c－冪零群與冪零群

馮海輝

(上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海 201306)

0 引言

在有限群論的研究中，冪零群是一類重要的可解群.因此，刻畫有限群的冪零性成為一個(gè)研究重點(diǎn)，許多學(xué)者［1－3］已經(jīng)從各個(gè)不同的角度對其進(jìn)行研究.特征標(biāo)理論是研究有限群的一個(gè)重要工具，如文獻(xiàn)［4］利用特征標(biāo)理論給出一個(gè)群是冪零群的充分性條件:N－群是冪零群.為了研究特征標(biāo)理論中的一個(gè)基本問題——一個(gè)擬本原特征標(biāo)三元組在什么條件下也是一個(gè)本原特征標(biāo)三元組，文獻(xiàn)［5］借助χ－冪零群的概念給出完整的回答.有限群的χ－冪零性僅僅是某種局部的冪零性，它與群的冪零性之間有一種內(nèi)在的聯(lián)系，因此可以從特征標(biāo)這個(gè)角度給出有限群冪零性的完整刻畫.本文引入c－冪零群的概念，并且利用這個(gè)概念給出一個(gè)有限群為冪零群的充要條件.

文中的群均為有限群，所使用的符號(hào)和術(shù)語都是標(biāo)準(zhǔn)的，可參考文獻(xiàn)［6－7］.

1 引理

1.1 χ-冪零群的定義

定義1設(shè)G為一個(gè)群，ψ為G的一個(gè)復(fù)特征標(biāo).稱G為ψ－冪零群，是指對G的每個(gè)極大子群M及M的每個(gè)復(fù)特征標(biāo) φ，如果滿足 φG=ψ，則有M?G.［2］

由于冪零群的每個(gè)極大子群均正規(guī)，當(dāng)G為冪零群時(shí)，對每個(gè)χ∈Irr(G)，G均為χ－冪零群.

1.2 c－冪零群的定義

定義2設(shè)G為一個(gè)群，若對每個(gè)不可約特征標(biāo) χ∈Irr(G)，G 均為 χ－冪零群，則稱 G 為 c－冪零群或特征標(biāo)冪零群.

顯然，由前面的討論知道冪零群一定是c－冪零群，但是反過來不一定正確，即c－冪零群不一定是冪零群.

例如:取 G=S3，Irr(G)={λ1，λ2，χ}，其中 λ1，λ2為線性特征標(biāo)，χ為2次不可約特征標(biāo).顯然G是λi－冪零的，i=1，2.下面說明 G 也是 χ－冪零群.因?yàn)棣譃镸－特征標(biāo)，從而χ可以由G的某個(gè)子群的線性特征標(biāo)λ誘導(dǎo)，設(shè)為χ=λG，其中λ∈Irr(H)，H≤G.由次數(shù)公式可得2=χ(1)=|G:H|，從而H?G.于是G為c－冪零群，但G不是冪零群.

1.3 兩個(gè)引理

引理1設(shè)N為群G的一個(gè)正規(guī)子群.［1］

(1)若χ為G的一個(gè)復(fù)特征標(biāo)，且N≤Ker(χ)，則χ在G關(guān)于N的陪集上取常值，且如下定義的函數(shù)為 G/N 的特征標(biāo):(Ng)=χ(g)，?g∈G.

(3)由(1)和(2)可知，χ∈Irr(G)當(dāng)且僅當(dāng) χ^∈Irr(G/N).

2 主要結(jié)果

首先給出c－冪零群的幾個(gè)性質(zhì).

定理1設(shè)G為c－冪零群，且N為G的正規(guī)子群，則商群G/N亦為c－冪零群.

證明令=G/N.任取復(fù)不可約特征標(biāo)∈Irr()，且為的一個(gè)極大子群∈Irr()滿足=，其中=H/N.由引理 1 有 θG= χ，且 H 為 G的極大子群.由G為c－冪零群得H=HG?G.從而H/N?G/N，即?，故為 χ－冪零群.由 χ^的任意性知為c－冪零群.證畢.

對于冪零群，若商群G/N為冪零群，則不一定有G為冪零群.對于χ－冪零群，有下面的結(jié)論:

定理2設(shè)N為群G的一個(gè)正規(guī)子群為商群G/N的一個(gè)復(fù)特征標(biāo)，若G/N為－冪零群，則G為χ－冪零群，其中χ由提升得到.

證明記=G/N.設(shè)H為G的一個(gè)極大子群，θ∈Irr(H)，且 θG= χ.由引理 2 知 Kerχ≤Kerθ，故有N≤Kerχ≤Kerθ≤H.由引理1 有≤，且=其中由為冪零群知也即為的真子群，故有HG＜G為真子群.再由H的極大性知H?G，從而由定義1知G為χ－冪零群.證畢.

設(shè) χ1，χ2，…，χn為群 G 的全部不可約特征標(biāo)，令Γ ={Kerχi|i=1，2，…，n}為 G 的不可約特征標(biāo)核構(gòu)成的集合.記Δ為Γ中元素在集合的包含關(guān)系下的極小元構(gòu)成的集合.下面的定理給出c－冪零群的一個(gè)刻畫.

定理3群G為c－冪零群當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)不可約特征標(biāo) χ∈Irr(G)，只要 Kerχ∈Δ，就有 G/Kerχ為c－冪零群.

證明由定理1知必要性是顯然的.

充分性.任取不可約特征標(biāo)ψ∈Irr(G)，則存在G的一個(gè)不可約特征標(biāo) χ，使得 Kerχ∈Δ 并且Kerχ≤Kerψ.在定理2 中令 N=Kerχ，則 G 為 ψ－冪零群，從而G為c－冪零群.證畢.

下述定理給出冪零群的一個(gè)刻畫條件，是本文的主要結(jié)論.

定理4群G為冪零群當(dāng)且僅當(dāng)對G的每個(gè)復(fù)特征標(biāo)ψ，均有G為ψ－冪零群.

證明必要性.設(shè)G為冪零群，由定義2可知對G的每個(gè)復(fù)特征標(biāo)ψ均有G為ψ－冪零群.

充分性.對G的每個(gè)極大子群M及M的每個(gè)復(fù)特征標(biāo)φ，根據(jù)特征標(biāo)的誘導(dǎo)定理，φG必為G的復(fù)特征標(biāo)，從而由條件可知G為φG－冪零群.再根據(jù)定義2可知M?G，因此G為冪零群.證畢.

由此可知，如果對任意不可約特征標(biāo)χ∈Irr(G)均有G為χ－冪零群，還不能完全刻畫群的冪零性，即c－冪零群未必是冪零群.下述定理給出一個(gè)c－冪零群在什么條件下是冪零群的充分性條件.

定理5設(shè)G為c－冪零群，Φ(G)為G的Frattini子群.若存在χ∈Irr(G)，使得χ可以從Φ(G)的某個(gè)子群的特征標(biāo)來誘導(dǎo)，則G為冪零群.

證明設(shè) χ=θG，其中 θ∈Irr(H)，H≤Φ(G).由Frattini子群的定義可知，對G的每個(gè)極大子群M均有H≤M.再由G為χ－冪零群可知M?G，從而G為冪零群.證畢.

［1］CAMINA A R，CAMINA R D.Recognising nilpotent groups［J］.J Algebra，2006，300(1):16－24.

［2］COSSEY J，HAWKES T，MANN A.A criterion for a group to be nilpotent［J］.Bull London Math Soc，1992，24(3):267－270.

［3］IT?N.On finite groups with given conjugate type I［J］.Nagoya Math J，1953(6):17－28.

［4］BERKOVICH Y，ZHMUD E.Character of finite groups:part 2［M］.New York:American Mathematics Soc，1999.

［5］馮海輝，靳平.特征標(biāo)三元組的誘導(dǎo)子和限制子［J］.山西大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，29(S):6－7.

［6］ISAACS I M.Character theory of finite groups［M］.New York:Academic Pr，1976.

［7］KURZWEIL H，STELLMACHER B.The theory of finite groups［M］.New York:Springer，2003.