基于陣列流形分離的多輸入多輸出信道模型

姚 元 鄭劍鋒 馮正和

(清華大學(xué)電子工程系，北京 100084)

引 言

多輸入多輸出(MIMO)無(wú)線通信系統(tǒng)在收發(fā)端同時(shí)采用多根天線單元，通過(guò)利用無(wú)線信道的空間資源，可以極大提高通信容量[1]。然而，MIMO通信系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和成功應(yīng)用在很大程度上依賴(lài)于對(duì)MIMO信道復(fù)雜空時(shí)特性的深入了解。因此，MIMO信道建模成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)[1-9]。

MIMO無(wú)線信道包含收發(fā)天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境兩部分，如圖1所示。目前，MIMO信道模型從建模方法及范圍上可以分為兩大類(lèi)：物理模型和解析模型[2]。物理模型對(duì)MIMO信道中的無(wú)線傳播環(huán)境部分進(jìn)行描述，而未包含天線陣列的影響。典型的物理模型如雙方向信道模型[6-7]，通過(guò)關(guān)鍵的物理傳播參數(shù)描述無(wú)線傳播環(huán)境，這些物理參數(shù)包括多徑傳播的路徑衰減、離開(kāi)角、到達(dá)角、延時(shí)等。物理模型獨(dú)立于所使用的天線陣列，因此具有通用性的優(yōu)點(diǎn)，可方便用于評(píng)估不同天線陣列配置的MIMO系統(tǒng)的性能。然而物理模型的復(fù)雜度往往較高，而且難以進(jìn)行系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)。

圖1 MIMO無(wú)線信道及模型范圍示意圖

另一方面，解析模型對(duì)MIMO信道矩陣直接進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，考慮了天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境的共同影響。典型的解析模型如基于空間相關(guān)性的隨機(jī)模型[1，8-9]。解析模型能夠提供MIMO信道矩陣的解析表達(dá)式，因此非常適合用于系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)，而且復(fù)雜度較低。然而，解析模型在建模時(shí)已經(jīng)將天線陣列的影響考慮在內(nèi)，因此其只能用于具有相同天線陣列配置的MIMO系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。即解析模型是天線非獨(dú)立的，不具有通用性。而且，在解析模型中無(wú)法分別考察天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境對(duì)MIMO系統(tǒng)性能的影響。因此，對(duì)于給定的無(wú)線傳播環(huán)境，難以進(jìn)行天線陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)。圖1給出了物理模型和解析模型的建模范圍。

針對(duì)現(xiàn)有MIMO信道模型所存在的不足，擬建立一種天線獨(dú)立的解析MIMO信道模型。首先通過(guò)三維陣列流形分離技術(shù)[10-12]將MIMO無(wú)線信道中的天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境分離開(kāi)來(lái)，然后利用Weichselberger模型[9]的建模思想對(duì)分離后的無(wú)線傳播環(huán)境部分單獨(dú)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，得到一種天線獨(dú)立的隨機(jī)MIMO信道模型。所建立的模型既具有物理模型天線獨(dú)立的通用性?xún)?yōu)點(diǎn)，可方便用于系統(tǒng)性能評(píng)估；又提供了MIMO信道矩陣的解析表達(dá)式，可方便用于系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)，并且復(fù)雜度較低。同時(shí)，天線陣列與無(wú)線傳播環(huán)境的分離使得可以單獨(dú)考察它們對(duì)MIMO系統(tǒng)性能的影響，并且便于研究給定無(wú)線傳播環(huán)境下收發(fā)天線陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1.陣列流形分離技術(shù)

陣列流形分離技術(shù)最初由文獻(xiàn)[10]提出，最近在陣列信號(hào)處理和測(cè)向等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[11-12]。考慮一個(gè)任意形狀的N單元單極化天線陣列，其導(dǎo)向矢量為b(θ，φ)=[b1(θ，φ)，…，bN(θ，φ)]T∈CN×1，其中CN×1表示N維復(fù)向量空間，(·)T表示轉(zhuǎn)置，φ∈[0，2π)表示方位角，θ∈[0，π] 表示俯仰角。依據(jù)陣列流形分離技術(shù)，b(θ，φ)可以分解為[10-12]

b(θ，φ)=Γy(θ，φ)+ε(θ，φ)

(1)

式中：?！蔆N×M稱(chēng)為采樣矩陣；CN×M表示N×M復(fù)矩陣空間，采樣矩陣僅依賴(lài)于天線陣列的屬性，而和無(wú)線傳播環(huán)境無(wú)關(guān)；y(θ，φ)∈CM×1為空間基函數(shù)向量，其和天線陣列的屬性無(wú)關(guān)，M為空間基函數(shù)數(shù)目；ε(θ，φ)∈CN×1為陣列流形分解誤差向量，該誤差在M足夠大時(shí)基本可以忽略。

在三維空間中常用球諧基函數(shù)作為空間基函數(shù)，即[10，12-13]

(2)

(3)

式中： (·)*表示共軛； δll′表示離散Delta函數(shù)。定義單序號(hào)ξ=2++m+1，則y(θ，φ)的第ξ個(gè)元素即為可表示為

(4)

式中L與M的關(guān)系為M=(L+1)2.

采樣矩陣Γ包含了天線陣列的所有信息，如陣列單元方向圖、陣列單元位置等，同時(shí)還包含了陣列單元之間的耦合、陣列制造誤差等非理想特性，因此，陣列流形分離技術(shù)很適合用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)中所使用的天線陣列。在實(shí)際應(yīng)用中，采樣矩陣?？梢酝ㄟ^(guò)天線陣列的校準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算獲得[10-12]。

為了簡(jiǎn)化分析，假設(shè)天線陣列單元為理想全向天線，并且不考慮天線耦合等非理想特性，則天線陣列導(dǎo)向矢量的第n個(gè)元素(1≤n≤N)可表示為[14]

bn(θ，φ)=exp(i2πpn·e)

(5)

式中：pn表示第n個(gè)天線陣列單元的位置矢量，該單元對(duì)波長(zhǎng)進(jìn)行歸一化的球坐標(biāo)為(rn，θn，φn)；e表示指向(θ，φ)的單位矢量。此時(shí)，利用式(3)所示球諧基函數(shù)的正交性可計(jì)算采樣矩陣Γ的第n行第ξ列元素為[10]

=4π(i)j

(6)

式中：j(·)表示第一類(lèi)球貝塞爾函數(shù)。

以圖2中的圓柱陣列(CA)和球陣列(SA)為例，它們的導(dǎo)向矢量為

bCA(θ，φ)= exp(i2π(RCAsinθcos(φ-φp)+

zqcosθ))

bSA(θ，φ)= exp(i2πRSA(sinθsinθqcos(φ-

φp)+cosθcosθq))

式中，(RCA，φp，zq)和(RSA，φp，θq)(0≤p≤P-1，0≤q≤Q-1)分別表示圖2中圓柱陣列和球陣列第q層第p個(gè)天線單元對(duì)波長(zhǎng)進(jìn)行歸一化的圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)。天線陣列單元總數(shù)為N=PQ.取φp=2πp/P，zq=0.3(q-1)，θq滿(mǎn)足方程PQ(cosθq)=0，其中PQ(·)表示Q階勒讓德多項(xiàng)式。

圖2 圓柱陣列和球陣列示意圖

定義陣列流形分解的均方根誤差(RMSE)為

(7)

圖3給出不同天線陣列參數(shù)下圓柱陣列和球陣列的RMSE與空間基函數(shù)數(shù)目之間的關(guān)系。

圖3 不同天線陣列的建模誤差與空間基函數(shù)數(shù)目的關(guān)系

由圖3可知，天線陣列的建模誤差隨著空間基函數(shù)的增多而快速減小，在空間基函數(shù)足夠多時(shí)基本可以忽略。當(dāng)P=5，Q=3時(shí)，圓柱陣列的外接球半徑和球陣列半徑相等(都為0.5個(gè)波長(zhǎng))，它們的RMSE曲線十分接近。當(dāng)RSA=0.5時(shí)，增大球陣列單元數(shù)目并不改變其RMSE曲線，而當(dāng)P=Q=7時(shí)，球陣列半徑越大，同等RMSE條件下所需要的空間基函數(shù)越多。這說(shuō)明在給定的陣列建模誤差條件下，所需要的空間基函數(shù)數(shù)目和天線陣列的單元數(shù)目沒(méi)有直接聯(lián)系，而主要和天線陣列體積相關(guān)：天線陣列體積越大，同等建模誤差條件下所需要的空間基函數(shù)越多。

2.信道矩陣分解

考慮如圖1所示的具有NT根發(fā)射天線和NR根接收天線的單極化窄帶MIMO系統(tǒng)，其無(wú)線信道的輸入輸出關(guān)系可表示為

x=Hs+n

(8)

式中：s∈CNT×1表示發(fā)射信號(hào)向量；x∈CNR×1表示接收信號(hào)向量；n∈CNR×1表示信道噪聲；H∈CNR×NT表示聯(lián)系發(fā)射信號(hào)和接收信號(hào)的信道響應(yīng)矩陣，它表征了MIMO無(wú)線信道的特性。

在雙方向模型中，MIMO信道矩陣H被視為多條傳播路徑的線性疊加，其可表示為[6-7]

(9)

式中:αl、(θT，l，φT，l)和(θR，l，φR，l)(1≤l≤Lpath)分別表示第l條傳播路徑的復(fù)數(shù)衰減、離開(kāi)角和到達(dá)角，Lpath為多徑數(shù)目；bT(θ，φ)和bR(θ，φ)分別表示發(fā)射和接收天線陣列的導(dǎo)向矢量； (·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。

依據(jù)式(1)所示的陣列流形分離技術(shù)，并且假設(shè)空間基函數(shù)數(shù)目足夠大，則忽略天線陣列建模誤差后收發(fā)天線陣列的導(dǎo)向矢量可表示為

(10)

式中:ΓT∈CNT×MT和ΓR∈CNR×MR分別表示發(fā)射和接收天線陣列所對(duì)應(yīng)的采樣矩陣；yT(θ，φ)∈CMT×1和yR(θ，φ)∈CMR×1為類(lèi)似式(4)所示的球諧基函數(shù)向量，并且有MT=(LT+1)2，MR=(LR+1)2.

由于采樣矩陣ΓT和ΓR與無(wú)線傳播環(huán)境無(wú)關(guān)，將式(10)代入式(9)可得

(11)

式中矩陣H0∈CMR×MT為

(12)

由式(11)可知，利用陣列流形分離技術(shù)可將MIMO信道矩陣H分解為兩部分：一部分為發(fā)射和接收天線陣列所對(duì)應(yīng)的采樣矩陣ΓT和ΓR，其僅依賴(lài)于天線陣列的屬性，而和無(wú)線傳播環(huán)境無(wú)關(guān)，對(duì)于給定的天線陣列而言，它們是常數(shù)矩陣；另一部分為矩陣H0，其和收發(fā)天線陣列的屬性無(wú)關(guān)，而僅與隨機(jī)的無(wú)線傳播環(huán)境相關(guān)，表征的是無(wú)線傳播環(huán)境的固有特性。對(duì)比式(9)和式(12)可將矩陣H0理解為球諧函數(shù)各模式之間的無(wú)線信道響應(yīng)矩陣。因此，利用三維陣列流形分離技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了MIMO無(wú)線信道中天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境的分離。

3.天線獨(dú)立的隨機(jī)MIMO信道模型

3.1 基于空間相關(guān)性的隨機(jī)模型

基于空間相關(guān)性的隨機(jī)MIMO信道模型假設(shè)信道矩陣H的元素為聯(lián)合多元高斯分布。此時(shí)，矩陣H各元素之間的相關(guān)性，即全相關(guān)矩陣R可以完全描述信道矩陣H的統(tǒng)計(jì)特性

R=E[hhH]∈CNTNR×NTNR

(13)

式中：E[·]表示取平均；h=vec(H)∈CNTNR×1表示將信道矩陣H各列堆疊形成的列向量，vec(·)表示矩陣向量化。

將式(11)代入式(13)，并利用矩陣向量化的性質(zhì)：vec(ABC)=(CT?A)vec(B)，其中?表示矩陣的Kronecker積，可得

(14)

由式(14)可知，全相關(guān)矩陣R是矩陣R0的線性變換，該變換關(guān)系由收發(fā)天線陣列的采樣矩陣共同決定。一旦確定了矩陣R0便可以確定MIMO信道的全相關(guān)矩陣R。因此，空間相關(guān)性的建模思想同樣可用來(lái)描述天線獨(dú)立的隨機(jī)矩陣H0.

在傳統(tǒng)基于空間相關(guān)性的隨機(jī)MIMO信道模型中，Weichselberger模型[9]在復(fù)雜度和準(zhǔn)確度之間取得了較好折中，與信道測(cè)量結(jié)果吻合較好，因此，借鑒該模型的建模方法對(duì)矩陣H0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述。定義發(fā)射和接收模式相關(guān)矩陣為[2，9]

(15)

式中：UT∈CMT×MT，UR∈CMR×MR為酉矩陣，它們的列向量分別為矩陣RT和RR的特征向量；ΛT∈CMT×MT和ΛR∈CMR×MR為對(duì)角矩陣，它們的對(duì)角元素分別為矩陣RT和RR的特征值。則天線獨(dú)立的隨機(jī)矩陣H0可表示為

(16)

式中：矩陣G∈CMR×MT的元素為零均值單位方差的復(fù)高斯隨機(jī)變量； 矩陣Ω是MR×MT的非負(fù)實(shí)矩陣，其元素表征了無(wú)線傳播環(huán)境收發(fā)端各特征模式之間的功率耦合關(guān)系。矩陣Ω滿(mǎn)足下列等式

(17)

式中⊙表示矩陣Hadamard積。

最后，將式(16)代入式(11)中，可得到一種天線獨(dú)立的隨機(jī)MIMO信道模型

(18)

3.2 模型參數(shù)討論

在所建立的模型中，需要確定的參數(shù)包括僅與收發(fā)天線陣列相關(guān)的確定性參數(shù)MT、MR、ΓT和ΓR，以及僅與無(wú)線傳播環(huán)境相關(guān)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)UT、UR和Ω，下面對(duì)這些參數(shù)依次進(jìn)行討論。

由前文分析可知，MT和MR主要和天線陣列體積相關(guān)。在給定的天線陣列建模誤差條件下，陣列體積越大，所需要的空間基函數(shù)越多。在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用數(shù)值方法來(lái)確定MT和MR的最小取值，以使得天線陣列建模誤差在允許范圍之內(nèi)。增大MT和MR可以提高信道模型的準(zhǔn)確度，但是模型的復(fù)雜度也隨之提高。

矩陣ΓT和ΓR作為發(fā)射和接收天線陣列的采樣矩陣，對(duì)于給定的天線陣列，它們是常數(shù)矩陣。對(duì)于理想的天線陣列，采樣矩陣各元素表達(dá)式如式(6)所示；而對(duì)于實(shí)際的非理想天線陣列，采樣矩陣可以通過(guò)天線陣列的校準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算獲得[10-12]。

由式(15)和(17)可知，天線獨(dú)立的矩陣UT、UR和Ω都可由矩陣H0計(jì)算獲得，而矩陣H0可由式(12)計(jì)算。式(12)中各物理傳播參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布既可以通過(guò)實(shí)際測(cè)量結(jié)果獲得，也可以從現(xiàn)有物理模型[2-7]中獲得。

3.3 模型復(fù)雜度以及天線獨(dú)立性

在模型復(fù)雜度方面，僅需要考慮和隨機(jī)無(wú)線傳播環(huán)境相關(guān)的模型參數(shù)，即矩陣UT、UR和Ω的元素?cái)?shù)目。Weichselberger模型所需要的實(shí)參數(shù)數(shù)目為NT(NT-1)+NR(NR-1)+NTNR.類(lèi)似的，新模型需要MT(MT-1)+MR(MR-1)+MTMR個(gè)實(shí)參數(shù)。因此，當(dāng)空間基函數(shù)數(shù)目M比天線陣列單元數(shù)目N小時(shí)，單次仿真中新模型復(fù)雜度比Weichselberger模型更低，否則后者更優(yōu)。由前文分析可知，M主要和天線陣列體積相關(guān)，而和天線單元數(shù)目N沒(méi)有直接聯(lián)系。因此，如果在給定體積內(nèi)放置較少的天線單元，則新模型復(fù)雜度比Weichselberger模型高，如果在給定體積內(nèi)放置了大量密集的天線單元，則新模型將更加有效。

當(dāng)利用模型考察給定無(wú)線傳播環(huán)境下不同MIMO系統(tǒng)的性能，則新模型更具優(yōu)勢(shì)。這是因?yàn)橐坏┫到y(tǒng)更換了所使用的收發(fā)天線陣列，Weichselberger模型就需要重新計(jì)算模型參數(shù)。而對(duì)于給定的無(wú)線傳播環(huán)境，新模型僅需要計(jì)算一次模型參數(shù)，當(dāng)所使用的天線陣列特性發(fā)生改變，則只需要替換相應(yīng)的采樣矩陣。這使得新模型具有像物理模型一樣的通用性?xún)?yōu)點(diǎn)。

在系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方面，Weichselberger模型對(duì)信道矩陣H直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，已經(jīng)將天線陣列和無(wú)線傳播環(huán)境的共同影響考慮在內(nèi)，因此，對(duì)于給定的無(wú)線傳播環(huán)境，無(wú)法進(jìn)行天線陣列的優(yōu)化設(shè)計(jì)。而新模型實(shí)現(xiàn)了天線陣列與無(wú)線傳播環(huán)境的分離，可以依據(jù)隨機(jī)無(wú)線傳播環(huán)境的統(tǒng)計(jì)信息，對(duì)天線陣列的采樣矩陣進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整與設(shè)計(jì)，以?xún)?yōu)化MIMO系統(tǒng)某一項(xiàng)指標(biāo)，如分集增益或者平均信道容量等[15]。

4.數(shù)值仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證所建模型的正確性和有效性，進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。為了簡(jiǎn)便，假設(shè)發(fā)射和接收天線陣列相同，故有NT=NR=N，MT=MR=M.

選取MIMO信道容量作為評(píng)估準(zhǔn)則。當(dāng)發(fā)射端不具有信道狀態(tài)信息，將功率均勻分配給各發(fā)射天線時(shí)，MIMO信道容量為[1]

(19)

為了進(jìn)行廣泛比較，選取了典型室內(nèi)、3GPP SCME標(biāo)準(zhǔn)模型的城市微小區(qū)[16]和ITU標(biāo)準(zhǔn)模型的郊區(qū)非視距宏小區(qū)[17]三種場(chǎng)景。在典型室內(nèi)環(huán)境中假設(shè)存在5個(gè)散射體簇，各散射體簇所對(duì)應(yīng)的平均離開(kāi)和到達(dá)方位角在0至360°內(nèi)均勻分布；每個(gè)散射體簇內(nèi)含有20個(gè)多徑分量，這些傳播路徑的離開(kāi)和到達(dá)方位角在簇內(nèi)呈Laplacian分布，Laplacian分布的角度擴(kuò)展為26°.這些無(wú)線傳播環(huán)境參數(shù)與典型室內(nèi)環(huán)境的測(cè)量結(jié)果相吻合[2-7]。而城市微小區(qū)和郊區(qū)非視距宏小區(qū)的無(wú)線傳播環(huán)境參數(shù)則分別依據(jù)文獻(xiàn)[16]和[17]進(jìn)行設(shè)置。此外，假設(shè)所有多徑的離開(kāi)和到達(dá)俯仰角在60°至90°內(nèi)均勻分布，各路徑增益呈零均值高斯分布。

分別考察采用如圖2所示的圓柱陣列和球陣列的兩種MIMO系統(tǒng)，并取P=5，Q=3，RCA=0.4，RSA=0.5，L=4.對(duì)典型室內(nèi)環(huán)境，依據(jù)上述無(wú)線傳播環(huán)境參數(shù)，由式(9)和(12)分別產(chǎn)生104個(gè)信道矩陣H和H0的隨機(jī)樣本，并利用這些樣本計(jì)算Weichselberger模型和新模型的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，信道矩陣H的隨機(jī)樣本同時(shí)被用來(lái)計(jì)算真實(shí)信道容量的累積概率分布(CDF)。然后利用Weichselberger模型和新模型分別隨機(jī)生成104個(gè)信道矩陣H的樣本來(lái)估計(jì)真實(shí)信道容量的CDF.而對(duì)于城市微小區(qū)和郊區(qū)非視距宏小區(qū)場(chǎng)景，則分別計(jì)算SCME標(biāo)準(zhǔn)模型和ITU標(biāo)準(zhǔn)模型所對(duì)應(yīng)的信道容量CDF，并與新模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)比。

圖4顯示出室內(nèi)環(huán)境下上述兩種MIMO系統(tǒng)的真實(shí)信道容量CDF曲線和不同MIMO信道模型的估計(jì)結(jié)果。圖5和圖6分別給出城市微小區(qū)和郊區(qū)非視距宏小區(qū)場(chǎng)景下各標(biāo)準(zhǔn)化模型的信道容量CDF曲線和新模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖4 典型室內(nèi)不同MIMO系統(tǒng)信道容量CDF曲線

圖5 城市微小區(qū)不同MIMO系統(tǒng)信道容量CDF曲線

圖6 郊區(qū)非視距宏小區(qū)不同MIMO系統(tǒng) 信道容量CDF曲線

由圖4可知，Weichselberger模型和新模型均可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)室內(nèi)真實(shí)信道容量的統(tǒng)計(jì)分布，兩者的估計(jì)準(zhǔn)確度相當(dāng)。而圖5和圖6則說(shuō)明新模型的結(jié)果和各標(biāo)準(zhǔn)化模型的結(jié)果十分相近，進(jìn)一步驗(yàn)證了新模型的正確性。而在上述仿真中，Weichselberger模型、SCME標(biāo)準(zhǔn)模型和ITU標(biāo)準(zhǔn)模型都需要針對(duì)不同的MIMO系統(tǒng)重新計(jì)算生成模型參數(shù)，而新模型僅計(jì)算了一次模型參數(shù)：當(dāng)天線陣列改變時(shí)，新模型僅需要更換相應(yīng)的采樣矩陣。因此，新模型較這些模型更方便用于具有不同天線陣列配置的MIMO系統(tǒng)的性能評(píng)估。

5.結(jié) 論

利用三維陣列流形分離技術(shù)建立了一種天線獨(dú)立的解析MIMO信道模型，該模型既具有物理模型通用性的優(yōu)點(diǎn)，又提供了信道矩陣的解析表達(dá)式，復(fù)雜度較低，可方便用于MIMO系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)與性能評(píng)估。

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