F冪群的直積*

楊培亮，王少敏

(大理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，云南大理 671003)

模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展突出了極值映射的重要性，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)需要由論域向其冪集上提升，如序結(jié)構(gòu)的提升、可測(cè)結(jié)構(gòu)的提升、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的提升等等［1］.于是開始了冪群、冪環(huán)、超拓?fù)淙骸⒋植趦绨肴旱难芯浚?-7］.模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展要求各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不但要由論域向其冪集上提升，而且還要求向模糊冪集上提升.于是開始了Fuzzy冪群、Fuzzy冪環(huán)的研究［7-10］.文獻(xiàn)［1］首先提出Fuzzy冪群的概念，討論了Fuzzy冪群的結(jié)構(gòu)及其同態(tài)問題.在文獻(xiàn)［1］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了F冪群，討論了F冪群的直積.

1 預(yù)備知識(shí)

全文始終假定X是一個(gè)群，X上的全體Fuzzy子集記為F(X).

由多元擴(kuò)展原理，群X中的運(yùn)算可以擴(kuò)展到F(X)中:?A，B∈F(X)，定義

其中，Aλ是A的λ截集，定義

不妨約定，?A=A?=?.

幾個(gè)結(jié)論［1］:

(4)(AB)C=A(BC)，A，B，C∈F(X).

定義1［1］設(shè)X是群，R?F(X)，若R對(duì)運(yùn)算(1)構(gòu)成群，則稱R為X上的一個(gè)F冪群，其單位元用E，A∈R，A的逆元用A-1表式.

約定?是F冪群，顯然冪群也是F冪群.

2 F冪群的直積

先討論兩個(gè)F冪群的直積，再推廣到有限個(gè)F冪群的直積.

定理1 設(shè)X1，X2是群，X=X1×X2是X1與X2的直積群，設(shè)R1與R2分別是群X1與X2上的F冪群，作∈R1，A2∈R2}在R上定義乘法:

則R是X上的F冪群.

證明 1)?(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)∈R，有

2)(A1，A2)(E1，E2)=(A1E1，A2E2)=(A1，A2)=(E1A1，E2A2)=(E1，E2)(A1，A2)，因而(E1，E2)是單位元.

3)(A1，A2))=(A1，A2)=(E1，E2)=(A1A2)=()(A1，A2)，因此()是(A1，A2)的逆元.

所以R是X上的F冪群.

定義2 稱定理1中的F冪群R為F冪群R1與R2的直積群.

定理2 設(shè)X1，X2是群，X=X1×X2是X1與X2的直積群，R=R1×R2是X1×X2上的F冪群，投影映射為:

則R1，R2分別為X1，X2上的F冪群.

證明 ?A1，B1，C1∈R1，A2，B2，C2∈R2，則(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)∈(R1× R2)

1)(A1，A2)(B1，B2)=(A1B1，A2B2)，A1B1∈R1，A2B2∈R2.故封閉.

2)((A1，A2)(B1，B2))(C1，C2)=((A1B1)C1，(A2B2)C2)=(A1，A2)((B1，B2)(C1，C2))=(A1(B1C1)，A2(B2C2)).故結(jié)合律成立.

3)設(shè)(E1，E2)是 R 的單位元，(E1A1，E2A2)=(E1，E2)(A1，A2)=(A1，A2)=(A1，A2)(E1，E2)=(A1E1，A2E2).故E1是R1的單位元，E2是R2的單位元.

4)設(shè)(D1，D2)是(A1，A2)的逆元，(E1，E2)=(D1，D2)(A1，A2)=(D1A1，D2A2)=(A1，A2)(D1，D2)=(A1D1，A2D2).故D1是A1的逆元，D2是A2的逆元.

綜上所得R1，R2分別為X1，X2上的F冪群.

定理3 群X1和X2上的F冪群與X1×X2上的F冪群可以相互唯一決定.

證明 由定理1和定理2可得.

定理4 設(shè)X1，X2，…，Xn是群，X= 是它的直積群，設(shè)Ri是Xi上的F冪群，則R=×…×Rn)，R上定義乘法:則R是X上的F冪群.

證明與定理1的證明類似.

定義3 稱定理4中的F冪群R為有限個(gè)F冪群R1，R2，…，Rn的直積群.

證明與定理2的證明類似.

證明 由定理5和定理6可得.

［1］羅承忠，米洪海.Fuzzy冪群［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，1994，8(1):1-9

［2］豐建文，方成鴻，湯文菊.冪環(huán)的結(jié)構(gòu)與分類［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，12(6):47-52

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［4］張振良，張金玲，肖旗梅.模糊代數(shù)與粗超代數(shù)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2007

［5］王開寶，祝令江，姚炳學(xué)，等.冪群的結(jié)構(gòu)與構(gòu)造［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2008，6(12):3067-3070

［6］王開寶，祝令江，王麗，等.冪群結(jié)構(gòu)的推廣［J］.聊城大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，6(2):55-56

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［8］楊培亮，張振良.F冪群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2002，9(3):282-287

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