反證法的邏輯原理及應(yīng)用

陳勇濤

摘要： 數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴于邏輯的應(yīng)用，邏輯學(xué)為人類提供了可靠的證明方法。巧妙的證明讓數(shù)學(xué)熠熠生輝。本文著重于反證法的介紹及其在中學(xué)階段的應(yīng)用。而關(guān)于邏輯的部分仍要從三段論講起。

關(guān)鍵詞： 反證法邏輯原理應(yīng)用

一、三段論的格

作為一門古老的學(xué)科，邏輯已有兩千多年的歷史。所謂邏輯就是一種能夠保留預(yù)設(shè)真值的推理方法。作為邏輯的基礎(chǔ)，我們當(dāng)然不能忘記亞里士多德和他的三段論。然而關(guān)于三段論人們還是廣泛存在著誤解。

通常人們所言的三段論并非完全意義上亞里士多德的理論，就如同中學(xué)課本中的幾何公理化體系與《幾何原本》相差甚遠(yuǎn)一樣，生活中最常見的三段論只是亞里士多德所劃分的二十四個(gè)式中的一種形式，而亞里士多德的成就更多體現(xiàn)在《后分析篇》中關(guān)于公理化的研究，這一點(diǎn)離大眾過(guò)于遙遠(yuǎn)，在此不作討論。

更重要的是，人們對(duì)于直言三段論的基本形式過(guò)于忽略，而這種形式對(duì)推理有決定性的作用，請(qǐng)看下面兩個(gè)例子。

推理1推理2

所有植物都需要水 所有植物都需要水

三葉草是植物 三葉草需要水

所以三葉草需要水 所以三葉草是植物

這兩個(gè)推理都正確嗎？盡管前提都正確，結(jié)論就常識(shí)而言也沒有錯(cuò)，但是從邏輯角度看，推理2是錯(cuò)誤的，因?yàn)閺摹叭~草需要水”推出“三葉草是植物”其實(shí)證據(jù)不足，如推理1所示，正確的推理形式是這樣的：

1.所有B是A

2.并且所有C是B

3.那么所有C是A

這就是基本的邏輯定理，其中1、2稱為前提，3稱為結(jié)論。正確的形式為前提1的主項(xiàng)是前提2的謂項(xiàng)，其余詞項(xiàng)組成結(jié)論，此時(shí)前提的真值必然決定結(jié)論的真值。這種形式稱為三段論的格，用Venn表示如圖1，C是A的子集是很明顯的。

圖1

反觀推理1與推理2，我們?cè)趹?yīng)用三段論時(shí)一定要嚴(yán)謹(jǐn)。其實(shí)很多結(jié)論不嚴(yán)密的推理大多都犯有詞項(xiàng)位置的錯(cuò)誤。

二、反證法的原理

反證法是一種簡(jiǎn)單卻又行之有效的證明方法，從其創(chuàng)立至今就一直被廣泛使用。它的優(yōu)點(diǎn)是，即使不知道怎樣直接證明，也能辨別該命題的真?zhèn)巍Ｗ罨镜氖聦?shí)便是，一個(gè)命題的反命題導(dǎo)致了矛盾，則原命題是正確的。

在反證法中，我們把待證的結(jié)論的反面作為一個(gè)前提，依據(jù)正確的三段論原理推理，并最終尋找出與現(xiàn)實(shí)的直觀矛盾或于理不符之處。而結(jié)論的真假由前提而定（前文已論述），這個(gè)矛盾說(shuō)明假設(shè)有誤，因此它的反命題（即待證命題）是正確的。

三、反證法在中學(xué)階段的應(yīng)用

以上敘述了邏輯推理的基礎(chǔ)和反證法的原理，下面是關(guān)于反證法應(yīng)用的討論。

中學(xué)階段中，反證法在幾何中的應(yīng)用并不多見。然而，平面幾何中的反證法卻妙不可言，它們精妙的構(gòu)思令人贊嘆，阿基米德甚至用此法證明了圓的面積計(jì)算公式。在此我摘錄《原本》中的一個(gè)命題為反證法的一個(gè)例子。

如果兩圓相交，那么它們不能有相同的圓心。

設(shè)：圓ABC與圓CDG相交與B、C兩點(diǎn)（如圖）。

證明：假設(shè)有相同的圓心為E，連接EC，任意連一條線EFG，

因?yàn)镚為圓ABC的圓心，所以EC等于EF，

又因?yàn)镋為圓CDG的圓心，所以EC等于EG，

所以EG等于EF。

于是部分大于整體（違背第5公理）這不可能。

所以：E不是圓ABC、CDG的圓心。

所以：兩圓相交不可能有圓，證完。

另一個(gè)例子來(lái)自圖論，有過(guò)競(jìng)賽經(jīng)歷的人對(duì)此模型是非常熟悉的。

兩人或兩人以上的人群中，人們互相與熟人握手，那么至少兩個(gè)人的握手次數(shù)相同。

證明：以人為頂點(diǎn)，僅當(dāng)兩個(gè)人握手時(shí)，在此二人間連一邊，構(gòu)成一個(gè)圖G（V，E），設(shè)V=［V，V，…，V］，不妨設(shè)各項(xiàng)的度數(shù)為d（v）≤d（v）≤…≤d（v），

若等號(hào)皆不成立，則有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），

（1）若d（v）=n-1，則每個(gè)頂點(diǎn)皆與v相鄰，于是d（v）≥1，

所以d（v）≥2，…，n，d（v）≥n與d（v）=n-1相違.

（2）d（v）＜n-1，由于d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，與d（v）＜n-1相違，故假設(shè)不成立，所以d（v）≤d（v）≤…≤d（v），其中至少有一處等號(hào)成立，即至少兩個(gè)人握手次數(shù)相同，證完。

通過(guò)兩個(gè)例子的展示，反證法行之有效的特點(diǎn)一目了然。不過(guò)反證法構(gòu)造的技巧性是有難度的。因此我在這里總結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)中反證法的常用場(chǎng)合。

（1）命題以否定形式出現(xiàn)；

（2）唯一性的命題；

（3）命題結(jié)論中有“至多”，“至少”的形式；

（4）命題結(jié)論涉及無(wú)限集；

（5）命題結(jié)論的反面較結(jié)論本身更為具體、簡(jiǎn)明，但更為重要的是多動(dòng)腦筋，勤總結(jié)，在2011年陜西高考理科數(shù)學(xué)最后一道大題中考查了反證法技巧，可見古老而重要的技巧在新課改中仍受到極大關(guān)注，值得教師對(duì)此做一定的研究，并讓學(xué)生有所領(lǐng)悟。