直齒行星傳動齒輪修形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

郝 東 升， 董 惠 敏＊， 毛 范 海， 張 永 帥

（1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程與材料能源學(xué)部，遼寧 大連 116024；2.大連重工·起重集團(tuán)有限公司 齒輪箱研究所，遼寧 大連 116013）

0 引 言

行星齒輪傳動由多個(gè)行星輪分擔(dān)荷載，具有傳動功率大、體積小、重量輕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于冶金礦山、水泥、火力發(fā)電等行業(yè)的動力傳輸設(shè)備.由于太陽輪功率密度高，多對齒輪副同時(shí)參與嚙合，扭轉(zhuǎn)變形使太陽輪齒寬方向荷載分布不均，齒輪受載變形和負(fù)載波動也會加劇齒輪嚙入、嚙出沖擊，降低齒輪傳動的可靠性.

齒輪修形能夠改善齒輪嚙合平穩(wěn)性，減小齒輪受載變形和制造、裝配誤差引起的嚙合沖擊，改善齒面的潤滑狀態(tài)，獲得較為均勻的齒面荷載分布.楊廷力等[1]定性給出了確定齒廓修形曲線、修形長度和修形量的一般原則；王統(tǒng)等[2]歸納了國內(nèi)外計(jì)算齒廓修形和齒向修形的不少方法；李潤方[3]以彈性嚙合數(shù)值方法為基礎(chǔ)，對齒輪修形方法進(jìn)行了全面系統(tǒng)的論述.目前齒輪修形方法主要針對定軸直齒和斜齒傳動，對行星傳動齒輪修形研究較少.近年來有限元接觸分析方法廣泛應(yīng)用于齒輪修形研究，但需要解決兩個(gè)關(guān)鍵問題才能實(shí)現(xiàn)齒輪修形參數(shù)優(yōu)化：（1）漸開線圓柱齒輪嚙合理論上為線接觸，接觸線鄰近區(qū)域應(yīng)力梯度大，需要非常細(xì)密的網(wǎng)格劃分來反映接觸區(qū)的真實(shí)應(yīng)力、接觸變形和修形齒面的接觸狀態(tài)[4].為了減小齒輪有限元規(guī)模，提高非線性接觸分析求解效率，通常采用疏密網(wǎng)格逐漸過渡方式劃分網(wǎng)格，也可以通過多點(diǎn)約束方程實(shí)現(xiàn)疏密網(wǎng)格過渡有限元建模.文獻(xiàn)[5，6]采用分級剖分法較好地實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)格過渡，但對于直齒輪采用多點(diǎn)約束方程網(wǎng)格過渡建模，有限元模型的網(wǎng)格畸變小[7]，計(jì)算精度高.本文采用多點(diǎn)約束方程實(shí)現(xiàn)疏密網(wǎng)格過渡建模，提出具有齒面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)修正的直齒輪接觸區(qū)局部網(wǎng)格細(xì)化建模方法.（2）應(yīng)用有限元接觸分析優(yōu)化齒輪修形參數(shù)，需要多次變更修形齒輪有限元模型，求解齒面上的應(yīng)力分布，因此修形齒輪快速精確有限元建模成為齒輪修形參數(shù)優(yōu)化的關(guān)鍵.

本文提出一種直齒輪修形齒面快速精確有限元建模方法：首先在ANSYS有限元分析平臺上應(yīng)用APDL語言建立局部網(wǎng)格細(xì)化的齒輪嚙合有限元接觸分析模型，施加荷載和位移邊界條件；然后在此基礎(chǔ)上按修形函數(shù)控制漸開線發(fā)生線長度修改齒面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)修形齒面快速精確重構(gòu).由于在一個(gè)嚙合相位下只建立一個(gè)接觸分析模型，修形參數(shù)迭代優(yōu)化過程中的模型重建僅通過修形齒面重構(gòu)實(shí)現(xiàn)，極大地提高了修形齒輪有限元建模效率.這種方法優(yōu)勢在于有限元模

型的建模效率高，修形區(qū)齒廓幾何逼近精度高，修形齒面接觸狀態(tài)求解準(zhǔn)確，有限元規(guī)模小，求解效率高.

對于高精度硬齒面低速重載的行星傳動系統(tǒng)，由于齒輪的嚙合頻率與系統(tǒng)的低階固有頻率相差很遠(yuǎn)，動態(tài)激勵不顯著[8].在準(zhǔn)靜態(tài)條件下只有少數(shù)輪齒參與嚙合，考慮到行星架和內(nèi)齒圈通常具有較大剛度，因此只研究太陽輪和行星輪受載變形對齒面應(yīng)力分布的影響.假設(shè)行星傳動系統(tǒng)的各行星輪傳遞荷載相等，對太陽輪剖分取其中一路傳動子系統(tǒng)模擬，退化為一對定軸齒輪傳動，簡化了行星傳動系統(tǒng)有限元模型，但是需要建立太陽輪子域邊界位移協(xié)調(diào)關(guān)系，模擬太陽輪受載的軸向扭轉(zhuǎn)變形.

本文以某4 600kW立式磨機(jī)主減速機(jī)直齒行星傳動為例，闡述行星傳動系統(tǒng)行星輪修形參數(shù)優(yōu)化過程.

1 行星傳動系統(tǒng)支路有限元建模

立式磨機(jī)主減速機(jī)由三級齒輪傳動組成，如圖1所示，其中最后一級為5個(gè)行星輪均布的高精度硬齒面低速重載直齒行星傳動.動力通過鼓形齒聯(lián)軸器傳遞給浮動的太陽輪，行星架作為動力輸出，徑向軸承約束，內(nèi)齒圈用鍵和螺栓固定在機(jī)架上.太陽輪輸入轉(zhuǎn)速105r/min，扭矩418 381 N·m，行星架轉(zhuǎn)速24r/min，嚙合頻率35.6Hz，噴油強(qiáng)制潤滑方式控制齒輪溫升.行星傳動系統(tǒng)齒輪參數(shù)見表1.

太陽輪齒數(shù)為27，行星輪數(shù)量為5，所以每個(gè)傳動支路分擔(dān)的齒數(shù)不為整數(shù)，無法應(yīng)用循環(huán)對稱約束建模求解.取太陽輪5齒局部模型與行星輪嚙合，并對太陽輪兩側(cè)邊界面上的節(jié)點(diǎn)對應(yīng)網(wǎng)格劃分，應(yīng)用位移約束方程建立太陽輪兩邊界面的位移協(xié)調(diào)關(guān)系，近似模擬太陽輪受載后的軸向扭轉(zhuǎn)變形（見圖2）.

圖1 主減速機(jī)傳動系統(tǒng)Fig.1 Driven system of the main reducer

表1 行星傳動系統(tǒng)齒輪參數(shù)Tab.1 Gear parameters of the planetary gear train

圖2 太陽輪與行星輪嚙合有限元模型Fig.2 FE model of a sun and planet gear mesh

旋轉(zhuǎn)太陽輪所有節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系與全局圓柱坐標(biāo)系方位一致，兩邊界上節(jié)點(diǎn)位移滿足如下約束方程：

其中Hi和Lj分別為兩邊界上的節(jié)點(diǎn)對編號.

太陽輪內(nèi)孔表層節(jié)點(diǎn)施加徑向位移約束，輸入端花鍵軸所在軸段表層節(jié)點(diǎn)施加切向荷載，其中邊界面一側(cè)棱邊上的節(jié)點(diǎn)不施加荷載.

節(jié)點(diǎn)切向荷載計(jì)算：

式中：T為太陽輪輸入扭矩；Nc為行星輪個(gè)數(shù)；d為簡化的花鍵軸段直徑；N為施加荷載的節(jié)點(diǎn)數(shù).

在行星輪回轉(zhuǎn)中心建立局部圓柱坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)行星輪所有節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系與該局部圓柱坐標(biāo)系方位一致.行星輪與內(nèi)齒圈嚙合的鄰近區(qū)域節(jié)點(diǎn)施加切向位移約束，內(nèi)環(huán)節(jié)點(diǎn)施加徑向位移約束和軸向位移約束，防止行星輪產(chǎn)生剛體位移.

2 接觸區(qū)細(xì)化單元邊界位移耦合建模

齒輪嚙合接觸線鄰近區(qū)域應(yīng)力梯度大，對齒面網(wǎng)格劃分敏感，需要高密度網(wǎng)格劃分提高齒廓幾何逼近精度，真實(shí)反映修形齒輪的齒面應(yīng)力和接觸狀態(tài).齒輪有限元詳細(xì)建模過程參見文獻(xiàn)[9]，

接觸區(qū)細(xì)化單元邊界位移耦合建模過程如下：

（1）在Matlab中模擬齒條型刀具加工齒輪，生成輪齒廓線上的離散點(diǎn)坐標(biāo).

（2）在ANSYS中應(yīng)用APDL程序分段樣條擬合齒廓坐標(biāo)點(diǎn)，生成端面齒廓線.

（3）定義材料屬性，選擇單元類型.

（4）端面齒廓線區(qū)域劃分，生成端面網(wǎng)格，拉伸生成六面體網(wǎng)格.

（5）旋轉(zhuǎn)兩齒輪到分析嚙合相位.

（6）求解裝配相位下嚙合點(diǎn)坐標(biāo).

（7）按式（2）修改齒面上與嚙合點(diǎn)最鄰近節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為嚙合點(diǎn)坐標(biāo)（齒頂上節(jié)點(diǎn)不調(diào)整），按齒面上漸開線弧長坐標(biāo)調(diào)整齒面上與嚙合點(diǎn)相鄰的節(jié)點(diǎn)間距.

（8）根據(jù)接觸線上嚙合點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)編號獲得相關(guān)聯(lián)的單元，輪尋單元上的節(jié)點(diǎn)序列，分別以節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)生成Keypoints，并以此生成六面體實(shí)體；設(shè)置體上附著線的分段數(shù)和分段比例，映射網(wǎng)格生成細(xì)化六面體單元，最后刪除原位置上的母單元，合并相同位置的節(jié)點(diǎn)編號，實(shí)現(xiàn)接觸區(qū)單元細(xì)化，如圖3所示.

圖3 嚙合區(qū)細(xì)化單元Fig.3 Refined elements near the mesh zone

（9）建立齒輪嚙合接觸對，定義接觸分析實(shí)常數(shù).

（10）選擇細(xì)化單元邊界上的節(jié)點(diǎn)和相鄰大單元，執(zhí)行CEINTF命令，按照節(jié)點(diǎn)在單元中的位置自動建立位移約束方程，按鄰域容差移動節(jié)點(diǎn)到大單元表面上.

（11）施加荷載和位移邊界條件.

由于細(xì)化單元按線性插值生成，單元的表層節(jié)點(diǎn)并不在設(shè)計(jì)齒面上，需要按式（2）修改齒面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)重建精確齒面.

3 修形齒輪有限元快速精確建模方法

在局部網(wǎng)格細(xì)化的齒輪嚙合有限元接觸分析模型的基礎(chǔ)上，按修形函數(shù)控制齒面上節(jié)點(diǎn)的漸開線發(fā)生線長度，修改齒面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，遍歷齒面上的節(jié)點(diǎn)重構(gòu)修形齒面，實(shí)現(xiàn)修形齒輪有限元快速精確建模.

設(shè)分析相位Φ，如圖4所示，齒面上的節(jié)點(diǎn)識別過程如下：

檢索獲得輪齒上大于基圓半徑的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo).令z＝zi的齒輪軸截面上中心點(diǎn)O坐標(biāo)為（x0，y0），任一節(jié)點(diǎn)p在齒輪局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（x1，y1），映射與p點(diǎn)具有相同半徑rp的p′點(diǎn)到漸開線上.

p′點(diǎn)對應(yīng)的壓力角

基圓上漸開線起點(diǎn)A對應(yīng)相位

B點(diǎn)對應(yīng)相位

δ＝±1對應(yīng)的齒廓如圖4所示.

圖4 輪齒節(jié)點(diǎn)映射Fig.4 Mapping of a node on a tooth profile

對于修形齒廓，漸開線的發(fā)生線長度L由修形函數(shù)確定.

（1）齒向修形（圖5）

p′點(diǎn)坐標(biāo)

式中：z為齒面上節(jié)點(diǎn)的軸向坐標(biāo)；z0為齒輪端面的軸向坐標(biāo)；lw為齒向修形長度；ew為齒向修形最大修形量；m為齒向修形函數(shù)指數(shù)；δw在z坐標(biāo)正向增長時(shí)取1，反向?。?.

圖5 齒向修形Fig.5 Lead modification of gear

（2）齒廓修形（圖6）

式中：L為齒面上節(jié)點(diǎn)的漸開線發(fā)生線長度；Le為最大修形量所在位置的漸開線發(fā)生線長度；Ls為修形起點(diǎn)的漸開線發(fā)生線長度；l為齒廓修形所在區(qū)間嚙合線上度量長度；ep為齒廓修形法向最大修形量；n為齒廓修形函數(shù)指數(shù)；δp在漸開線伸長方向取1，反向?。?.

圖6 齒廓修形Fig.6 Profile modification of gear

齒廓修形參數(shù)工程標(biāo)注計(jì)算如下：

（3）齒向齒廓綜合修形

齒向修形和齒廓修形都是在節(jié)點(diǎn)的漸開線發(fā)生面內(nèi)修改齒面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)，因此可以統(tǒng)一齒向和齒廓修形算法，并且可以實(shí)現(xiàn)齒向齒廓綜合修形建模.

由于接觸區(qū)細(xì)化單元尺寸小，當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的總修形量較大時(shí)，直接沿漸開線發(fā)生線方向修改節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)會使單元形態(tài)變差，影響有限元模型求解精度，可以通過修正漸開線發(fā)生線向量角來避免這個(gè)問題.

令eb為齒面上一節(jié)點(diǎn)的齒向修形量，en為該點(diǎn)的齒廓修形量，在漸開線發(fā)生線方向上的總修形量

齒面上一節(jié)點(diǎn)K的漸開線發(fā)生線如圖7所示，發(fā)生線長度

對式（7）兩邊取微分

由于總修形量在0.001～0.010mm量級，近似取微分量與變動量等價(jià).

修形后齒面上節(jié)點(diǎn)的發(fā)生線向量角

修形后齒面上節(jié)點(diǎn)的發(fā)生線長度

圖7 發(fā)生線向量角修正Fig.7 Vector angle correction of a generation line

發(fā)生線向量角調(diào)整引起的附加齒廓修形變動量可以通過對式（5）取微分獲得：

通常齒廓修形函數(shù)指數(shù)1≤n≤2，mm量級，l＞1，｜den/dL｜ 1，因此發(fā)生線長度變動量dL引起發(fā)生線向量角變動，進(jìn)而由齒廓修形函數(shù)引起的附加齒廓修形變動量den為高階小量，式（2）忽略此項(xiàng)仍然具有很高精度.

4 齒輪修形參數(shù)優(yōu)化

高精度硬齒面低速重載的齒輪傳動系統(tǒng)通常以齒面應(yīng)力分布均勻作為齒輪修形的設(shè)計(jì)目標(biāo)，齒輪有限元面－面接觸分析方法能夠求解輪齒上的應(yīng)力分布.本文的齒形優(yōu)化方法按照齒面上的應(yīng)力分布趨勢變更修形函數(shù)，以齒面重構(gòu)算法快速建立精確修形的齒輪有限元接觸分析模型，迭代求解修形齒輪接觸問題，直到獲得理想的齒面應(yīng)力分布，完成齒輪修形參數(shù)優(yōu)化.修形參數(shù)優(yōu)化流程如圖8所示.

這種基于有限元結(jié)構(gòu)修改的齒輪修形參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程相當(dāng)于對齒輪箱做負(fù)荷試驗(yàn)，每次檢測齒面上的接觸斑，按接觸斑分布重新加工修形齒輪繼續(xù)做負(fù)荷試驗(yàn)直到獲得理想的接觸斑為止.

4.1 齒輪修形基本參數(shù)確定

接觸分析非線性求解時(shí)間較長，為了減少修形齒輪分析模型的建模和求解次數(shù)，提高齒輪修形參數(shù)優(yōu)化效率，齒廓修形基本參數(shù)初值按文獻(xiàn)[1]推薦值選取.

行星輪既參與外嚙合又參與內(nèi)嚙合，為了簡化修形齒輪加工工藝，僅對行星輪修形.高精度硬齒面修形齒輪通常以磨齒作為最后加工工序，采用數(shù)控成型磨齒機(jī)加工修形齒輪，對齒輪修形參數(shù)適應(yīng)能力強(qiáng).

圖8 齒輪修形參數(shù)優(yōu)化流程Fig.8 Flow chart for optimizing gear modification

直齒輪傳動重合度較低，齒廓修形推薦為短修形，基本參數(shù)如下：雙齒嚙合區(qū)單側(cè)長度Γ＝（ε－1）pb，其中基圓齒距pb＝πmcosα，端面重合度為ε.嚙合線上修形長度l＝0.5Γ；齒廓修形函數(shù)指數(shù)n＝1.5.

（1）齒頂修形參數(shù)

（2）齒根修形參數(shù)

齒向修形參數(shù)與齒輪的結(jié)構(gòu)和荷載密切相關(guān)，修形長度按ISO[10]推薦值取lw＝0.1b，b為齒輪的齒寬.

圖9 齒輪嚙合有限元模型Fig.9 FE model of gear meshing

圖10 行星輪齒頂修形Fig.10 Modified profile at the tip of the planet gear

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

應(yīng)用ANSYS 10.0的增廣拉格朗日法求解修形齒輪嚙合接觸問題，懲罰剛度系數(shù)取1，穿透系數(shù)取0.1，忽略齒面接觸摩擦，采用高斯積分點(diǎn)作為接觸探測點(diǎn)，關(guān)閉自動接觸調(diào)整選項(xiàng)以避免修改齒面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo).

圖12 行星輪齒根修形Fig.12 Modified profile at the root of the planet gear

圖13 行星輪齒頂嚙合相位下額定荷載不修形和修形齒輪等效應(yīng)力Fig.13 von Mises stress of the none modified and modified gear at rated load under meshing of the tip of the planet gear

建立行星輪齒頂嚙合、單齒嚙合和行星輪齒根嚙合3個(gè)關(guān)鍵嚙合相位下的齒輪有限元接觸分析模型，如圖9所示，求解修形齒輪的應(yīng)力分布，以齒面應(yīng)力分布狀況評價(jià)齒輪修形效果.

齒輪修形參數(shù)優(yōu)化是一個(gè)迭代過程，限于篇幅僅列出修形前的齒輪應(yīng)力分布和修形參數(shù)優(yōu)化后的齒輪應(yīng)力分布，中間迭代結(jié)果不再展示.模型坐標(biāo)系定義如圖2所示，對應(yīng)以上3個(gè)嚙合相位的修形齒輪有限元模型局部放大圖見圖10～12，應(yīng)力分布分別見圖13～15.

圖11 單齒嚙合相位行星輪修形Fig.11 Modified planet gear at single tooth mesh

圖14 單齒嚙合相位下修形齒輪等效應(yīng)力Fig.14 von Mises stress of the modified gear under meshing of single tooth

圖15 行星輪齒根嚙合下額定荷載不修形和修形齒輪等效應(yīng)力Fig.15 von Mises stress of the none modified and modified gear at rated load under meshing of the root of the planet gear

齒輪修形量的下限由齒輪的彈性變形量確定，上限由磨齒機(jī)的加工精度保證，修形齒輪優(yōu)化參數(shù)如圖16所示，參考方向見圖1.

考慮到磨機(jī)工作時(shí)單向運(yùn)轉(zhuǎn)，所以行星輪兩側(cè)齒面具有不同修形參數(shù).內(nèi)嚙合齒向變形比外嚙合小，僅做齒端修薄，避免邊緣接觸，齒廓修形兩側(cè)取相同參數(shù).修形前后應(yīng)力對比（表2）表明：修形后齒面上最大應(yīng)力值顯著降低，齒面上應(yīng)力分布得到明顯改善，如圖13～15所示；應(yīng)力對荷載波動適應(yīng)性增強(qiáng)，1.2倍額定荷載下應(yīng)力為331 MPa，應(yīng)力比為1.05.

圖16 齒輪修形參數(shù)Fig.16 Parameters of the modified gear

表2 額定荷載下最大等效應(yīng)力比較Tab.2 Comparison of max von Mises stress at rated load

5 結(jié) 論

（1）針對多個(gè)行星輪均布的直齒行星傳動系統(tǒng)，應(yīng)用位移約束方程建立太陽輪子域邊界位移協(xié)調(diào)關(guān)系，以支路模型等效輪系整體模型，簡化了行星傳動系統(tǒng)有限元模型.

（2）提出具有齒面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)修正的直齒輪接觸區(qū)網(wǎng)格局部細(xì)化建模方法.通過單元形函數(shù)建立細(xì)化單元邊界上的節(jié)點(diǎn)位移與相鄰大單元節(jié)點(diǎn)位移之間的約束方程實(shí)現(xiàn)疏密網(wǎng)格過渡，既提高了接觸區(qū)網(wǎng)格的齒廓幾何逼近精度，又降低了齒輪有限元規(guī)模，為準(zhǔn)確模擬直齒輪彈性嚙合齒面的接觸狀態(tài)提供了新方法.

（3）按齒面重構(gòu)算法修改齒面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，統(tǒng)一了齒向修形、齒廓修形和綜合修形的修形齒面建模方法，實(shí)現(xiàn)了修形齒輪有限元接觸分析快速精確建模，解決了齒輪修形參數(shù)優(yōu)化過程中修形齒輪有限元模型更新這一關(guān)鍵問題.

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