對(duì)幾種特殊類(lèi)型的行列式的解題方法

摘 要： 本文主要介紹幾種常見(jiàn)的行列式的解題方法，即箭型行列式解題法，全加法、加邊法、遞推法等，并舉例說(shuō)明，使學(xué)生能更好地求解這類(lèi)行列式。

關(guān)鍵詞： 行列式 全加法 加邊法 遞推法

在各種高等代數(shù)書(shū)和線性代數(shù)書(shū)中都有很多計(jì)算行列式的方法，也有很多這方面的文章，本文主要就幾種常見(jiàn)的類(lèi)型的解題加以闡述，使學(xué)生更容易求解行列式的值。

用定義法求行列式的值，以及求三角型行列式的值非常容易，本文就不再闡述。下面主要介紹：箭型行列式的解法，全加法，加邊法，遞推法。

一、箭型行列式（三條線行列式）求解方法

除了第一行、第一列元素及主對(duì)角線元素非零外（或最后一行、最后一列和主對(duì)角線元非零外）其余位置全為零的行列式我們稱(chēng)之為箭型或爪型行列式，它的解題思路為：利用行列式性質(zhì)把外圍兩條邊中的一條邊消掉，把此行列式化為上三角或者下三角，從而計(jì)算出行列式值。如下例：

例1.D=a b … bc a … 0… … …c 0 … a（a≠0，i=1，…，n）

解：這種行列式就是爪型行列式中的一種。我們把所有第i+1（i=1，…，n）列的-倍都加到第一列上來(lái)，得：

D=a b … bc a … 0… … …c 0 … a=a- b … b 0 a … 0 … … … 0 0 … a=（a-）a…a.

還有一些行列式可以轉(zhuǎn)化為箭型行列式，如下例。

例2.D=a x … xx a … x… … … x x … a（a≠x，i=1，2，…，n）

解題思路：此題主對(duì)角線以外的元素相同，可以利用行列式性質(zhì)化成箭型行列式，進(jìn)而化成上三角或下三角得到行列式的值。

解：將第一行乘以（-1）倍加到其他各行上去得到，接著每一列分別提出a-x，i=1，…，n，然后將每一列加到第一列：

D= a x … xx-a a-x … 0 … … …x-a 0 … a-x=（x-a）…（x-a） … -1 1 … 0 … … … -1 0 … 1=（x-a）…（x-a） … 0 1 … 0 … … … 0 0 … 1=（x-a）…（x-a）［++…+］（a≠x，i=1，2，…，n）

二、所有行（列）對(duì)應(yīng)元素相加后相等的行列式的求解方法（全加法）

這種行列式的特點(diǎn)是所有行（列）對(duì)應(yīng)元素相加后相等的行列式。解題思路是將所有列（行）元素全都加到第一列（行），然后提取這一列（行）的公因子，進(jìn)而求得行列式的值。

例3.求n階行列式D= a b … b b a … b… … … b b … a的值。

解：D= a b … b b a … b… … … b b … ac+…+ca+（n-1）b b … ba+（n-1）b a … b … … …a+（n-1）b b … a

c÷［a+（n-1）b］［a+（n-1）b］ 1 b … b 1 a … b… … … 1 b … ar-r（i=2，…，n） ［a+（n-1）b］ 1 b … b 0 a-b … 0… … … 0 0 … a-b=［a+（n-1）b］（a-b）（此題也可轉(zhuǎn)化成箭型行列式再計(jì)算）

三、加邊法（升階法）解行列式

加邊法就是在原來(lái)行列式的基礎(chǔ)上填上一行一列，要保持行列式值不變。加邊（升階）的目的是將行列式化簡(jiǎn)達(dá)到降階的目的，從而計(jì)算出行列式的值。

例5.計(jì)算n行列式D=a+b a … a a a+b …

解：這個(gè)行列式可以直接化為箭型行列式來(lái)計(jì)算。為了介紹加邊法，我們采用加邊法計(jì)算此題。

現(xiàn)在已經(jīng)化為了箭型行列式，然后按照箭型行列式的計(jì)算方法計(jì)算即可。

計(jì)算得D=D=（b…b）（1+）。

四、遞推法解行列式

此法的要點(diǎn)是利用已給行列式D的特點(diǎn)，建立起同類(lèi)型的n階行列式和n-1階（或更低階）行列式之間的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式叫遞推關(guān)系式，進(jìn)而求出行列式的值。

整理上式得到：

聯(lián)立（2）（3）兩式，解得D=5-4。

本題是降階即按列展開(kāi)和遞推公式同時(shí)使用，很多題都是多種方法結(jié)合使用的，同學(xué)們要注意這一點(diǎn)。

很多行列式的解題方法都可以用到上面的幾種方法，或者幾種方法結(jié)合使用，或者通過(guò)化簡(jiǎn)得到上述行列式的形式，從而解得行列式。

參考文獻(xiàn)：

［1］錢(qián)芳華.高等代數(shù)方法選講［M］.廣西:廣西師范大學(xué)出版社，1991.

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，1987.

［3］代冬巖.n階行列式的計(jì)算方法和技巧［［J］.哈爾濱職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，（1）：119-120.

［4］楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解［M］.山東:山東科技大學(xué)出版社，1982.

［5］李大衛(wèi)等.線性代數(shù)釋疑解難［M］.長(zhǎng)春：東北大學(xué)出版社，2002.