的失效桿件是桿3、30，其應(yīng)力比達(dá)到0.40在所有桿件中較大。同時，應(yīng)力比較大的桿件也是解簇過程得到的失效桿件。例如，對于桁架二應(yīng)力比最大的桿件是桿19、14，在解簇過程中14、19號桿是簇42解簇得到的關(guān)鍵桿件。

通過以上分析可知，結(jié)構(gòu)易損性分析得到的失效桿件與應(yīng)力比較大的桿件有對應(yīng)關(guān)系。這些桿件是結(jié)構(gòu)中可靠度較小的、易損的，其損壞后會對結(jié)構(gòu)造成大的破壞。對這些桿件有必要加強(qiáng)其設(shè)計，并重點監(jiān)測。

在結(jié)構(gòu)集簇解簇過程中，要對結(jié)構(gòu)集簇過程的各中間簇進(jìn)行解簇。對于桁架這種比較小的結(jié)構(gòu)其計算量是可以接受的。然而對于大跨網(wǎng)殼等桿件數(shù)量較多的桿件計算量仍然很大。通過以上分析給設(shè)計者提供了一種可行的方法，在結(jié)構(gòu)桿件設(shè)計過程中必然要計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力比，對應(yīng)力比較大的桿件計算其分離度、相對損壞需求、易損性指數(shù)等參數(shù)，進(jìn)而判斷結(jié)構(gòu)的失效模式，找到整體倒塌失效模式。從而避免了對各中間簇重復(fù)集簇解簇。

4 易損性特征參數(shù)與極限荷載

對各桁架在跨中施加集中力，考慮材料非線性，得到結(jié)構(gòu)荷載位移曲線。如圖6所示。

由圖6可以看出，隨荷載幅值增加位移曲線切線斜率發(fā)生變化，剛度削弱，部分桿件進(jìn)入屈服破壞。如桁架一:結(jié)構(gòu)在集中力為108 kN時，荷載位移曲線斜率有明顯變化，說明此時部分構(gòu)件進(jìn)入塑性。在108 kN時，位移幅值為0.0326，為結(jié)構(gòu)跨度的1/460。

由表6可看出:

(1)桁架一、二、三跨度相同，桿件不同，具有相同的結(jié)構(gòu)組成和類似的集簇過程。隨著結(jié)構(gòu)連接能力Q、損壞需求Dmax的增加，集中力作用的臨界荷載值也逐漸的增加。而隨著易損性指數(shù)φ增大，臨界荷載值逐漸減小，表現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的易損性。

(2)桁架一、四、五桿件相同，跨度不同，結(jié)構(gòu)集簇過程完全不同。隨著易損性指數(shù)φ增大，臨界荷載值逐漸減小。對比桁架四和桁架五連接能力增大，而臨界荷載值沒有增大反而減小。這是因為結(jié)構(gòu)集簇過程完全不同，易損性特征參數(shù)與結(jié)構(gòu)屈服臨界峰值、臨界位移等沒有可比性。

圖6 桁架荷載位移曲線Fig.6 Stress’s amplitude-maximum joint displacement curve

表6 桁架結(jié)構(gòu)各參數(shù)表Tab.6 Parameters of truss structural

由以上分析可知，結(jié)構(gòu)桿件、矢跨比、跨度等的變化都會引起結(jié)構(gòu)集簇過程的變化。而對于具有相同的結(jié)構(gòu)組成和集簇過程的結(jié)構(gòu)，易損性特征參數(shù)與結(jié)構(gòu)屈服臨界峰值、臨界位移等有對應(yīng)關(guān)系。結(jié)構(gòu)連接能力增大，屈服臨界荷載增大;易損性指數(shù)增大，屈服臨界荷載減小。如果結(jié)構(gòu)集簇過程不同，則二者沒有必然聯(lián)系，無可比性。

5 結(jié)論

通過以上分析可以看出:

(1)基于結(jié)構(gòu)構(gòu)形的易損性理論自成體系，在分析簡單結(jié)構(gòu)(例如桁架)中簡單易行，可行性高，通過集簇解簇過程得到了結(jié)構(gòu)的易損性特征參數(shù)，及各種失效模式，為判斷結(jié)構(gòu)易損性提供了依據(jù)。

(2)發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)應(yīng)力較大的桿件與易損性分析的失效桿件有對應(yīng)關(guān)系，為大跨網(wǎng)殼等桿件數(shù)量多、易損性分析計算量大的結(jié)構(gòu)提供了新的思路，即直接計算應(yīng)力比較大桿件的易損性參數(shù)，找到各種失效模式，判斷結(jié)構(gòu)易損性。

(3)通過將集中力作用下結(jié)構(gòu)的臨界峰值與易損性分析特征參數(shù)對比，發(fā)現(xiàn)如果結(jié)構(gòu)形式相同、集簇過程類似，那么隨著連接能力的增大結(jié)構(gòu)臨界荷載增大，易損性指數(shù)增大結(jié)構(gòu)臨界荷載減小，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)的更易損。如果集簇過程差別很大，則連接能力與臨界荷載沒有必然聯(lián)系。

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