滾珠型弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型建立及模態(tài)分析

李 蕾，馮顯英，張成梁，牟世剛，王綏遠(yuǎn)

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)比較簡單，能夠?qū)崿F(xiàn)多種運(yùn)動(dòng)規(guī)律，被廣泛用于印刷、包裝、食品等機(jī)械。當(dāng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速較低以及機(jī)構(gòu)零件剛性足夠大時(shí)，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)分析就能滿足基本要求。但隨著工業(yè)自動(dòng)化的發(fā)展，對于高速機(jī)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)特性成為提高速度的主要制約，因此需要進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。當(dāng)前對弧面凸輪機(jī)構(gòu)的研究較多地集中在弧面凸輪的幾何特性分析［1－2］、建模仿真［3－4］以及加工方法上［5－6］，對弧面凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究相對較少。天津大學(xué)［7－8］對圓柱滾子弧面凸輪機(jī)構(gòu)做了比較深入的研究，但對于滾珠型弧面凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)［9］研究得非常少。本文對一種新型滾珠型弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)中的接觸剛度進(jìn)行了分析，并且在建模過程中分析了廣義坐標(biāo)微小位移間的幾何關(guān)系，建立了考慮彈性扭轉(zhuǎn)模量的動(dòng)力學(xué)方程。

1 滾珠型弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)介紹

如圖1所示，滾珠型弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)主動(dòng)件是弧面凸輪，弧面凸輪滾道為雙圓弧截形，從動(dòng)件是分度盤，分度盤由三個(gè)零件組合而成(如圖2所示)。在此機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，滾珠作為媒介傳遞力和運(yùn)動(dòng)，滾珠與凸輪為一點(diǎn)接觸，滾子與分度盤為兩點(diǎn)接觸。

圖1 滾珠型弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)Fig.1 Globoidal cam indexing mechanism with steel ball

圖2 分度盤Fig.2 Indexing plate

2 等效接觸剛度分析

2.1 Hertz接觸理論

根據(jù)赫茲理論，兩個(gè)彈性體之間的壓力分布呈半橢圓形，接觸面在切面上將有一個(gè)橢圓邊界［11］。橢圓邊界短軸b的方程式為:

式中:n為接觸橢圓常數(shù)，通過求得θ角度的值，然后查接觸橢圓常數(shù)表求得。θ方程為:

式中:

式中:P為接觸面上相互作用的正壓力，ρ1，ρ2為接觸點(diǎn)的最小曲率半徑，ρ1'，ρ2'為最大曲率半徑，μ1，μ2為兩種材料的泊松比，E1，E2為兩種材料的彈性模量，ψ為最大曲率所在平面間的夾角。

滾珠的壓縮深度為:

與滾珠接觸零件的壓縮深度為:

2.2 滾珠與凸輪之間的Hertz接觸剛度

圖3 滾珠與凸輪之間的變形剛度變化曲線Fig.3 Contact stiffness between roller and globoidal cam

滾珠與凸輪之間的Hertz接觸剛度即變形剛度與接觸曲率有密切的關(guān)系，凸輪的接觸曲率在分度段隨著凸輪轉(zhuǎn)角的變化而變化，因此變形剛度也是在不斷變化的。分別求出滾珠和凸輪接觸點(diǎn)上的壓縮深度h1，h2，得到滾珠與凸輪之間的變形剛度為 k1c=本文中凸輪與滾珠的材料相同，彈性模量和泊松比分別取值為210 GPa和0.28，凸輪運(yùn)動(dòng)曲線為修正正弦曲線。得到了圖3所示的滾珠和凸輪之間的變形剛度變化曲線。

2.3 滾珠與分度盤之間的Hertz接觸剛度

滾珠與分度盤上有兩個(gè)接觸點(diǎn)，其中分度盤中間圓盤上的接觸點(diǎn)為主要受力點(diǎn)。因此本文中將滾珠與分度盤中間圓盤上接觸點(diǎn)的變形剛度作為滾珠與分度盤之間的變形剛度計(jì)算。滾珠的最大曲率和最小曲率相等，為滾珠半徑的倒數(shù);分度盤的最大曲率為分度盤中間圓盤凹槽圓弧半徑的倒數(shù)，最小曲率為零。分別求出滾珠和分度盤接觸點(diǎn)的壓縮深度h1'、h2'，得到滾珠與分度盤之間的變形剛度為滾珠的半徑為14 mm，凹槽圓弧半徑為15 mm，得到滾珠與分度盤之間的變形剛度為1.578×108N·m/rad。

在無潤滑情況下，滾珠與凸輪以及分度盤之間的摩擦為干摩擦，接觸剛度為變形剛度，當(dāng)在接觸副中存在潤滑時(shí)，接觸剛度由變形剛度和油膜剛度組成。根據(jù)文獻(xiàn)［12］中的接觸中心區(qū)的油膜厚度得到了滾珠與凸輪間的油膜剛度k1f以及滾珠與分度盤之間的油膜剛度k2f。滾珠與凸輪之間的接觸剛度k1可以認(rèn)為是變形剛度和油膜剛度的串聯(lián)，同樣滾珠與分度盤之間的接觸剛度k2也為變形剛度和油膜剛度的串聯(lián)。

2.4 等效接觸剛度

在動(dòng)力學(xué)建模中，由于滾珠相對凸輪和分度盤質(zhì)量較小，可以忽略。如圖4所示滾珠與凸輪之間的接觸剛度以及滾珠與分度盤之間的接觸剛度可以近似看作串聯(lián)［10］。串聯(lián)后的剛度為:

圖4 接觸副間的等效接觸剛度Fig.4 Equivalent contact stiffness for contact pair

由已得到的滾珠與凸輪之間的接觸剛度和滾珠與分度盤之間的接觸剛度，代入式(10)得到等效接觸剛度如圖5所示。

圖5 等效接觸剛度隨凸輪轉(zhuǎn)角的變化曲線Fig.5 Variation curve for equivalent contact stiffness

3 動(dòng)力學(xué)方程的建立

3.1 動(dòng)力學(xué)模型與符號(hào)說明

弧面凸輪機(jī)構(gòu)中的扭轉(zhuǎn)是傳遞運(yùn)動(dòng)的主要方式，本文假定滾珠與凸輪以及分度盤之間可實(shí)現(xiàn)無間隙嚙合運(yùn)動(dòng)，阻尼很小可以忽略，主要考慮機(jī)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)彈性模量，建立了弧面凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。圖6為弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型簡圖。

圖6 弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)力學(xué)模型簡圖Fig.6 Dynamic model for globoidal cam indexing mechanism

模型中，J1為載荷盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J2為分度盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J3為弧面凸輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，φ為凸輪軸理論轉(zhuǎn)角，τ(φ)為分度盤理論轉(zhuǎn)角，φ1為載荷盤轉(zhuǎn)角，φ2為分度盤轉(zhuǎn)角，φ3為弧面凸輪轉(zhuǎn)角，kφ1為輸出軸的扭轉(zhuǎn)剛度，kφ3為輸入軸的扭轉(zhuǎn)剛度，kec為等效接觸剛度。

3.2 廣義坐標(biāo)幾何位移關(guān)系分析

凸輪、滾珠以及分度盤之間的位置是一種空間的相對位置關(guān)系，比較復(fù)雜，如圖7所示。本文采用了回轉(zhuǎn)變換張量法將凸輪及分度盤的微小角位移轉(zhuǎn)化到接觸點(diǎn)的法線方向上。圖中K1點(diǎn)為滾珠與分度盤的接觸點(diǎn)，K2點(diǎn)為滾珠與凸輪之間的接觸點(diǎn)。由于兩接觸點(diǎn)的法線方向不在同一條直線上，根據(jù)受力情況，本文統(tǒng)一把微小角位移轉(zhuǎn)化在K2點(diǎn)法線方向上。符號(hào)rk1表示K1點(diǎn)到分度盤中心的半徑，lf表示分度盤半徑，c表示中心距，θ1表示分度盤轉(zhuǎn)角，γ表示螺旋升角。

微小角位移δ(φ2)，轉(zhuǎn)化到Y(jié)1＇軸上的位移近似為rk1×δ(φ2)，轉(zhuǎn)化到K2點(diǎn)法線方向上的微小位移為:

微小角位移δ(φ3)，在Z軸方向上的位移近似為(c－lfcosθ1)δ(φ3)，轉(zhuǎn)化到 K2點(diǎn)法線方向上的微小位移為:

因此總位移為 δ=δk1－δk2。

圖7 弧面凸輪機(jī)構(gòu)零件的相對位置及運(yùn)動(dòng)變換關(guān)系Fig.7 Relative position and relationship of motion conversion for components of globoidal cam indexing mechanism

3.3 動(dòng)力學(xué)方程的建立

拉格朗日方程是從能量的角度求得動(dòng)力學(xué)方程，本文應(yīng)用拉格朗日方程推導(dǎo)凸輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下:

弧面凸輪機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)能:

弧面凸輪機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的勢能:

應(yīng)用拉格朗日方程得到弧面凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程如下:

因?yàn)闄C(jī)構(gòu)組成的各零部件有幾何加工誤差和裝配誤差，滾珠和凸輪之間很可能存在間隙。假定在滾珠與凸輪作用點(diǎn) K2法線方向上有間隙 ξ時(shí)，根據(jù)Dubowsky沖擊間隙模型，得到接觸剛度系數(shù)為:

4 固有頻率及振型的計(jì)算

由動(dòng)力學(xué)方程組(16)求得了系統(tǒng)的固有頻率及其相對應(yīng)的陣型。系統(tǒng)的剛度矩陣在分度段時(shí)隨著凸輪轉(zhuǎn)角的變化而改變，因此系統(tǒng)的固有頻率是不斷變化的，在分度段時(shí)期固有頻率對應(yīng)陣型也是在變化的。為了方便，這里求得了停歇期固有頻率對應(yīng)的陣型。剛度矩陣為:

凸輪轉(zhuǎn)角在0°～120°為分度期，圖8為固有頻率變化曲線圖，可以看到分度期間的固有頻率是變化的，停歇期間的固有頻率是恒定值，不同階固有頻率的變化曲線趨勢并不相同，其中由圖8(a)可以看到第一階頻率在分度期中間位置的頻率為最低。外界激勵(lì)頻率應(yīng)避開固有頻率，以免引起共振。圖9為機(jī)構(gòu)停歇期間固有頻率對應(yīng)的振型圖，圖中的橫坐標(biāo)1，2和3分別代表凸輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的廣義坐標(biāo)φ1，φ2和φ3，字符代表意義同上。圖9(a)第一階振型表現(xiàn)為載荷盤的扭振，圖9(b)第二階振型表現(xiàn)為分度盤和凸輪都有扭振，且凸輪的扭振程度大于分度盤。表1是求解過程中用到的部分參數(shù)。

表1 部分計(jì)算參數(shù)Tab.1 Partial calculation parameters

5 結(jié)論

本文對一種新型滾珠型弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模。首先分析了在有潤滑和無潤滑情況下滾珠與凸輪以及滾珠與分度盤之間的接觸剛度，由于滾珠質(zhì)量較小，忽略滾珠的質(zhì)量得到了等效接觸剛度。在建模過程中，根據(jù)機(jī)構(gòu)中各零件的相對位置及運(yùn)動(dòng)關(guān)系，用回轉(zhuǎn)變換張量法分析了廣義坐標(biāo)微小位移的幾何關(guān)系?？紤]機(jī)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)彈性模量建立了動(dòng)力學(xué)方程，得到了機(jī)構(gòu)的固有頻率和停歇期間固有頻率對應(yīng)的振型。通過固有頻率變化曲線可以看到分度期間的固有頻率是變化的，停歇期間的固有頻率是恒定值，不同階的固有頻率變化趨勢也不相同。外界激勵(lì)頻率應(yīng)盡量避免與固有頻率相同，以免引起共振。

［1］方代正，李素榮.新型弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)的壓力角分析［J］.煤礦機(jī)械，2006，27(4):601 －603.

［2］楊 瑋，曹巨江.復(fù)雜弧面凸輪曲率和應(yīng)力分析及其CAD［J］.設(shè)計(jì)與研究，2002，31(2):11－13.

［3］李 蕾，馮顯英，張紫平，等.鋼球滾子弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的三維建模及運(yùn)動(dòng)仿真［J］.機(jī)床與液壓，2010，38(21):102－104.

參考文獻(xiàn)

［4］Yan H S，Chen H H.Geometry design of roller gear cams with hyperboloid rollers［J］.Mathl.Comput.Modelling，1995，22(8):107－117.

［5］葛榮雨，馮顯英，王慶松.弧面凸輪廓面非等徑加工的刀位控制方法［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2010，41(9):223－226.

［6］竇湘屏，袁光明，劉 磊.五軸聯(lián)動(dòng)加工中心加工弧面凸輪［J］.機(jī)械制造與研究，2010，39(6):45 －48.

［7］賀 煒，彭國勛，胡亞平，等.弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2000，36(11):33－37.

［8］常宗瑜，張 策，楊玉虎，等.含間隙弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2006，28(2):173－177.

［9］苗 苗，陶學(xué)恒.球形滾子弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)模態(tài)分析［J］.大連輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，24(4):286 －288.

［10］趙聯(lián)春.球軸承振動(dòng)的研究［D］.杭州:浙江大學(xué)，2003.

［11］彭國勛，肖正揚(yáng).自動(dòng)機(jī)械的凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1990.

［12］付振山，馮顯英，李 蕾，等.鋼球滾子弧面分度凸輪的彈流潤滑分析［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2011，42(6):208 －212.